Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (1240839), страница 18
Текст из файла (страница 18)
91 Рцс. 90 ем статическую неопределимость. Для этого отбрасываем левую заделку и ее действие на вал заменяем моментом Ыл (рис. 91, б). Этот момент определяется из условии, что поиорот левога торцевого сечения относительно правого равен аул~о. Угол поворота сечения А может быть выражен как алгебраическая сумма взаимных углов поворота торцевых сечений на участках АВ, ВС, СР и РР. По формуле (2.1) соответственно этим участкам получаем Ю1л21 (Я))л — 9И) 1 (9))л — 9))) 1 (9))л — 5Ж) 21 бул Вул + 07' ( 07„' й г!.
кРучение стеРжня с кРуГлым сечением !93 тле 62' — жесткость на участке с диаметром Ю, а 6«р — жесткость иа участке с диаметром 20. Очевидно, 6У' =196У . Учитывая это соотношение, находим 9 9ЛА = — 9Л 1Т Теперь легко построить эпюру крутящих моментов (рис. 91, «), а по формуле (2.14) определить тмах во всех сечениях вала (рис. 91, г). При рассмотрении построенной эпюры напряжений следует учитывать, что в зонах приложения внешних моментов имеет место отнлонение действительного закона распределения напряжений в сечении от полученного линейного.
Однако согласно принципу Сен-Венана эти отнлонення носят местный харантер и практически не распрастраняютсн по оси за пределы расстояний порядка диаметра сечения. Находим углы поворота сечений. На Р первом участке угол поворота сечения, С ,Ю расположенного на расстоянии г, от заделки, А 2Г 9ЛАгг 99Л2, %«= 6У )Т6У Р' Эта зависимость изображается прямой, поназаннай на эпюре гр (рис.
91, д), При г =2! имеем гт~ ! 139Л! 176)Р На втором участке к этому углу прибав- 9Р ляется величина (9ЛА — 9Л) г, 6«' Рис. 92 Р где г, отсчитывается от левога края второго участка. Так, по участкан строится зпюра, показанная на рис. 91, д. П р и м е р 2.3. Имеется система, показанная на рис. 92. Рычаги АВ и С0 — абсолютно жесткие. Между ними образовав зазор Ь. Найти вертикальное перемещение точки приложения силы Р, если жесткости валов 1 и И на кручение одинаковы и равны 6/Р Прн малой силе Р зазор Ь не перекрывается, и работает только вал И.
Исномое перемещение равно, очевидно, Ь=йа, или, согласно формуле (2.П), б= (д) После того как зазор закроется, система становится статически неопределимой. Пусть М! и Мн — крутящие моменты, возникающие в валах 1 и П. Из условий равновесия М!+МН=Ра. Уравнение перемещевий будет следующим: арп — а~!г=б, гл. з. кручении !04 / или, согласно формуле (2.Н), Л / Мн — М,= —, ОУ,. )а Исключая Мь находим Ра Л Мп = — + — 62. 2 2)а Искомое перемещение а Мп( Р<аз Л Рис.
93 / + 2 ' (В) Оз', 26 Выраигсние (А) применимо до значений б, не превышающик ик Л, т. е. при Р~ и, лбу, ан Если сила превышает зту величину, перемещение следует апреле- лять по формуле ( (В). На рис. 93 показана зависимость перемещения б от силы Р. $22. Кручение стержня с некруглым поперечным сечением Оп еделение напряжений в стержне с некруглым поперечным сечением представляет собой довольно сложную задачу, которая не может быть решена методами сопротивленияя материалов.
Причина заключается в том, что для Рис. 94 некруглого сечения упрощающая гипотеза неизменности плоских сечений, введенная ранее, оказзпвается неприемлемой. Сечения заметно искривляются, в результате чего существенно меняется картина распределения напряжений по сечению. На рис. 94 в качестве примера показана форма закрученного стержня прямоугольного поперечно)о сече- з вх кггчзнив ствгжня с нвкггглым сечением 1оз ния. На поверхность предварительно была нанесена мелкая прямоугольная сетка, которая деформировалась вместе с поверхностными частицами металла. Поперечные линии сетки заметно искривлены, следовательно, искривлены будут и поперечные сечения. Таким образом, при определении углов сдвига необходимо учитывать не только взаимный поворот сечений, но также и местный перекос, связанный с искривлением сечений. Задача, кроме того, резко усложняется тем, что для некруглого сечения напряжения должны определяться в функции уже не одного независимого переменного (р), а двух (х и у).
Выскажем общие соображения относительно законов распределения напряжений в поперечных сечениях некруговой формы, а затем приведем готовые формулы, полученные методами теории упругости для некоторых, наиболее часто встречающихся форм поперечных сечений. Прежде всего, можно довольно просто установить, что касательные напряжения в поперечных сечениях для точек, расположенных вблизи контура, направлены по касательной к дуге контура. Действительно, положим, что в точке Рис. 95 Рис. Зб А (рис.
95) касательное напряжение т вблизи контура направлено под некоторым углом к контуру. Разложим зто напряжение на две составляющие — по касательной к контуру (т,) и по нормали (т„). По условию париости на свободной поверхности стержня должно возникнуть касательное напряжение т,',= — -т„Но внешняя поверхность свободна от нагрузки и к ней никаких внешних сил не приложено, кроме, разве что, сил атмосферно о давления. Таким образом т,',=О. Следовательно, Гл. а кРучение Ю6 т„=О, и касательное напряжение т вблизи контура направлено по касательной к контуру. Совершенно аналогично можно показать, что в случае, если поперечное сечение имеет внешние углы, то в них касательные напряжения обращаются в нуль.
