Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (1240839), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Е РАСТЯЖЕНИЕ И СХСАТИЕ с ответственностью конструкции в этой области техники сложилась практика проведения обязательных статических испытаний отдельных узлов и целых летательных аппаратов для прямого определения величин предельных нагрузок. Выбор коэффициента запаса зависит от методов расчета напряжений, от степени точности этих методов, от серьезности тех последствий, которые повлечет за собой разрушение детали. Значение коэффициента запаса зависит и от свойств материала. В случае пластичного материала запас по пределу текучести может быть меньшим, чем в случае расчета детали из хрупкого материала.
Это достаточно очевидно, поскольку хрупкий материал более чувствителен к различным случайным повреждениям и неожиданным дефектам производства. Кроме того, случайное повышение напряжений для пластичного материала может вызвать только небольшие остаточные деформации, для хрупкого же материала последует прямое разрушение.
Изучение вопросов о конкретном выборе коэффициента запаса входит как составная часть в такие дисциплины, как прочность самолета, прочность конструкций и пр. Правильность выбора коэффициента запаса определяется в значительной мере чутьем, опытом и искусством расчетчика и конструктора. ГЛАВА 2 КРУЧЕНИЕ $ 20, Чистый сдвиг н его особенности На примере растяжения и сжатия были выявлены некоторые наиболее важные свойства напряженного состояния.
При растяжении в зависимости от ориентации секущих площадок на гранях выделенного прямоугольного элемента (рис. 34) возникают как нормальные, так и касательные напряжения. Последние, независимо от величины нормальных напряжений, подчиняются условию парности (см. $ 12). 1 7 Рис. 70 Рис.
71 Теперь положим, что имеется такое напряженное состояние, когда на гранях выделенного элемента возникают только касательные напряжения т (рис. 70). Такое напряженное состояние называется чистваи сдвагон *). Наиболее просто однородный чистый сдвиг может быть осуществлен непосредственным нагружением пластиньп захваченной в жесткие контурные шарнирно соединенные накладки (рис. 71). Для всех точек пластины касательные ') Более строгое определение чистого сдвига будет дано в гл. 7 ($ 52) на основе общей теории напряженного состояния. зо гл.
2. кРучения напряжения т будут, очевидно, следующими: Р т=— !б ' у Г3 т= — (2А) 2иЯУа где )с — радиус трубки, а б — ее толщина. Посмотрим теперь, как при чистом сдвиге изменяются напряжения в зависимости от ориентации секущих площадок. Для этого из пластины, находящейся в состоянии чистого сдвига, выделим элементарную трехгранную призму АВС (рис. 73). На гранях АВ и ВС по условию возникают только касательные напряжения т. На грани АС в зависимости от угла уи Рис. 73 где б — толщина пластины.
Исключение составляет узкая краевая зона, где пластина сопрягается с накладками. Здесь ии напряженное состояние будет отличным от чистого сдвига. Однако в соответствии с принциу пом Сен-Венана этн от> клонения носят чисто местный характер, и область их распоостранения мала по сравнению с общими размерами напряженной пластины. В качестве второго Рис. 72 примера, иллюстрирую- щего состояние однородного чистого сдвига, можно рассмотреть тонкостенную цилиндрическую трубку, нагруженную моментами, приложенными в торцевых плоскостях (рис.
72). Здесь и далее внешний момент в отличие от внутреннего обозначается через И. Величина напряжения т определяется из условий равенства момента равномерно распределенных по поперечному сечению внутренних сил моменту %: сп Ю 2 20 ЧИСТЫН СДВИГ И ЕГО ОСОБЕННОСТИ 91 а возможно возникновение как нормального, так н каса- тельного напряжений. Обозначим их соответственно через п„и т . Проектируем все силы, действующие на призму, на оси и н 1.
Условия равновесия дают а А С=т АВ з(п а+тВС соз а; т„АС=тА В соз а — тВС яп а. Отрезки АВ н ВС связаны с АС очевидными соотношениями АВ=АСсоза, ВС=АСБ|па. Поэтому п„=та!и 2а, т,=тсоз2а. При а=О и а=90' напряжения а и т„принимают зна- чения, соответствующие исходным площадкам, т. е. о„= =О, а т„=т. При а=~45' т„=О, а о„=~-т. Следовательно, если из пластины выделить прямоугольный элемент, ~Ф 2' грани которого повернуты относительно исходных плоскостей на угол 45', то на секущих площадках будут обнаружены только нормальные напряжения, причем на одной паре граней эти напряжения являются растягивающими, а на дру- гой — сжимающими. Таким образом, чистый сдвиг может быть представлен как одновременное растяжение и сжатие го двум взаимно перпендикулярным направлениям (рнс. 74).
Рассмотрим деформации при сдвиге. Касательное напря- жение т связано с угловой деформацией у соотношением (1.13): т=67, где через О, как мы уже знаем, обозначена Е (см. 9 12) величина 2(!+И) ' В результате возникающих угловых деформаций пла- стина, показанная на рис. 71, перекашивается, а торцевые сечения трубки (рис, 72) получают взаимные угловые сме- щения Гг. Характер возникающих смещений показан иа рис. 75, причем (2. 2) При чистом сдвиге, как и прн растяжении (да и вообще при всяком напряженном состоянии), в деформнруемом теле накапливается упругая потенциальная энергия. Эту энер- Гл.
