Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (1240839), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Вернемся к стержню с круговым поперечным сечением, нагруженному по торцам двумя моментами (рис. 78). В поперечных сечениях стержня возникает постоянный крутящий момент Двумя поперечными сечениями выделим из стержня элемент длиной йг, а из него в свою очередь двумя цилиндрическими поверхностями с радиусами р и р+йр выделим элементарное кольцо, показанное на рнс.
80. Гл. а квучение Правое торцевое сечение кольца поворачивается при кручении относительно левого на угол йр. Образующая цилиндра АВ поворачивается при этом на угол у и занимает положение АВ'. Отрезок ВВ' равен, с одной стороны, р йр, а с другой — ус(г. ~й Следовательно, Ю у=р и. лч л ее лр у в' Угол у представляет собой не что иное, как угол сдвигл га цилиндрической поверхности. Величина сй8,'дг обозначается обычно через 8, Рис.
80 ф =8, (2А) и называется относительным углом закручивания. Это— угол взаимного поворота двух сечений, отнесенный к расстоянию между ними. Величина 8 аналогична относительному удлинению при растяжении ЛИ. Вводя обозначение 8, получим у = р8, (2.6) По закону рука для сдвига т=-68р, (2.6) где т — касательные напряжения, возникающие в поперечном сечении бруса.
Парные им напряжения возникают в продольных плоскостях — в осевых сечениях (рис. 80). Элементарные силы туг" (рис. 81) приводятся к крутящему моменту М„= ~ троР. Интегрирование распространяется на всю площадь поперечного сечения г". Подставляя в подынтегральную функцию напряжение т нз выражения (2.6), получим М„= 68 ~ р*йс. Интеграл (р'ог" представляет собой чисто геометрическую характеристику, измеряется в см' и носит название нолярного момента $2ь кРучение стеРжня с кРуГлым сечением 92 инерции сечения: ~ !)2Н:=1,.
(2.7! Таким образом, получаем М„=-67рО, или 0= — "— . а~,. (2.8) откуда 'р=1 --" — (2 )0) !и е7 — ~ 61 а где ! — расстояние между сечениями, для которых определяется вза- Рис. 62 имный угол поворота а!н Если крутящий момент по длине стержня не изменяется, М„=%, и если жесткость остается постоянной, тс ОО! (2.! !) Вернемся теперь к выражению (2.0).
(!сключая из него О, получил! !" кР (2. ! 2) Хр Таким образом, касательные напряжения в поперечном сечении распределены вдоль радиуса по линейному закону и имеют наибольшее значение в точках, наиболее удаленных от оси (рис. 82). При этом 'И«!чака и а Велпчищ lр — = ()са Раааа (2.! 3) 4 в . и Феоаоекео Произведение 6/ называют Реесткосшь:о стержня при кручении. Через относительный угол закручивания О легко определяется и величина взаимного угла поворота сечений 7р.
Согласно выражениям (2.4) и (2.8) Г ема да Йф = — "'— ср (2.0) р ГЛ. 2. КРУЧЕНИЕ О '2 ,/ =. 2п ~ рз,(р о где 0 — диаметр сечения, или ~,= з, (2 18) Рис, 83 Если же в стержне имеется внутренняя центральная полость диаметра ~! (рис. 83), то ОЛ 2ч ~ РР )р или (2.16) Соответственно этим выражениям определяем полярный момент сопротивления )ур [см. формулу (2.13)!. Для сплошного сечения )У" = —. - 0,20', Р= !В (2.! 7) для кольцевого сечения (полый вал) )У'р ~ 0,20' (1 — О, ) . (2.18) 'Таким образом, из выражений (2.11) и (2.15) видно, что прп заданном крутящем моменте угловые перемедеция вала обРатно пРопоРциональны четвеРтой степе~,.и диОмптРа. Что же касаетсЯ наибольшего напРЯже!Н(я то шш с„туас- называется полярным ьчоментол сопротивления и измеряется в см'. Окончательно имеем т „, =-.— ". (2.14) Формулы (2.!1) и (2.14) являются основными расчетными формулами для кручения стержня с круговым поперечным сечением.
Они справедливы как для сплошного, так и для полого кругового сечения. Определим теперь величины геометрических характеристик сечения )р и Ю'р. Для этого подставим в выражение (2.7) вместо 2!Р площадь пояска 2по 2(р (рис. 81). Если стержень имеет сплошное круговое сечение, то з м. кгичение сте жня с кигглым сечением вз но выражениям (2.14) и (2.17), обратно пропорционально кубу диаметра О. Касательные напряжения в поперечных сечениях стержня направлены в каждой точке перпендикулярно текущему радиусу р. Из условия парности следует, что точно такие же напряжения возникают и в продольных сечениях (рис. 84). Наличие этих напряжений проявляется, например, при испытании на кручение Рис. 84 деревянных образцов.