Раскладывая Рис. 97 В точке В (2.22) тв = 21%паха где а — большая, а б — малая сторона прямоугольника. Коэффициенты са и 21 зависят от отношения сторон ай. Значения этих коэффициентов задаются табл. 3. Угловое перемещение 9П2 %=в Ореха ' (2.23) напряжение т вблизи угла (рис. 9б) на две составляющие по нормалям к сторонам угла, получаем напряжения т, и та. Так как парные им напряжения т,' и т,' равны нулю, то в нуль обращаются и напряжения т, и т,.
Значит, вблизи внешнего угла касательные напряжения в поперечном сечении отсутствуют. На рис. 9У показана полученная методами теории упругости эпюра касательных напряжений для бруса прямоугольного сечения. В углах, как видим, напряжения равны нулю, а наибольшие напряжения возникают по серединам больших сторон в точках А: а1х та =тпаах = Ьа (2.21) 2 22. кРучение стержня с некРуГлым сечением 197 Таблица 3 Коэффициент ~8 также является функцией отношения а/Ь.
Числовые его значения приведены в табл. 3. Для эллиптического сечения (рис. 98) наибольшие напрянгения возникают в точках А по концам малой оси: 2М, т =г Л мах иаьк в точках В 2Мк т — к пэак ' где а н Ь вЂ” полуоси эллипса. Угловое перемещение ддя стержня эллиптического сечения имеет следующее выражение: 6— аа+ Ьа Лля сечения, имеющего форму равностороннего треугольника со сторонами а, наибольшие напряжения возникают цо серединам сторон и д равны гк1ах 29Мк/а Угловое перемещение в этом случае 9й! 7= - ° б — ак 80 гл. а. кркчннив Рзз Обобщая все эти формулы, можно сказатач что при кручении д)к пох )р ()))) 'Р= бйк (2.2з) а также (2.26) Мн (эднз Потенпиальная энергия, накопленная закрученным брусом, согласно а ормуле (2.20) равна (2.27] гяе ягк и уч — геометрические параметры, зависящие от 4юрмы сечения ()ни прнвелены ниже а табл 4 (стр.
)!9). Йля круглого сечения )та и 1к совпадают соответственное )и к /н, т. е. с полярным моментом сопротивления и полярным моментом нйерции. ч 23. Краткие сведения о пленочной (мембранной) аналогии В результате того, что аналитическое решение задачи о кручении стержня с некруглым поперечьым сечением является достаточно сложным, возникла необходимость создания косвенных методов исследования этого вопроса. Среди таких методов первое место занимает метод аналогий. В задачах механики часто встречаются случаи, когда совершенно различные по физической сущности задачи сводятся к одним и тем же дифференциальным уравнениям.
Тогда между задачами может быть установлена аналогия. Можно, не решая уравнения, сказать, например, что между переменными х, и у, одной задачи существует та же зависимость, что и между переменными х, и у, другой задачи. Тогда говорят, что переменная х, является аналогом переменной х„ а уе — аналогом переменной уы Часто бывает так, что в первой задаче, не решая уравнений, трудно представить себе связь между переменными х, и уы а физическое содержание второй задачи допускает простое и наглядное толкование зависимости х, от у,. В таком случае установленная аналогия дает возможность наглядно представить себе закономерности, существующие в первой задаче. Так, в частности, обстоит дело с задачей о кручении. Оказывается, что, незагичсимо от формы исследуемого сечения, задача о кручении бр са сводится к тому же дифференциальному уравнению, что и задача о равновесии пленки, натянутой В аа кРАткие сВедения О пленОчнОЙ АБАлОГии 100 ио контуру того же очертания и нагруженной равномерно распределенным давлением.
Аналогом напряжения является угол, который составляет касательная к поверхности пленки с плоскостью контура, а аналогом крутящего момента — объем, заключенный между плоско- ;1 стью контура и поверхностью пленки. Характер деформации Рис. 00 пленки под действием давления можно всегда представить себе, если не точно, то, во всяком случае, ориентировочно. Следовательно, всегда име:-";чрт::„;-:-:т::" -:,,"..-.,;,-:" ":,,: -.-,,:-:.,: ется возможность представить и закон распределения напряжений при кручении стержня, с заданной формой сечения.
Положим, например, что нужно установить закон распределения напряжений в сечении, показанном на рис. 99. Представим себе, что на заданный контур натянута пленка, которая нагружена равномерно распределенным давлением. Изобразим несколько разрезов пленки. Соответственно углам наклона пленки изображаем ориентировочно распределение напряжений по сечению (рис. 99). При помощи пле- ночной аналогии можРис. 100 но получить не только качественные, но и количественные соотношения. Для этого используется специальный несложный прибор, показанный на рис.
100. Он состоит из подвижного столика 1, на котором расположена плоская коробка 2 с натя- ыо гл. а кРучении нутой тонкой резиновой пленкой 3. Сверху пленка вплотную накрывается крышкой 4 с отверстием по форме исследуемого сечения. На рис. 100 зто отверстие, как видно, имеет форму прямоугольника. К нижней части коробки подведена трубка б, сообщающаяся со стеклянным манометром 6. Поднимая трубку, повышаем давление под резиновой пленкой, и последняя деформируется. Легко провести обмер пленки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
