Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (1240839), страница 26
Текст из файла (страница 26)
152, б), брус будет изгибаться как целый. В этом Р Р <благ Рис. 152 случае величина наибольшего нормального ~апряжения оказывается в и раз меньшей, т. е. 6Р1 о-=Ба. Иными словами, связанный пакет листов способен в первом приближении выдержать нагрузку в и раз ббльшую, чем несвязанный. й 30. НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ 1огу В поперечных сечениях болтов при изгибе бруса возникают поперечные силы. Наибольшая поперечная сила будет в сечении, совпадающем с нейтральной плоскостью изогнутого бруса (сечение АА рис. 152, б). Величина этой силы определяется в первом приближении из простого равенства сумм поперечных сил в сечениях болтов и продольной равно- действу!ошей касательных напряжений в случае целого бруса: 3 Р 3 Р! а- = =-.—,Ьй(=-— болта ахах 2 .ЬЬ 2 Ь где и! — число болтов. Интересно сопоставить изменение кривизны бруса в заделке по формуле (4.5) в случае связанного и несвязанного пакетов.
Для связанного пакета 1 Мааг 12Р! р ЕУ ЕЬЬа ' Для несвязанного пакета 1 й(ааг (Р!и) ! 12Р! р Еук Е (Ь)12) (Ь)л)а ЕЬЬа Пропорционально изменениям кривизны меняются и прогибы, Таким образом, по сравнению с целым брусом набор свободно сложенных листов оказывается в и' раз более гибким и только в п раз менее прочным. Это различие в коэффициентах сннжения жесткости и прочности при переходе к листовому пакету используется на практике прн создании гибких рессорных подвесок. Силы трения между листами повышают жесткость пакета, так как частично посстанавлива!от касательные силы между слоями бруса, устраненные прп переходе к листовому пакету. Рессоры нуждаются поэтому в смазке листов и должны оберегаться от загрязнения.
Заканчивая параграф о поперечном изгибе, приведем пример, илл!острирующий последовательность расчета бруса на прочность при изгибе. П р и и е р 4.6. Требуется подобрать размер а Т-образного поперечного сечения, показанного на рис. 153, для двухопориой балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой интенсивности 0. Коэффициент запаса по пределу текучести должен быть ае менее чем двукратный. Лане: 1= 1 и, 0= 100 Н)см, п,в=ото=350 МПа.
Определяем реакции опор и строим зпюру изгибаюпгих моментов 8 (рис. !53). Расчетный изгибаюгцяй момент равен М,„= — 0П. По усло- 9 ГЛ. 4. ИЗГИБ 158 8дп отр вию прочности — е~ †, откуда момент сопротивления П' ) 91нл и х )50 7 смч Рассматривая заданное сечение, определяем расстояние от оси хт 29 до центра тяжести. Оно равно — а. Момент инерции относительно оси х, !8 г Рис. 153 707 равен 7„ =43ае. Переходя к центральной оси х, получим Хе= в ае. "1 36 Наконец, момент сопротивления окззывзется равным 17 ' 29 Х 707 =7 1 5а — — а ~ = — ае, откуда определяется рззмер а: аз ~ 18 7' 122 122 ~ 50,7 07 смз, а,м 2,06 см. ф 31.
Касательные напряжения при поперечном изгибе тонкостенных стержней При поперечном изгибе тонкостенного стержня в его сечениях преобладающими остаются нормальные напряжения и ими в основном определяется прочность стержня. Однако здесь, в отличие от бруса сплошного сечения, существенное значение приобретают величина и законы распределения касательных напряжений.
Касательные напряжения в поперечных сечениях тонкостенного стержня определяются по тому же принципу, что и для сплошного бруса. Разность нормальных сил для элементарного участка, расположенного по одну сторону от продольного разреза (рнс. 154), уравновешивается касательными напряжениями т. В отличие от бруса сплошного сечения продольный разрез тонкостенного стержня следует производить не параллельной нейтральному слою плоскостью, а плоскостью АА, норл4аламой к средней линии кон- $3е кАсАтельные нАпРяжения В стеРжнях 159 тура (рис. !54).
Такое сечение имеет наименьшую ширину, равную 6, и в нем касательные напряжения, уравновешивающие разность нормальных сил, будут иметь ббльшую величину, чем в других продольных сечениях. Рис. 154 Возвращаясь к выводу формулы Журавского, проделанному в 9 ЗО, легко обнаружить, что для тонкостенного стержня в этом выводе ничего не меняется, кроме того, что обозначение Ь заменяется на 6. В итоге имеем (4.13) В этой формуле, как и прежде Я вЂ” поперечная сила в сечении, направленная перпендикулярно оси х; 5„' — статический момент относительно Р оси х заштрихованной части сечения (рис. 154); ӄ— момент инерции всего сечения относи- те тельно главной оси х. Касательные напряжения т предполагаются равномерно распределенными по ширине сечения 5.
