Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (1240839), страница 29
Текст из файла (страница 29)
По формуле (4.27) получаем уравнение нейтральной линии 284 р = — х — сгй 45' = — 3,83х. 74,1 На рисунке проводится эта прямая, и определяется наиболее удаленная от нее точка А (рис. 175). Координаты этой точки будут Кт= — 3,6 см, Рис. 175 у,= — 6,4 см! М„= Ма —— М вЂ” =47090 Н см. По формуле (4.28) оп- г' 2 ределяем 47090 6,4 47090 3,6 234 74,1 П р им е р 4.13. Даухопорная бална (рис. 176, а) нагружена силами Р и 2Р. Определить наибольшее напряжение, если сечение балки— примну~ельник со сторонами Ь и 2Ь (рис.
176, б). ГЛ. Я. ИЗГИБ !76 В данном случае внешние силы приложены по главным осям сечения и удобнее всего рассмотреть раздельно зпюры изгибающих моментов от одной и от другой силы. Наиболее опасными будут точки, расположенные на ребре АВ, где суммирулотся наибольшие сжнмалощне д — Р г Рис. )76 напряжения, или на ребре С0, где суммируются наибольшие растягивающне нзпрянгення. Рассмотрим средний участок. На расстоянии г от левой опоры 2Р Р (рис. (76, в) имеем М =- — (3! — г), М = —,г. Для точки ребра С!) 3 л= 3 2Р3! — г Р г "* = — =.+ — =- 3 Цт„з Цт Так как РУ,=Ь(2ЫЯ(6 н Фв=2ЬЬЬ(6, то для среднего участка ом,„ сказывается ие зависящим от г и равным ЗР(ГЬЯ.
На перволл и третьем участках напряжения будут мепьшимн. $ 36. Внецентренное растяжение н сжатие Прп внецентренном растяжении равнодействующая внешних сил не совпадает с осью стержня, как прп обычном растяжении, а смещена относительно оси г и остается ей параллельной (рис. 177). Пусть точка А приложения равнодействующей внешних сил имеет в сечении координаты х, и ул (рис. 177).
Тогда относительно главных осей равнодействулощая сила Р дает $ за внецснтРенное РАстяжение и сжАтие !77 моменты Р Руси Рхсх о 1 е 1 с /х 7у (4.29) Пространственная эпюра напряжений образует плоскость. Уравнение нейтральной линии получаем, приравнивая о нулю: Наибольшие напряжения, как и при косом изгибе, имеют место в точке с координатами х„у„наиболее удаленной от нейтральной линии: 7 ! усу> х,х> '> )Р При внецентренном растяженни— Рис. !77 сжатии в отличие от косого изгиба нейтральная линия не проходит через центр тяже- сти сечения. При положительных х, и у, по крайней мере одна из величин х и у, входящих в уравнение (4.30), должна быть отрицательной.
Следовательно, если точка приложения силы Р находится в первом квадранте, то нейтральная линия проходит с противоположной стороны центра тяжести через квадранты 2, 3 и 4 (рис. 178). Расстояние от начала координат до некоторой прямой ау+(>х+С=О, как известно из курса аналитической геометрии, равно ОС= )/ их+~ф ' Мх=Ру, и Л4Р=Рх,. Таким образом, внецентренное растяжение — сжатие оказывается родственным косому изгибу. В отличие от последнего, однако, при внецентренном растяжении в поперечном сечении стержня возникают г Р не только изгибаю>цие моменты, но ху и нормальная сила М=Р. В произвольной точке В с коорди- Ф натами х, у нормальное напряжение о определяется следующим выраже- 178 гл.
з. изгив В данном случае (рис. 178) ОС = . (4. 31) > юГНЖ! Следовательно, по мере того как точка приложения силы приближается к центру тяжести сечения, нейтральная линия удаляется от него. В пределе при х,=у,=О, когда сила Р приложена в центре тяжести, нейтральная линия находится в бесконечности. Р Напряжения в этом случае распределены по сечению равномерно. По мере того как точка приложения силы удаляется от центра тяжести, отрезок ОС е Р7л;,Р,у уменьшается и нейтральная линия, ' 7 7 следовательно, приближается к цент- ру тяжести.
~У ф Из сказанного следует, что при внецентренном растяжении и сжатии нейтральная линия может как пересекать сечение, так и находиться за его пределами. В первом случае в се- 7>,7л...,м, чении возникают и РастЯгиваюЩне, лйьз>г и сжимающие напряжения. Во втором Рис. 178 случае напряжения во всех точках сечения будут одного знака.
Затронутый вопрос имеет значение, например, для расчета сжатых кирпичных колонн. Кирпичная кладка плохо сопротивляется растяжению. Поэтому желательно, чтобы напряжения при внецентренном сжатии были для всего сечения сжимающими и чтобы нейтральная ливия проходила за пределами сечения. Для этого нужно внешнюю силу прикладывать достаточно близко к центру тяжести. В окрестности центра тяжести существует область, называемая ядром сечения. Если след силы Р находится внутри ядра сечения, напряжения во всех точках сечения будут одного знака. Если сила приложена за пределами ядра сечения, нейтральная линия пересекает сечение, и напряжения в сечении будут как сжимающими, так и растягивающими.