Дерево, как известно, обладает ярко выраженной анизотропией упругих и прочностных свойств. Древесина имеет сравнительно низкую прочность на скалывание вдоль волокон. Поэтому разрушение деревянного образца при Рис. 86 кручении начинается с образования продольных трещин (рис. 85). Если двумя парами осевых и поперечных сечений выделить из закрученного стержня элемент АВС0, показанный на рис.
88, то на его гранях будут обнаружены В, ~~ ~., и л( Ру только касательные напРЯ- 3" жения. Следовательно, во всех точках стержня при кручении возникает состояние чистого сдвига, как в, и при кручении трубки. Здесь, однако, чистый сдвиг л 'арф А ~~уг не будет однородным, посс-и ' с=с скольку величина т изменяРис. 86 ется по радиусу поперечно- го сечения. Из предыдущего параграфа мы уже знаем, что если изменить ориентацию сечений, повернув их в плоскости сдвига на 45', то в новых площадках обнаруживаются только нормальные напряжения, равные по величине т.
Прн этом одно из них является растягивающим, а второе — сжпмаюц1пм. Гл. е кРучение Согласно сказанному, на гранях элемента АВ,С,ОИ выделенного из стержня прп помощи винтовых сечений, проведенных под углом 45' к образующим, возникают нормальные напряжения, показанные на рис. 86. Наглядной иллюстрацией этого может служить характер разрушения хрупких образцов при кручении. Хрупкие ма- Р с.зт териалы разрушаются обычно по поверхности наибольших растягпвающих напряжений. Если подвергнуть испытанию на кручение образец из хрупкого материала, например чугуна, то разрушение произойдет по сложной винтовой по- Рес.
88 верхности, соответствующей максимальным растягивающим напряжениям (рис. 87). Наличие растягивающих и сжимающих напряжений в наклонных площадках при кручении можно наглядно про- иллюстрировать и другим ф способом. На поверхности цилиндра, изготовленного из пластичного материала '4ес (рис. 88), краской было предварительно нанесено множество мелких кружоч2е ков. При закручивании бруса кружки превратились в Рас.
89 эллипсы с главными осями, направленными под углом 45' к образующим. По направлению больших осей эллипса произошло удлинение, а вдоль малых осей — сжатие. Потенциальная энергия деформации, накопленная стержнем при кручении, определяется аналогично тому, как это делалось в случае растяжения. Рассмотрим участок закру- ! 2!. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЯ С КРУГЛЫМ СЕЧЕНИЕМ !01 ченного стержня длиной с(г (рис. 89). Энергия, накопленная в этом элементе, равна работе моментов М„, приложенных по торцам: где дер — взаимный угол поворота сечеяий. !двойка, стоящая в знаменателе, опять же является следствием того, что момент М„меняется пропорционально !(Гр. В полученное выражение подставляем с(!р (2.9).
Тогда М.; аа 207 Р Потенциальная энергия во всем стержне определяется интегрированием выражения (2.19) !ю длине: ! и=~ М',"'. (2.20) Если момент М„по длине не меняется и жесткость гюстоянна, то М„=л))! и 9))л! (7= —— 20/р ' Рассмотрим некоторые примеры. П р и м е р 2.1.
Вал передает момент 0)1=!0000 Н м. Требуется подобрать размеры поперечного сечения вала для двух случаев: а) для сплошного кругового сечения; б) для кругового сечения с отверстием (л)=7!)!8). Сравнить оба сечения по расходу металла. Допускаемое напряисенне )т)=60 МПа. По формуле (2.14) для обоих сечений вгр — — Мк)[т) = 167 смл.
Для сплошного сечения. согласно выраженное (2.!7), ))л= 167/0,2=836 смй !) = — 9,41 см. Для полого сечения из выражения (2.!8) получаем: 167 ))а=о, л . =20!4 сллл; 0=12,6 см. 0,2 11 — 7л!Ел) Расход металла пропорционален плошади поперечного сечения. В первом случае Р=НРл)4=69,6 сллл, во втором случае п))т Г т)т Т г — — ! — — =29, см . Пл ! Гл. 3.
кручпние !02 Таким образам, полое сечение является более экономичным и в рассматриваемом случае (при а)Р=718) дает более чем двукратное сниженае расхода металла. То, что полый вал является более выгодным, чем вал сплошного сечения, ясно нз рассмотрения эпюры напряжений в сечении вала (рис. 90). В центральной части сплошного (гл77 сечения материал на- РЛ пряжен сравнительно мало и его нспользоваиие далеко не полно. ' р . — - —.— -2В- — ' Для сечения с отвер. огнем напряжения распределены более равномерно (рис.
90) и л1 степеаь использования 21 1 1 71 материала повышается. Я)л,Я УЮ) П р и м е р 2.2. + Построить эшоры кру. В Е ~~ тящих моментов, напряжений и углов поворота для вала, показанного на рис. 91,а. Ф Система является один раз статически г1 1 1- г( неопределимой. Поэтому сначала раскрыва- О г) У М 17т(гР Я 5Я 11 г 1УУ Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