В поперечном сечении стержня возникают напряжения, те гг парные т. Они направлены по Рис. 155 касательной к линии контура (рнс. 155). Если направление поперечной силы Я не совпадает с главной осью сечения, получим, очевидно, 1)„5, О„5д (4. 14) ~хб ~пб где Я„и 1,)и — составляющие поперечной силы по главным осям х и у. П р и и е р 4.7. Определить закон распределения касательных напряжений в корытном профиле при поперечном изгибе в вертикальной плоскости (рис. 156).
160 ГЛ. Ч. ИЗ! ИБ йзб. При размерах, показанных на рисунке, У = — (5+65). Для 12 й участка полки длиной а (рис. 156) имеем 3»= — йз. Таким образом, Рнс. 156 для полки, согласно формуле (4.13), бааз Лб (й+ 6Ь) ' и касательное напряжение оказывается пропорциональным з. То же самое имеет место и для нижней полки. Рис. 157 Если разрез сечения произвести на участие вертикальной стенки, статический момент части сечения, расположенной выше уровня у, будет равен * 5/ йз 5,'= — (Ь + — — уе) 2 (, 4 и тогда 69 (Ьй + — — уз) йзй(й+6Ь) Эдесь касательное напряжение представляет собой квадратичную функцию у. 4 32. ПЕНТР ИЗГИБА 151 На рис.
!55 показана эпюра распределения касательных напряжений по контуру. Знак т вдоль контура, как видим, не меняется. Следавательно, найденное касательное напряжение сохраняет для всех точек сечения постоянное направление, т. е. либо от края ! к краю У, либо же от края 2 к краю Д в зависимости от знака поперечной силы (рис.
157). Рис. 158 П р и м е р 4.8. Найти закон распределения касательных напря>кеннй в круговом незамкнутом профиле при изгибе в плоскости, перпендикулярной осн симметрии (рис. 158). Момент инерции сечения относительно оси к равен а„=п>таб. Статический момент заштрихованной части сечения определяется интегралом За=6') йззшфпф=)126(1-(-созф). Соответственно этому т = — (1+ соз ф), после чего может быть пес>росна эшора 0 п)тб (рнс.
158). 8 32. Центр изгиба Система сил, лежащих в плоскости сечения, как известно из теоретической механики, может быть приведена к любой точке плоскости в виде равнодействующей и !ломента. Величина равнодействующей не зависит от точки приведения и во всех случаях равна поперечной силе ф. В этом можно убедиться хотя бы на примере рассмотренного кругового незамкнутого профиля (рис. 188).
Здесь равнодействующая касательных сил по оси у определяется следующим интегралом: т соз ф г)г" = — 1 (1 + соз ф) соз ф йр, а г который, как легко установить, равен (,). То же самое имеет место и для рассмотренного выше примера корып!ого и вообще для дюбого профиля.
б Б. и, Оеода>ьев ГЛ. 4. ИЗГИБ 162 Что касается равнодействующего момента в сечении, то он зависит от положения точки приведения сил. Так, например, в том же случае кругового незамкнутого профиля момент касательных сил относительно центра круга (рис. 159) будет Мс = ~ тй с(Р = — ) (1 + соз ср) асср = ай. ол г При переходе к другой точке момент изменится, очевидно, на величину Яа, где а — расстояние от первой точки до й аа аа Рис. 169 а) второй.
Так, если привести силы к точке А (рис. 159, в), то МА= "10 1~Ж=Ф~' Существует такая точка, относительно которой момент касательных сил в сечении при поперечном изгибе равен нулю. Эта точка называется центром изгиба. В рассмотренном примере центр изгиба находится на расстоянии 2)с от центра круга (рис.
159, г). Для корытного профиля (рис. 160) в точке А имеем Ь М„= 2 — ) 6 й. о Согласно выражению (4.15) после интегрирования получим ЗЬБ МА=Я вЂ”. П+6Ь ' Отсюда следует, что центр изгиба находится на расстоянии ЗЬ вЂ” от средней линии стенки (рис. 160, в). Л+6Ь Для сечений, имеющих две оси симметрии, центр изгиба совпадает, очевидно, с центром тяжести. В некоторых простейших случаях положение центра изгиба может быть указано .без проведения каких бы то 1 За центР изГибА ни было вычислений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