а кгучвние 92 гию легко подсчитать, рассматривая изменение формы прямоугольного элемента с размерами йх, йу и толщиной б (рис. 76). Примем нижнюю грань элемента условно за неподвижную. Тогда при смещении верхней грани сила тйхб совершит работу на перемещении уйу. Так как сила меняется Рис. 75 пропорционально смещению, то ее работа равна половине произведения тйхб уйу (см. 9 !О). Следовательно, потенциальная энергия деформации, накопленная в элементе, равна йУ=Уатуйхйуб. Если отнести энергию к единице объема, получим ~Ь Щг !70 = —, = —, ту. О ЕР 2 Ю' ~/ Выразим у через т по закону ! — ех Гука.
Тогда Рис. 76 Величина (7, называется удельной потенциальной энергией нри сдвиге и измеряется в Дж!м'. Аналогично испытанию на растяжение и сжатие можно провести испытание материала в условиях чистого сдвига. Лля этого удобнее всего воспользоваться испытанием тонкостенной трубки (рис. 77). $ ЗЬ КРУЧЕНИЯ СТЕРХ(НЯ С КРУГЛЫМ СЕЧЕНИЕМ 93 Если во время испытания производить замер момента % н взаимного угла поворота сечений 1р на длине 1, можно построить для образца диаграмму %=)(1р).
В дальнейшем эта диаграмма согласно выражениям (2.1) и (2.2) легко при- Рис. 77 водится к переменным т и у. Таким образом может быть получена диаграмма сдвига для материала т=) (7). Сопоставление диаграммы сдвига с диаграммой растяжения для одного и того же материала показывает их качественное сходство. На диаграмме сдвига также имеется упругая зона, зоны текучести и упрочнения. Аналогичным образом для сдвига, как и для растяжения, можно было бы дополнительно ввести характеристики— предел пропорциональности при сдвиге, предел упругости, предел текучести н т. д. Прежде, когда изучение механики деформируемых тел находилось еще в начальной стадии, так обычно и поступали. В дальнейшем, однако, было установлено, что характеристики сдвига связаны с характеристиками растяжения. В настоящее время теория пластичности (см. ниже, гл.
10) дает возможность построить теоретически диаграмму сдвига по диаграмме растяжения, а также выразить все характеристики сдвига через уже знакомые нам механические характеристики растяжения. Точно так же допускаемые напряжения и коэффициенты запаса при чистом сдвиге могут быть связаны с соответствующими величинами для простого растяжения. Эти вопросы будут подробно рассмотрены в гл.
10. $2!. Кручение стержня с круглым поперечным сечением Под кручением понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только крутящий момент. Прочие силовые факторы (изгибающие моменты, нормальная и поперечные силы) равны нулю. Для крутящего момента, независимо от формы сечения, принято ГЛ. 2. КРУЧЕНИЕ 94 следующее правило знаков. Если наблюдатель смотрит на поперечное сечение со стороны внешней нормали и видит момент М„направленным против часовой стрелки, то мо- мент считается положи- .2" тельным. При противо- положном направлении т моменту приписывается знак минус. .яц~сс 74 И~„ На рнс.
78 показан стержень, нагруженный по концам моментами Рис. 78 И. Если посмотреть на плоскость А со стороны внешней нормали (со стороны точки С), то мы увидим, что момент М„ направлен по часовой стрелке. Следовательно, М„будет отрицательным. Тот же самый результат может быть получен, если посмотреть из точки С на плоскость В. 2Фм~М Рис. 79 Указанным правилом знаков руководствуются при построении эпюр крутящих моментов. На рис.
79 показано несколько примеров нагружения стержня внешними моиентами. Для этих моментов применено условное обозначение в виде двух кружков. Кружок с точкой обозначает силу, направленную на наблюдателя, а кружок с крестп- $ м кРучение стеРжня с кРуГлым сечением йб ком — силу, направленную ол2 наблюдателя. На рис. 79 приведены соответствующие эпюры крутящих моментов. Положительные моменты отложены вверх. При расчете стержня на кручение надо решить две основные задачи. Требуется определить напряжения и найти угловые перемещения в зависимости от внешних моментов. Эти задачи решаются по-разному, смотря по тому, какой вид имеет поперечное сечение стержня. Наиболее просто можно получить решение в случае кругового сечения, а также для широкого класса тонкостенных стержней.
Механизм деформирования стержня с круглым поперечным сечением можно представить себе в следующем виде: будем считать, что каждое поперечное сечение в результате действия внешних моментов поворачивается в своей плоскости на некоторый угол как жесткое целое. Этот угол поворота для различных сечений будет различным.
Сказанное представляет собой гипотезу плоских сечений — предположение, оправдываемое общими правдоподобными соображениями о характере возникающих перемещений. Окончательным критерием пригодности любой гипотезы является опыт. Получив расчетную формулу, нужно прежде всего сопоставить результаты расчета с экспериментом, и если между ними обнаруживается достаточно хорошее соответствие, гипотеза считается приемлемой.
Надо сказать, что задача о кручении стержня может быть решена не только методами сопротивления материалов, но также и методами теории упругости без принятия каких-либо гипотез, кроме предположения о непрерывности строения вещества. Решение, полученное этим путем, показывает, что круглое поперечное сечение бруса действительно остается плоским и поворачивается как жесткое целое. В поперечных сечениях возникают только касательные напряжения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
