Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (1240839), страница 31
Текст из файла (страница 31)
!80 гГа Рис. !00 Для определения потенциальной энергии выделим из стержня элементарный участок длиной Ж !рис. 191). Стержень может быть не только прямым, но иметь малую начальну!о кривизну. В каждом из поперечных сечений в общем случае нагружения возникает шесть силовых факторов: три момента н три силы. По отношению к выделенному элементарному участку рассмотрим зти силовые факторы как внешние и определим работу, которая совершается ими при деформировании элемента. Эта работа переходит в по- 8 88. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ СТЕРЖНЯ 191 тенциальную энергию, накопленную в элементарном участке стержня.
Левое сечение элемента (рис. 191) условно будем рассматривать как неподвижное с тем, чтобы работа всех силовых факторов, приложенных к левому торцу, была равна У Рис. 191 нулю. Точка приведения сил в правом сечении вследствие деформации элемента получает некоторые малые перемеще. ния, на которых совершается искомая работа. Очень важно, что каждому из шести силовых факторов соответствуют такие перемещения, на которых ни один из остальных пяти работы не совершает.
Так, например, под действием момента М, возникает угол поворота сечения относительно оси г. На этом угловом перемещении работа совершается только этим моментом М„. Линейное перемещение вдоль оси у возникает вследствие действия силы Я„и только эта сила со вершает работу на этом перемещении. Следовательно, потенциальная энергия элемента может рассматриваться как сумма независимых работ каждого из шести силовых факто. ров, т. е., иначе говоря, как сумма энергий кручения. изги. ба, растяжения и сдвига: с(У=Н/(М„)+Г(У(М„)+с(У(М„)+ +с(У(У)+Н/Я,)+Нl(Я„). (5.1) Естественно, такое разделение работ возможно лишь при определенном выборе осей. В частности, точка приведения сил должна совпадать с центром тяжести сечения.
Иначе нормальная сила ЛГ вызовет поворот сечения и изгибающие моменты совершат работу на угловом перемещении, вызванном этой силой. Оси х и у должны быть главными. Иначе момент М„вызовет поворот сечения относительно оси у и будет произведена взаимная работа на угловых перемещениях, вызванных двумя изгибающими моментами. 192 ГЛ. 5. ПЕРЕМЕШЕНИЯ В СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЕ Рис. 192 Рис. !93 удельная потенциальная энергия при сдвиге. Согласно еы- ражеиию (2.3) 9 20 У,=гбх . Таким образом, У,с(РТ)г= 2 26 = т" ЕР с1г. Интегрируя по площади Р, находим СУ (1',1 ) = Р с1г Г = 20 ) т„'1(Р. Но по формуле Журавского (4.12) 9 20 и х — Следов ател ьн о, и х Ь х и или с(У Я„) = —," „' ° —,, ~ —., Обозначим (5.2) Тогда Выражения для первых четырех слагаемых нам уже известны: ОСтаЕтСя Найтк ЭНЕРГИЮ СдВИГа дУ(1г„) И С(У((ги).
Для определения д У Я„) рассмотрим элементарную призму с площадью основания с(Р и длиной с(г (рис. 192). Энергия, заключенная в этом объеме, равна Ухг(Г й, где У,— в вв. потенциальная энвггия ствгжня 19З Аналогично получим дУ(Я„) =й„—" Коэффициенты й„и Йг представляют собой безразмерные величины, зависящие от геометрической формы сечения. Например, для прямоугольного сечения с размерами Ь и й (рис.
193) статический момент 3; заштрихованной пло- ги щади относительно оси х равен 3„" = — Ь ~ — у') . Далее, с(Е=Ь ду, Е=ЬЬ, 1„=ЬЬ»П2. Производя преобразования, по формуле (5.2) получаем й=й„=й =6/5. Для сплошного круглого сечения 1=10/9. Для тонкостенного кругового профиля 1=2 и т.д. Выражение (5.1) теперь принимает вид с(У= — + — "+ — + — +й — +Й вЂ”.
