Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (1240839), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Но произведение тб по длине дуги контура не изменяется. Поэтому М„тб ~ (ОА ) Г(з. 5 Произведение ~ОА1пз представляет собой удвоенную площадь треугольника ОВС, а интеграл от этого произведения по длине замкнутого контура дает удвоенную площадь, ограниченную средней линией контура. Обозначим эту площадь через г"" в отличие от Р, т. е. от площади «живого» Гл. е !!Рачение !!6 сечения. Таким образом, Мк=тб 2Гк. (2,32) Наибольшее напряжение Мк т~пк~ 2Е 6ппп Остается определить угловое перемещение !г для тонкостенного стержня замкнутого профиля поперечного сечения. Сделаем это путем сопоставления потенциальной энергии, выраженной через напряжение т, с потенциальной энергией, выраженной через внешний момент %.
Обратимся к выражению удельной потенциальной энергии при сдвиге (2.3) тк и'= 2о Энергия, накопленная в элементарном объеме с размерами ггз, !(з, б, равна !и=-26 6Дз гз. Это выражение должно быть проинтегрировано по длине стержня г и по дуге замкнутого контура. Если стержень является однородным по длине, то 5 Последний интеграл зависит от закона изменения толщины по дуге контура и является геометрической характеристикой сечения. Учитывая, что Мк 82! к 2Е' 2Е" получим 8Дк! !' Лк 8ОЕкк,) 6 С другой стороны, энергия и может быть выражена как работа внешншо момента И на угловом перемещении йк и = — '3)г~. 2 4 24. кРучвниа тОнкоствннОГО стнРжня !17 Приравнивая оба выражения для энергии, находим '.2))1 1 оз Если толщина б по дуге контура не меняется, то 9)) 15 46дьаб ' (2.33) где з — длина замкнутого контура.
П р и и е р 2,4. Определить напряжение и углоиое перемещение в тонкостенной трубе, свернутой из листа (рис. 107), н двух вариантах: а) кран листа свободны (рис. 107, а), б) края листа склепаны (рис. 107, б). Сопоставить напряжения и углы поворота сечений. Рнс. 107 В первом варианте профиль поперечного сечения должен рассматриваться как открытый. Пренебрегая участком профиля в зоне соединения краев внахлестку, по формулам (2.23) и (2.29) получаем: 39)) 39))1 Т = ф "= н()ба ' '= 6п()Ьа ' Во втором варианте профиль является замкнутым. По формулам (2.32) и (2.33) находим: Ж 99!пЛ 6' 2 — Ь 46( — ) б Для более наглядного сопоставления рассмотрим отношения напряжений и углов.
3() ~, 362 т ' Ь фб 4 Ь ГЛ. 2. КРУЧЕНИЕ 118 Таким образом, отношение напряжений имеет значение порядка 17/6, а отношение углов поворота — порядка 1)з)бз. Но по определению тонкостенностн 0 много больше, чем 6. Следовательно, заыкнутый профиль оказывается существенно более прочным и в еще большей степени жестким, чем такой же незамкнутый. Этот вывод является общим. Внешний момент, приложенный к стержню с замкнутым контуром сечения, уравновешивается моментамн внутренних сил на плечах порядка поперечных размеров сечения, а для открытого профиля — на плечах порядка толщины.
Отсюда следует, что касательные напряжения в открытом профиле будут во столько раз больше, чем в замкнутом, во сколько поперечные размеры сечения больше его толщины. П р и м е р 2.5. При заданном моменте 9И и при геометрических размерах трубы, рассмотренной в предыдущем примере, найти усилие, приходящееся иа одну заклепку (рнс. 107, б), Двумя продольными сечениями выделяем из трубы клепаный увел (рис. !08). Сила, действующая на заклепки вдоль образующей, равна Р=тбг, но Яу! п()з 2"— 6 а следовательно, 2ш)1 Р= —. пОз Если число заклепок равно и, то сила, приходящаяся на одну заклепку, будет равна Р)п.
Из силовой схемы, представ- ленной на рис. 108, видно, что прн отсутствии заклепок концы листа получили бы смещение вдоль образующей. Поперечное сечение вышло бы при этом из своей начальной плоскости и произошла бы, как говорят, депланация сечения. Ограничение депланации приводит к повышению жесткости и прочности бруса. Я!6 Рис. !09 Рис. 1!О В тех случаях, когда из эксплуатационных, монтажных или конструктивных соображений приходится идти на применение незамкнутых профилей, стараются наложить местные ограничения на депланацию.
Так, например, на рис. 109 показан стержень с тонкостенным незамкнутым профи- $24. КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННОГО СТЕРЖНЯ 119 Таблица 4 Сечение 50на о е о е е о и ч о й 0,20н (1 — ) лабе г ааебе он+ Ьн !20 гл. т, кручинив Прадалвкение таблицы Х лем, в котором прн помаши мгесткой заделки и двух перемычек ограничена депланапня. Кручение в таких условиях носит название стесненного кручения. П р и и е р 2.6.
