Главная » Просмотр файлов » Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г.

Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (1240839), страница 21

Файл №1240839 Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (ДЗ "Расчет элементов газогидравлического стенда") 21 страницаФеодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (1240839) страница 212021-01-08СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

рис. 1!3). После интегрирования находим Я„,=ЬЙЧ6. Расстояние от основания треугольника до центра тяжести 124 гл. з. геометрические хлрлктеристики сечения П р и м е р 3.2. Определить положение центра тяжести сложного составного сечения (рис. 114). Разбиваем сечение на три простейшие фигуры: треугольник, прямоугольник н полукруг. Выбираем произвольную систему осей х, и уз и определяем координаты центров тяжести составляющих фигур. ат ! Рис.

114 У треугольника центр тяжести С, находится на расстоянии '/з высотти от основания. Для прямоугольника положение центра тяжести С, определяется пересечением средних линий. У полукруга центр тяжести рас- 4)г положен на оси симметрии на расстоянии — от вертикального Зп диаметра (рпс. 114). Последнее выражение (тому, кто не забыл, чему равен объем шара) удобнее всего получить на основании теоремы Гюльдена Вращая полукруг относительно диаметра, получаем тело вращения — сфчру, объем которой равен произведению дуги 2пс на плошадь подуя!ига: 4 з л~~з 4Л вЂ” п)!а=2пс —, откуда с= — . 3 2 Зп ' Определяем статический момент составной фигуры как сумму статичесних моментов составляющих фигур; 5., =гиря+Гзую+Гзуа; Таким образом, находим ! 20з Зз = — 60 30 10 + 30.60.30 -1-и†40 = 33 10п ммз 2 2 За, = — — 30.60 20+30 60 !5+м — ~30+ — ) =33 200 млзз.

1 20з / 4.20) 2 ~ Зп) ! 1лощадь составной фигуры равна Р= — 60 30+30 60+ — =3330 ммз. 1 . и 20з 2 2 Искомые иоординаты центра тязкести в системе осей х, и у, имеют следузощие значения. ла = 5„„'Г = 9,97 мм, ре = Зх,!р = 26,5 мм. т за моменты инвеции свчвния $ 26. Моменты инерции сечения В дополнение к статическим моментам рассмотрим еще три следующих интеграла: )„= ~ у" е(Р, 7 = ~х'е(Р, l„= ~хуе(Р, (3,5) где по-и режнему через х и у обозначены текущяе координаты элементарной площадки ЙР в произвольно взятой системе координат х, у (рис.

111). Первые два интеграла называются осевыми моментами инерции сечения относительно осей х и у соответственно. Третий интеграл называется ценгпробежным моментом инерции сечения относительно осей х, у. Измеряются моменты инерции в см' или мм'. Осевые моменты инерции всегда положительны, поскольку положительной считается площадь аР. Центробежный момент инерции может быть как положительным, так и отрицательным, в зависимости от расположения сечения относительно осей х, у. Выведем формулы преобразования моментов инерции при параллельном переносе осей. Для этого снова обратимся к рис. 112. Будем считать, что нам заданы моменты инерции и статические моменты относительно осей х, и у,.

Требуется определить моменты инерции относительно осей х, и уй'. ,7, = ~ у,'дР; У„„= ~ х,'е(Р; /,,„,= ~ хму,г(Р, р е Подставляя сюда х,=х,— а и у,=у,— Ь, находим 7.=((у~ — Ь)'ЙР /е.=~(х — а)*3Р. ,7„,„,= ~ (х,— а) (у,— Ь)дР. Раскрывая скобки, получим согласно обозначениям (3.1) и (3.5): У,, = l,, — 2ЬЯч + Ь'Р, ,7„„= l „, — 2а5е, + а'Р, (3.6) г„„„, = .Г,,„, — ао',, — ЬБм + аЬР. Если оси х, и у, — центральные, то о„=5„,=0, и полученные выражения упрощаются. Тогда У„, = У,, + ЬеР, 1„, = ем+ а'Р, 7,,„, =,(„,м + аЬР.

