Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (1240839), страница 21
Текст из файла (страница 21)
рис. 1!3). После интегрирования находим Я„,=ЬЙЧ6. Расстояние от основания треугольника до центра тяжести 124 гл. з. геометрические хлрлктеристики сечения П р и м е р 3.2. Определить положение центра тяжести сложного составного сечения (рис. 114). Разбиваем сечение на три простейшие фигуры: треугольник, прямоугольник н полукруг. Выбираем произвольную систему осей х, и уз и определяем координаты центров тяжести составляющих фигур. ат ! Рис.
114 У треугольника центр тяжести С, находится на расстоянии '/з высотти от основания. Для прямоугольника положение центра тяжести С, определяется пересечением средних линий. У полукруга центр тяжести рас- 4)г положен на оси симметрии на расстоянии — от вертикального Зп диаметра (рпс. 114). Последнее выражение (тому, кто не забыл, чему равен объем шара) удобнее всего получить на основании теоремы Гюльдена Вращая полукруг относительно диаметра, получаем тело вращения — сфчру, объем которой равен произведению дуги 2пс на плошадь подуя!ига: 4 з л~~з 4Л вЂ” п)!а=2пс —, откуда с= — . 3 2 Зп ' Определяем статический момент составной фигуры как сумму статичесних моментов составляющих фигур; 5., =гиря+Гзую+Гзуа; Таким образом, находим ! 20з Зз = — 60 30 10 + 30.60.30 -1-и†40 = 33 10п ммз 2 2 За, = — — 30.60 20+30 60 !5+м — ~30+ — ) =33 200 млзз.
1 20з / 4.20) 2 ~ Зп) ! 1лощадь составной фигуры равна Р= — 60 30+30 60+ — =3330 ммз. 1 . и 20з 2 2 Искомые иоординаты центра тязкести в системе осей х, и у, имеют следузощие значения. ла = 5„„'Г = 9,97 мм, ре = Зх,!р = 26,5 мм. т за моменты инвеции свчвния $ 26. Моменты инерции сечения В дополнение к статическим моментам рассмотрим еще три следующих интеграла: )„= ~ у" е(Р, 7 = ~х'е(Р, l„= ~хуе(Р, (3,5) где по-и режнему через х и у обозначены текущяе координаты элементарной площадки ЙР в произвольно взятой системе координат х, у (рис.
111). Первые два интеграла называются осевыми моментами инерции сечения относительно осей х и у соответственно. Третий интеграл называется ценгпробежным моментом инерции сечения относительно осей х, у. Измеряются моменты инерции в см' или мм'. Осевые моменты инерции всегда положительны, поскольку положительной считается площадь аР. Центробежный момент инерции может быть как положительным, так и отрицательным, в зависимости от расположения сечения относительно осей х, у. Выведем формулы преобразования моментов инерции при параллельном переносе осей. Для этого снова обратимся к рис. 112. Будем считать, что нам заданы моменты инерции и статические моменты относительно осей х, и у,.
Требуется определить моменты инерции относительно осей х, и уй'. ,7, = ~ у,'дР; У„„= ~ х,'е(Р; /,,„,= ~ хму,г(Р, р е Подставляя сюда х,=х,— а и у,=у,— Ь, находим 7.=((у~ — Ь)'ЙР /е.=~(х — а)*3Р. ,7„,„,= ~ (х,— а) (у,— Ь)дР. Раскрывая скобки, получим согласно обозначениям (3.1) и (3.5): У,, = l,, — 2ЬЯч + Ь'Р, ,7„„= l „, — 2а5е, + а'Р, (3.6) г„„„, = .Г,,„, — ао',, — ЬБм + аЬР. Если оси х, и у, — центральные, то о„=5„,=0, и полученные выражения упрощаются. Тогда У„, = У,, + ЬеР, 1„, = ем+ а'Р, 7,,„, =,(„,м + аЬР.