Когда точка приложения силы находится на границе ядра, нейтральная линия касается контура сечения. Чтобы определить ядро сечения, надо представить себе, что нейтральная линия обкатывается вокруг сечения. Точка приложения силы вычертит при этом контуры ядра. Рассмотрим примеры. $ за. ЕнецентреннОе РАстяжЕние и сжАтие 179 П р и и е р 4.14. Установить, который из стернгней, показанных пз рис. 179, способен выдержать большую нагрузку без признаков гластнческих деформаций. В случае а) сила Р для ослабленного сечения является нецентральной. Ве плечо относительно осн у равно а/4. Следовательно, наибольшее растягива1ощее напрят Р Р жение Р 6Ра,'4 1 аЗа/2+ а (За/2)' 4 Р 3 аа В случае б) сила Р является центральной и омах= = Р/а'.
Таким образом, в стержне, нме|ощем вырезы с двух сторон, напряжение будет меньше. П р и м е р 4. 15. Определить размеры ядра сечения для стержня, имеющего круглое сечение радиуса /т'. а/ Ю а, а, а ' х /а Рис. 180 Рнс. 179 По условиям симметрии ядро сеченая также должно иметь форму круга. Пусть точка приложения силы находится на оси р, а нейтральная ляпая касается контура сечения (рис. 180). Тогда ОС=И, ра=г, х„=О.
Учитывая, что Р=пЩ а /„=л/тг/4, получим из формулы (4.31) радиус ядра уа=г=/7/4. П р и м е р 4.16. Определить ядро сечения для стержня, имеющего сечение в виде прямоугольника со сторонами Ь и Ь (рис, 181). Сначала по формуле (4.31) определяем ординату уз точки А пересечения контура ядра сечения с осью у. Когда след нормальной силы находнтси в точке А, нейтральная линия совпадает с нижним основанием прямоугольника, при атом ОС/ й/2, х =О, Р=ЬЬ, /„=Ьйз/!2. Формула (4.3!) дает уз=8/6.
Когда равнодействующая сил переместится в точку В, расположенную на расстоянии Ь/6 от центра тяжести, нейтральная линия совпа- Гл, 4. Изгив 180 дет с правой стороной прямоугольника. Симметрично точкам А и В располагаюзся точки А' и В' (рис. 18!). Теперь остается решить вопрос, по какой кривой от точки А к точке В будет перемещаться точка приложения силы Р, если нейтральная лнпия поворачивается вокруг правого нижнего угла сечения (рис. 181). Формула (4.30) выражает условие, при котором нормальное напряжение в некото. рой точке сечения равно нулю. Потребуем, чтобы в нижнем правом углу сечения, т. е.
в то и ке с координатами у= — а/2 и Л х=м2, напряжение равнялось нулю. Тогда уравнение (4.30) дает 1 у,й/2 хоб/2 а + о ~0 68 бйз/12 лаз/12 или + — =0. бу„бх„ й ь ральхаг хтгх Будем рассматривать хе и у, как переменные. Становится очевидным, что при вращении Рнс. !81 нейтральной линии около непод- вижной точки точка приложения силы Р перемещается по прямой. В данном конкретном случае вта прямая проходит через точки А и В. Соединяя точки А, В, А' и В' пряными, получаем ядро сечения в виде ромба. $37.
Изгиб бруса большой кривизны До сих пор рассматривались задачи, связанные с изгибом прямого бруса. Обратимся теперь к изгибу кривого бруса, полагая, что внешние силы приложены в плоскости его кривизны. Принято различать брус малой и большой кривизны. Основным признаком для такого деления является отношение высоты сечения й в плоскости кривизны к радиусу кривизны оси бруса р,. Если это отношение существенно меньше единицы (/!/ре=0,2 и меньше), считается, что брус имеет малую кривизну.
Для бруса большой кривизны отношение й/р, соизмеримо с единицей. Таким образом, указанное деление является условным и не имеет четкой границы. Расчетные формулы, выведенные ранее для прямого бруса, применимы также и к брусу малой кривизны. Очевидное измене~не претерпевает только формула (4.5), определяющая кривизну нагрухсенного бруса. Взамен нее для бруса $ ЗП ИЗГИБ БРУСА БОЛЬШОЙ КРИВИЗНЫ !В! малой кривизны имеем ! 1 А7 Р— Рв=Е„ (4.32) где 1/рв — кривизна ненагруженного бруса.
Таким образом, задачи, связанные с расчетом бруса малой кривизны на прочность, не содержат ,'„,„„ф„„„„(Р Р ° в. в„р перемещениях будет рассмотрен особо в гл. 5. Перейдем теперь к брусу большой кривизны. К схеме такого бруса сводится, например, ,/ задача расчета на прочность крюка подъемни- ! ка или звеньев металлической цепи (рис.!82). Положим, имеется участок бруса большой кривизны постоянного сечения, нагруженный ,) по концам моментами И (рис. !83).
Так же как и для прямого бруса 77 <5 29), можно показать, что множество точек, образующих до изгиба поперечное сечение бруса, после изгиба также образует плоское сечение, но повернутое в пространстве. Иными словами, поперечные сечения бруса большой кривизны при чистом изгибе остаются плоскими. Выделим из кривого бруса двумя близкими нормальными сечениями (рис.
183) элементарный участок. При изгибе смежные сечения повернутся одно относительно другого на угол Л(йр) и в слоях бруса возникнут некоторые удлинения. Введем необходимые обозначения. Через р, (рис. 183, а) обозначим радиус кривизны оси бруса (линии центров тяжести сечений), а через г, — радиус кривизны нейтрального слоя. Величина г, пока неизвестна. В дальнейшем мы увидим, что г, всегда меньше р, и нейтральная линия для бруса большой кривизны смещена относительно центра тяже- ГЛ. » ИЗГИБ сти в сторону центра кривизны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