(3.7) Следовательно, при параллельном переносе осей (если одна Гл. 3, Геометрические хлрлктеристики сечении из осей — центральная) осевые моменты инерции меняются на величину, равную произведению площади сечения на квадрат расстояния между осями. Из первых двух формул (3.7) следует, что в семействе параллельных осей минимальный момент инерции получается относительно центральной оси (а=О илй Ь=О). Поэтому легко запомнить, что при переходе от центральных осей к нецентральным осевые моменты инерции увеличиваются и величины пер' и ЬеЕ следует к моментам инерции прибавлять, а при переходе от нецентральиых осей к центральным — вычиРис. 113 тать.

При определении центробежного момента инерции по последней из формул (3.7) следует учитывать знак величин а и Ь. Можно, однако, и сразу установить, в какую сторону меняется величина /„и при параллельном переносе осей. Для этою следует иметь в виду, что часть площади, находящаяся в 1 и 1П квадрантах системы координат х,у, (рис. 115), дает положительное значение центробежного момента, а части, находящиеся в П и 1Ч квадрантах, дают отрицательные значения. Поэтому при переносе осей проще всего устанавливать знак слагаемого аЬГ в соответствии с тем, какие из четырех слагаемых площадей увеличиваются и какие— уменьшаются. Например, если от центральных осей х„уг (рис.

115) следует перейти к осям х„у„то видно, что в результате такого переноса резко возрастает площадь 1Ч квадранта, следовательно, момент инерции уменьшается и произведение аЬЬ' из момента У„,„ следует вычесть. В следующих ниже примерах определим моменты инерции простейших сечений относительно характерных осей. П р и м е р 3.3.

Найти момент инерции пря. моугольника с основанием Ь и высотой й относительно основания и относительно центральной оси, параллельной основанию (рис. 116). момент инерции относительно оси лг равен ь Ьйа 1ю= ) Ег Ер'= ) Угьоуд, или У»,=— е о Рис. 11б 127 4 зб. МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ СЕЧЕНИЯ Воспользованщись формулой переноса (3.7), находим момент инерции относительно центральной оси: ! йде Ьйз Ух=ух,-~-) д, «ли !х= —, !2 П р и и е р 3.4. Найти момент инерции рассмотренного ранее треугольника (рис. ПЗ) относительно основания и относщельно центральной оси, параллельной основанию.

Чтобы не повторять выкладок, вернемся к выражению (3.4) для статического момента треугольника и заменим величину д,, стоящую под знаком интеграла, на д~г. Тогда а Ь Г 2 ух,= — ~~(й — д,) д,ддп й,) о Ьйз откуда lх,=— 12 По формуле переноса находим момент инерции относительно центральной оси х (рис.

113): l й >2 Ьйа с' =УМ вЂ” ~ — ! г, или /=в ~3~ * 36 П р и м е р 3.5. Определить центробежный момент инерции прямоугольного треугольника относительно осей, совпадающих Рис. !!7 с его катетами (рис. !!7). Выделим элемент площади с)хг с!д, н, полагая величану д, нензменаой, определим центробежный момейт полоски Айй с сз Уха, (АВ) =дг с(дт ~ х, йх, = — д, г!д, —. 2 ' о Но Ь с=- (й — д,), й поэтому Ье Ух,ю[АВ) = —, (й — дйе дт с(дн Проинтегрируем это выражение по д, от нуля до й: а Ьа Г Ьтйд с'хе,= —, 1 (й — д,)'д,йдп или ух,с,— — —. 2!Р,) 24 о Перейдем к центральной системе осей хд (рнс.

1!7). При переходе к этим осям увеличиваются плошади во П и 1Ч квадраятах, дающие отрицательные значения центробежного момента. Следовательно, величину У „, по формуле переноса след>ет >меньшить вьщитанием произведения аЬЬ: й Ь бейт с' = Ух,а — — — Г, илн 7 3 3 ' х" 72 !(ентробежный момент инерции относительно осей х, д оказался, как вндсгм~ отрнцдтстьныьп 1ЗЗ гл. з. гвометвичвскив хлихктвгистики свчвини $ 27. Главные оси и главные моменты инерции Посмотрим, как изменяются моменты инерции прп повороте осей координат.