(3.7) Следовательно, при параллельном переносе осей (если одна Гл. 3, Геометрические хлрлктеристики сечении из осей — центральная) осевые моменты инерции меняются на величину, равную произведению площади сечения на квадрат расстояния между осями. Из первых двух формул (3.7) следует, что в семействе параллельных осей минимальный момент инерции получается относительно центральной оси (а=О илй Ь=О). Поэтому легко запомнить, что при переходе от центральных осей к нецентральным осевые моменты инерции увеличиваются и величины пер' и ЬеЕ следует к моментам инерции прибавлять, а при переходе от нецентральиых осей к центральным — вычиРис. 113 тать.
При определении центробежного момента инерции по последней из формул (3.7) следует учитывать знак величин а и Ь. Можно, однако, и сразу установить, в какую сторону меняется величина /„и при параллельном переносе осей. Для этою следует иметь в виду, что часть площади, находящаяся в 1 и 1П квадрантах системы координат х,у, (рис. 115), дает положительное значение центробежного момента, а части, находящиеся в П и 1Ч квадрантах, дают отрицательные значения. Поэтому при переносе осей проще всего устанавливать знак слагаемого аЬГ в соответствии с тем, какие из четырех слагаемых площадей увеличиваются и какие— уменьшаются. Например, если от центральных осей х„уг (рис.
115) следует перейти к осям х„у„то видно, что в результате такого переноса резко возрастает площадь 1Ч квадранта, следовательно, момент инерции уменьшается и произведение аЬЬ' из момента У„,„ следует вычесть. В следующих ниже примерах определим моменты инерции простейших сечений относительно характерных осей. П р и м е р 3.3.
Найти момент инерции пря. моугольника с основанием Ь и высотой й относительно основания и относительно центральной оси, параллельной основанию (рис. 116). момент инерции относительно оси лг равен ь Ьйа 1ю= ) Ег Ер'= ) Угьоуд, или У»,=— е о Рис. 11б 127 4 зб. МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ СЕЧЕНИЯ Воспользованщись формулой переноса (3.7), находим момент инерции относительно центральной оси: ! йде Ьйз Ух=ух,-~-) д, «ли !х= —, !2 П р и и е р 3.4. Найти момент инерции рассмотренного ранее треугольника (рис. ПЗ) относительно основания и относщельно центральной оси, параллельной основанию.
Чтобы не повторять выкладок, вернемся к выражению (3.4) для статического момента треугольника и заменим величину д,, стоящую под знаком интеграла, на д~г. Тогда а Ь Г 2 ух,= — ~~(й — д,) д,ддп й,) о Ьйз откуда lх,=— 12 По формуле переноса находим момент инерции относительно центральной оси х (рис.
113): l й >2 Ьйа с' =УМ вЂ” ~ — ! г, или /=в ~3~ * 36 П р и м е р 3.5. Определить центробежный момент инерции прямоугольного треугольника относительно осей, совпадающих Рис. !!7 с его катетами (рис. !!7). Выделим элемент площади с)хг с!д, н, полагая величану д, нензменаой, определим центробежный момейт полоски Айй с сз Уха, (АВ) =дг с(дт ~ х, йх, = — д, г!д, —. 2 ' о Но Ь с=- (й — д,), й поэтому Ье Ух,ю[АВ) = —, (й — дйе дт с(дн Проинтегрируем это выражение по д, от нуля до й: а Ьа Г Ьтйд с'хе,= —, 1 (й — д,)'д,йдп или ух,с,— — —. 2!Р,) 24 о Перейдем к центральной системе осей хд (рнс.
1!7). При переходе к этим осям увеличиваются плошади во П и 1Ч квадраятах, дающие отрицательные значения центробежного момента. Следовательно, величину У „, по формуле переноса след>ет >меньшить вьщитанием произведения аЬЬ: й Ь бейт с' = Ух,а — — — Г, илн 7 3 3 ' х" 72 !(ентробежный момент инерции относительно осей х, д оказался, как вндсгм~ отрнцдтстьныьп 1ЗЗ гл. з. гвометвичвскив хлихктвгистики свчвини $ 27. Главные оси и главные моменты инерции Посмотрим, как изменяются моменты инерции прп повороте осей координат.
Положим, даны моменты инерции некоторого сечения относительно осей х, у (не обязательно и 7 центральных). Требуется определить у„, у, и I„ — моменты инерции относительно осей и, о, аР повернутых относительно первой системы на а и угол а (рис. 118). Р у Так как проекция лоа маной линии ОЛВСравх л на проекции замыкающей, находим: и=у з(п а+ х соз а, О=у соз а — х 51п а. В выражениях моментов инерции ,г'„= ~ о' г(Р,,1„= ~ и' НР и У„„= ~ ио аР с с исключаем и и о. Тогда /„= ~ (усова — хяпа)'ИР, l„= ~ (у яп а+ х соз а)' дР, У„„= ) (усова — хз!па)(уз1па+хсоза) ЙР, откуда l,=у„соз'а — У„„з)п 2а-1- У, яп'а, l, =,1„з(п' а+ У„яп 2а+ У, соз' а, ,г„— lр l„, = l„„соз 2а+ я "яп 2а. (3.8) Рассмотрим два первых уравнения.
Складывая их почленно, получим У +У.=У +1 =)(у'+х2)~(Р Таким образом, сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей не зависит от угла з Ех глАвные оси и Г7!Авные моменты инеРции 7ез а и при повороте осей остается постоянной. Заметим при этом, что хо+ух рх где р — расстояние от начала координат до элементарной площадки (рис. 118).
Таким образом, Ух+о 2 хр (3.9) где Ур — уже знакомый нам полярный момент инерции ~ р2!Ц: величина которого, естественно, не зависит от поворота осей х, у. При помощи выражения (3.9), в частности, легко определяется осевой момент инерции круга относительно диаметра. Так как в силу симметрии 1„=1, получаем Хх= =.7'„=Ур!2, но величина Урнам известна: Ур — — НРЦ32, следовательно, для круга хх 772 У„= /„= —. К 2 Е4 С изменением угла поворота осей а каждая из величин Х„и 1, меняется, а сумма их остается неизменной. Следовательно, существует такое а, при котором один из моментов инерции достигает своего максимального значения, в то время как другой момент инерции принимает минимальное значение.
Дифференцируя выражение l, (3.8) по а и приравнивая производную нулю, находим 1п 2а=— хокр (3.10) р х При этом значении угла а один из осевых моментов будет наибольшим, а другой — наименьшим. Одновременно центробежный момент инерции 7'„при указанном угле а обращается в нуль, что легко устанавливается из третьей формулы (3.8). Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты принимают экстремальные значения, называются главными осями. Если они к тому же являются центральными, то тогда они называются главными цгнтральныл7и осями.
Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными момен- 5 В. И. Феодосьев 130 .Л. 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕЧЕНИЙ талги инерции. Определим их. Для этого первые две формулы (3.8) перепишем в виде ~к+~у ~у ~х Х„= ~ — ' соз2а — у' узгп2а 2 2 ху в Гх+ ~у 'гу Ух у,= ' 2 + 2 Созйа+Iхуз1П2а. Учитывая, что и з)п 2сс = 16 2сл 1' 1+1из 2а соз2а= 1 Р' 1+гкз2а исключаем при помощи выражения (3.10) угол а. Тогда чс ь)г'(4 4 )' 1 (лп1 Верхний знак соответствует максимальному моменту инерции, а нижний — минимальному. После того как сечение вычерчено в масштабе и на чертеже показано положение главных осей, нетрудно глазомерной оценкой установить, которой из двух осей соответствует максимальный и которой — минимальный момент инерции.