К тонкостенному стержню корытного профиля (рис. !!О) приваривается стержень с угловым профилем. Определить, во сколько раз увеличится жесткость стержня на кручение и во сколько раз прн том же моменте снизятся напряжения. Для корытного профи.чя формула (2.30) дает ЗЮ!! Для составного профиля по той же формуле получаем 3!К( '= б (ЗЬбв+ (2б)в й) Жесткость, следовательно, увеличится в отношении ЗЬ+ Зй 2Ь+й ' Напряжения подсчитываем по формуле (2.3!). Для корытного профиля 39)) бв (2Ь + й) ' в для составного 3% 26 вт [2Ф~ Следовательно, после приварки уголка напряжении уменьшатся в ! ЗЬ+Зй 2 2Ь+й Для различных сечений приведена табл. 4 геометрических параметров (ва„и,г'„, входящих в формулы напряжений и углов поворота М 9И тшвх = — в 'Р= — ° йуа ' пух ' ГЛАВА 3 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ СТЕРЖНЯ $25, Статические моменты сечения При решении задач, связанных с изгибом, возникает необходимость оперировать некоторыми геометрическими характеристиками поперечных сечений стержня.
Эти характеристики имеют применение в основном в пределах задач изгиба и в силу своего узкого прикладного значения в общем курсе геометрии не изучаются. Их рассматривают обычно в курсе сопротивления материалов. Настоящая глава и посвящена этому вопросу. Рис. 1!1 Рис. 112 Возьмем некоторое поперечное сечение стержня (рис. 111). Свяжем его с системой координат х, у и рассмотрим два следующих интеграла: 5„= ~ у оР, 5„= ~ х !1Р, где Р у знака интеграла указывает на то, что интегрирование ведется по всей площади сечения. Каждый из интегра- 1РР Гл. 3. геометРические хлРАктеРистикн сечений лов представляет собой сумму произведений элементарных площадей с(Р на расстояние до соответствующей осп (х или у).
Первый интеграл называется спштичеснии моментам сечения относительно оси х, а второй — статическим моментом сечения относительно оси у. Статический момент измеряется в см' или мм'. При параллельном переносе осей величины статических моментов меняются. Рассмотрим две пары параллельных осей х„у, и х„у,. Пусть расстояние между осями х, и х, равно Ь, а между осями у, и у, равно а(рис.
112). Положим, что площадь сечения Р и статические моменты относительно осей х, и у„т. е. 5„и 5кн заданы. Требуется определить 5,,и 5ег Очевйдно, х,=х,— а, у,=у,— Ь. Искомые статические моменты будут равны 5,, = ) (у, — Ь) аР, 5„, = ~ (х,— а) дР, Р Р или 5„,=5,,— ЬР, 5„,=5„,— аР. Таким образом, при параллельном переносе осей статический момент меняется на величину, равную произведению площади Р на расстояние между осями. Рассмотрим более детально, например, первое из полученных выражений: 5,,=5,,— ЬР. Величина Ь может быть любой; как положительной, так и отрицательной. Поэтому ее всегда можно подобрать (причем единственным образом) так, чтобы произведение ЬР было равно 5хг Тогда статический момент 5„относительно оси х, обращается в нуль. Ось, относительно которой статический момент равен нулю, называется центральной.
Среди семейства параллельных осей она является единственной, и расстояние до этой оси от некоторой, произвольно взятой, осп х, равно уа а Р (3.2) Аналогично для другого семейства параллельных осей а (3,3) $2б. статические моа!инты сечения 123 Точка пересечения центральных осей называется !(аширом тяжести сечения. Путем поворота осей можно показать, что статический момент относительно любой оси, проходящей через центр тяжести, равен нулю. Нетрудно установить тождественность данного определения и обычного определения центра тяжести какточки приложения равнодействующих снл тяжести. Если уподобить рассмотренное сечение однородной пластинке, то сила тяжести пластинки во всех точках будет пропорциональна элементарной площади с(г", а момент сил тяжести относительно некоторой оси — пропорционален статическому моменту.
Этот момент относительно оси, проходящей через центр тяжести, равен нулю. В нуль обращается, следовательно, и статическей момент относительно центральной оси. Выражения (3.2) и (3.3) дают возможность определить положение центра тяжести, если найдены статические моменты, или, наоборот,— найти статические моменты, если известно положение центра тяжести. Рассмотрим простейшие примеры. П р и м е р 3.1.
Найти, на ка. ууг ком расстоянии от основания распос ложен центр тяжести треугольника (рис. !!3). с й х Сначала определим статический г момент треугольника относительно оси х,: Ь ! Ях = 1 ух Г(с. Рис. 113 Запишем выражение для элементарной площади; йр=сууь Из подобия И вЂ” у, треугольников получаем с= Ь Й , где Ь вЂ” основание треуголь- ника, а Й вЂ” его высота. Таким образом, а Ь Г Бх,= — ) (Й вЂ” у!) ЬН пуь о (3.4) Яю Ьиз!6 Й (ем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