Положим, даны моменты инерции некоторого сечения относительно осей х, у (не обязательно и 7 центральных). Требуется определить у„, у, и I„ — моменты инерции относительно осей и, о, аР повернутых относительно первой системы на а и угол а (рис. 118). Р у Так как проекция лоа маной линии ОЛВСравх л на проекции замыкающей, находим: и=у з(п а+ х соз а, О=у соз а — х 51п а. В выражениях моментов инерции ,г'„= ~ о' г(Р,,1„= ~ и' НР и У„„= ~ ио аР с с исключаем и и о. Тогда /„= ~ (усова — хяпа)'ИР, l„= ~ (у яп а+ х соз а)' дР, У„„= ) (усова — хз!па)(уз1па+хсоза) ЙР, откуда l,=у„соз'а — У„„з)п 2а-1- У, яп'а, l, =,1„з(п' а+ У„яп 2а+ У, соз' а, ,г„— lр l„, = l„„соз 2а+ я "яп 2а. (3.8) Рассмотрим два первых уравнения.

Складывая их почленно, получим У +У.=У +1 =)(у'+х2)~(Р Таким образом, сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей не зависит от угла з Ех глАвные оси и Г7!Авные моменты инеРции 7ез а и при повороте осей остается постоянной. Заметим при этом, что хо+ух рх где р — расстояние от начала координат до элементарной площадки (рис. 118).

Таким образом, Ух+о 2 хр (3.9) где Ур — уже знакомый нам полярный момент инерции ~ р2!Ц: величина которого, естественно, не зависит от поворота осей х, у. При помощи выражения (3.9), в частности, легко определяется осевой момент инерции круга относительно диаметра. Так как в силу симметрии 1„=1, получаем Хх= =.7'„=Ур!2, но величина Урнам известна: Ур — — НРЦ32, следовательно, для круга хх 772 У„= /„= —. К 2 Е4 С изменением угла поворота осей а каждая из величин Х„и 1, меняется, а сумма их остается неизменной. Следовательно, существует такое а, при котором один из моментов инерции достигает своего максимального значения, в то время как другой момент инерции принимает минимальное значение.

Дифференцируя выражение l, (3.8) по а и приравнивая производную нулю, находим 1п 2а=— хокр (3.10) р х При этом значении угла а один из осевых моментов будет наибольшим, а другой — наименьшим. Одновременно центробежный момент инерции 7'„при указанном угле а обращается в нуль, что легко устанавливается из третьей формулы (3.8). Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты принимают экстремальные значения, называются главными осями. Если они к тому же являются центральными, то тогда они называются главными цгнтральныл7и осями.

Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными момен- 5 В. И. Феодосьев 130 .Л. 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕЧЕНИЙ талги инерции. Определим их. Для этого первые две формулы (3.8) перепишем в виде ~к+~у ~у ~х Х„= ~ — ' соз2а — у' узгп2а 2 2 ху в Гх+ ~у 'гу Ух у,= ' 2 + 2 Созйа+Iхуз1П2а. Учитывая, что и з)п 2сс = 16 2сл 1' 1+1из 2а соз2а= 1 Р' 1+гкз2а исключаем при помощи выражения (3.10) угол а. Тогда чс ь)г'(4 4 )' 1 (лп1 Верхний знак соответствует максимальному моменту инерции, а нижний — минимальному. После того как сечение вычерчено в масштабе и на чертеже показано положение главных осей, нетрудно глазомерной оценкой установить, которой из двух осей соответствует максимальный и которой — минимальный момент инерции.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
12,73 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов домашнего задания

Литература
Нормативные документы
ДЗ_Испытания_и_диагностика_ЖРД.xmcd
При открытии Mathcad-файла нажать на кнопку `Нет`.JPG
Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6510
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее