Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (1240839), страница 23
Текст из файла (страница 23)
128 Эпюра поперечных сил в рассматриваемой двухопорной балке изобразится двумя прямоугольниками (рис. 126). Рассмотрим еще несколько примеров построения эпюр изгибающих момевтов и поперечных сил. гл. с изгив Лвухопорная балка длиной 1 нагружена равномерно распределенными силами собственного веса. Эти силы характеризуются интенсивностью нагрузки д [Н!см); т.
е. силой, приходящейся на единицу длины балки (рнс. 128). Определяем реакции опор. Очевидно, ф л= а 2' На рис. 128 эти силы показаны условно на основном рисунке. Строго говоря, следовало бы их изобразить на отдельном рисунке балки с отброшенными внешними связями. поскольку зти силы заменяют действие связей. В предыдущем примере (рис.
122) именно так и было сделано. Однако обычно для упрощения прибегают к условному изображению реакций, как это и показано в рассматриваемом примере. Сумма моментов внешних сил, лежащих по одну сторону от сечения, например по левую, равна г Мны Рлз Ча з э где Р а — момент силы Є— направлен по часовой стрел- ке (знак плюс); дг — сила собственного веса на длине г. Ее равнодействующая проходит через середину отрезка г. Следовательно, плечо силы равно г/2, а момент этой силы, расположенной слева от сечения С, направлен против часо- вой стрелки (знак «минус»).
Таким образом, ч2З М„= — г —. нзг з я Эпюра изгибающего момента изображается параболой, показанной на рис. 128. Наибольшее значение изгибающий момент имеет в среднем сечении пролета при а=1/2: чг х з вах з Поперечная сила в сечении С равна сумме сил, лежащих по одну сторону от сечения: 2 д! Эпюра поперечной силы изображается прямой. На рис. 129 показано построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил на примере балки, защемленной $2В. ВНУТРЕННИЕ СИЛОВЫЕ ФАКТОРЫ 139 одним концом. Такого рода балки называются обычно консолями.
В данном случае с правой стороны на балку не наложено связей и определение изгибающих моментов и поперечных сил в любом сечении может быть произведено без предварительного определения реакций. В среднем сечении консоли к балке через крестовину передается момент пары сил.
В результате на эпюре изгибающих моментов возникает скачок. При переходе через 1111ШШШ1661ШШШШШ161~ Рис. 129 Рис. 130 сечение С сумма моментов сил, расположенных по правую илн левую сторону от сечения, меняется сразу на велнчи- НУ Ш1. Рассматривая все построенные выше эпюры, нетрудно подметить определенную закономерную связь между эпюрами изгибающих моментов и эпюрами поперечных сил. Суця по виду эпюр, поперечная сила Я представляет собой производную от изгибающего момента М по координате г, направленной по длине стержня. Докажем, что эта закономерность действительно имеет место. Пусть стержень закреплен произвольным образом и нагружен распределенной нагрузкой интенсивности д=~(г).
Принятое направление для и будем считать положительным (рис. 130). Выделам из стержня элемент длиной 02 и в проведенных сечениях приложим моменты М и М+с(М, а также поперечные силы Я и Я+Щ Направления для этих силовых факторов приняты положительными в соответствии с обуслов. ленным выше правилом знаков. В пределах малого отрезка с(г нагрузку д можно считать распределенной равномерно. Приравниваем нулю сумму проекций всех сил на вертикальную ось и сумму моментов относительно поперечной гл. ь изгна 14О оси С (рис.
130): Я + д г(г — Я вЂ” сЦ = О, М+ д г(г + ~( И вЂ” — М вЂ” ДМ = О. ,Й 2 Производя упрощения и отбрасывая величину высшего порядка малости, получим: ло лм — =4. — =Я л7 дг (4.1) Таким образом, поперечная сила действительно представляет собой производную от изгибающего момента по координате г, направленной по длине стержня. Производная же по г от поперечной силы дает интенсивность внешней распределенной нагрузки и. Из соотношений (4.1) можно сделать некоторые общие выводы о характере эпюр изгибающих моментов и поперечных сил для прямого стержня. Если стержень нагружен только равномерно распределенной нагрузкой интенсивности д=сопз1, очевидно, функция 1,1 будет линейной, а М вЂ” квадратичной. Это можно было наблюдать на примере эпюр, показанных на рис.
128. Если стержень нагружен только сосредоточенными силами или моментами, то в промежутках между точками их приложения 4=0. Следовательно, Я=сонэ(, а М является лянейной функцией г. В точках приложения сосредоточенных сил эпюра С( претерпевает скачок на величину внешней силы, а в эпюре М возникает соответствующий излом (разрыв производной). $ 2й. Напряжения при чистом изгибе Рассмотрим наиболее простой случай изгиба, а именно, чистый изгиб. Под чистым изгибом, как уже указывалось, понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают только изгибающие моменты, а Я=О.
Лля тех участков стержня, где соблюдается это условие, изгибающий момент, согласно второму выражению (4.1), остается постоянным (М=сопз(). Условия чистого изгиба могут возникать при различных внешних нагрузках. Некоторые характерные примеры показаны на рис.
131. Отвлекаясь от особенностей приложения внешних сил и условий закрепления бруса в целом, рассмотрим только тот 61ИПНШППИП!ИНПШНИП!К 4 99. нАпРяжения пРИ чистом изгибе 141 его участок, где М=сопз1 и (4'=О. На границах этого участка действуют только моменты М (рис.
!31, а). Под действием моментов М стержень изогнется. Так как в любом сечении возникает один и тот же изгибающий момент, то в случае однородного стержня изменение кривизны дгг для всех участков будет одним и тем же. СледовательЗ3 но, при чистом изгибе ось а~ г однородного стержня принимает форму дуги окружУиггльЫиггиг ности. в1 г1У гуАГ Рис. 132 Рис.
131 Легко обнаружить, что совокупность точек, расположенных до изгиба в плоскости поперечного сечения стержня, после изгиба также образует плоскость, но переместившуюся в пространстве. Действительно, рассмотрим среднее поперечное сечение АА (рис. 132, а). Точки этого сечения по условиям симметрии не могут получить преимущественных смещений ни вправо, ни влево, поскольку и та и другая стороны полностью равноправны. Следовательно, это сечение остается плоским.
Разрезая стержень на две равные части сечением АА, получаем участки вдвое меньшие, находящиеся точно в тех же условиях, что и целый участок (рис. 132, б). Для каждой из полученных половин приведенные рассуждения могут быть повторены (рис. 132, в). Следовательно, средние сечения этих половин также остаются плоскими. Этот процесс деления можно продолжать дальше.
Тем самым будет доказано, что в неограниченной близости от !42 гл. я. изгиа любого наперед заданного сечения есть сколь угодно много таких сечений, для которых соблюдается высказанное условие плоских сечений. Фактически это есть доказательство того, что все сечения однородного стержня при чистом изгибе не искривляются, а лишь поворачиваются.
Это утверждение, будучи точ- ным для чистого изгиба, в об— са щем случае является приближенным и именуется гипотезой плоских сечений. Образование деформаций прп чистом изгибе может рассматриРпс. !33 ваться как результат поворота плоских поперечных сечений друг относительно друга (рис. 133). Рассмотрим два смежных сечения, расположенных один от другого на расстоянии йг (рис. 134).
Примем левое сечение условно за неподвижное. Тогда в результате поворота правого сечения Раамвааеиие Кейс!а Рис. !34 на угол йй верхние слои удлинятся, а нижние — укоротятся. Очевидно, существует слой, в котором удлинения отсутствуют. Назовем его нейтральным слоем. Отметим его отрезком С0. В результате поворота сечений изменение кривизны нейтрального слоя будет следующим: ва р вг $ 29. ИАИРяжвния пРи чистом изгнав 143 Произвольно взятый отрезок АВ=йг (рис. 134) получит приращение длины А'В' — АВ.
Так как сечения остаются плоскими, А'В' — АВ=(р+ у) йа — рйО= уйВ, где у — расстояние от рассматриваемого отрезка АВ до нейтрального слоя СР. Положение этого слоя пока неиз- вестно. Относительное удлинение слоя АВ равно у уев у сг р' По закону Гука о=ЕБ=Š—. у Р (4. 3) Этот интеграл представляет собой знакомый нам из предыдущей главы статический момент сечения относительно нейтральной линии. Так как статический момент равен нулю, нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения. Таким образом, координата у в выражениях (4.2) и (4.3) получает определенность: она отсчитывается от цент- Таким образом, при чистом изгибе напряжения в поперечном сечении изменяются по линейному закону.
Геометрическое место точек в сечении, удовлетворяющее условию о=О, называется нейтральной линией сечения. Нейтральная ру д, р д лярна к плоскости кривизны изогнутого стержня. с- -р. -р, „„ о с внутренними силовыми фак- (т торами, возникающими в поперечном сечении стержня при Рис. 133 чистом изгибе.
Сумма элементарных сил и йг (рис. 135) дает нормальную силу Ф в сечении. Но при чистом изгибе Лг=О. Поэтому Л'= ) о йг = О, или, согласно выражению (4.3), е с — ~ у йг" = О, откуда Р и 144 гл. ь изгив ральной оси, перпендикулярной плоскости кривизны. Точно так же получает определенность и кривизна 1!р, как кривизна нейтра.гьиого слоя или как кривизна оси стержня.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