М» сг М„аг Мд»г Уг»г ч, аг Яд»г 26/» 2ЕУ» 2ЕЗг 2ЕЕ» 26Е» 20Е ' Чтобы получить потенциальную энергию всего стержня, это выражение следует проинтегрировать по длине: (5.3) Если конструкция сложная и состоит из нескольких элементов, имеющих форму стержня, то после интегрирования в пределах каждого стержня должно быть произведено суммирование энергии по числу составляющих элементов.
Рис. !94 Рис, 195 В выражении (5.3) не всегда все слагаемые являются равноценными. Для подавляющего большинства встречающихся на практике систем, где составляющие элементы работают на изгиб или кручение, три последних слагаемых в выражении (5.3) оказываются существенно меньшими трех первых. Иначе говоря, энергия растяжения и сдвига, как правило, существенно меньше энергии изгиба и кручения. г в, и. Ф»сиасье» 194 гл. ь пвввмвщвния в стввжнввои систвмв Вместе с тем возможны такие случаи, в которых рассматриваемые слагаемые оказываются величинами одного порядкаа. Так, например, для нецеитрально растянутого стержня, показанного на рис. 194, энергия растяжения и энергия изгиба являются величинами одного порядка.
При нагружении пластины, склеенной из двух металлических листов с пенопластовым заполнителем (рис. 195), энергия сдвига в заполнителе может оказаться соизмеримой с энергией изгиба. $ 39. Теорема Кастилиано В основу определения перемещений стержня может быть положена теорема Кастилиано: частная производная от потенциальной энергии система по силе ровна перемеи(ению точки приложения силы по направленшо этой силы.
Высказанная формулировка требует пояснения. Условимся под перемещением в заданном направлении понимать проекцию полного перемещения на заданное направление. Поэтому пере)ь=э мещение точки приложения силы по направлению силы надо понимать как ля проекцию на направление силы полного перемещения этой точки.
Рассмотрим упругое тело, нагруРис. 196 женное произвольной системой сил и закрепленное тем или иным способом, но так, чтобы были исключены его смещения как жесткого целого (рис,. 196). Пусть потенциальная энергия деформации, накопленная в объеме тела в результате работы внешних сил, равна У и выражена через силы. Одной из сил, например силе Р„, дадим приращение йР„. Тогда потенциальная дУ энергия У получит приращение — йР„и примет вид +дР 611 (5,4) ~л Изменим теперь порядок приложения сил. Приложим сначала к упругому телу силу йР„.
В точке приложения этой силы возникнет соответственно малое перемещение, проекция которого на направление силы йР„равна йб„. Тогда работа силы йР„оказывается равной йР„йб„12. Теперь приложим всю систему внешних сил. При отсутствии силы йР„ потенциальная энергия системы снова приняла бы значение $39. ТЕОРЕМА КАСТНЛНАНО 195 У. Но теперь эта энергия изменится на величину дополнительной работы йР„6„, которую совершит сила йР„на перемещении б„, вызванном всей системой внешних сил. Величина б„опять представляет собой проекцию полного перемещения на направление силы Р„. Перед произведением йР„б„множитель '/, не ставится, поскольку на пути б„сила йР„остается неизменной. В итоге при обратной последовательности приложения сил выражение потенциальной энергии получаем в виде (~+йРп и+ з йРлй и' (5.5) Приравниваем это выражение выражению (5.4) и, отбрасывая произведение йР„й6„~2 как величину высшего порядка малости, находим б = —.
дУ (5.6) Следовательно, дифференцируя потенциальную энергию по одной из внешних сил (при прочих неизменных силах), находим перемещение точки приложения этой силы по направлению силы. Если еще раз внимательно рассмотреть вывод, то легко установить, что в выражении (5.6) силу Р„ можно трактовать как обобщенную силу, т. е. как некоторый силовой фактор. Тогда величина б„ должна рассматриваться как обобщенное перемещение, т. е. как такой геометрический параметр, на котором обобщенная сила Р„ совершает работу. Например, если под Р„ понимать внешний момент ш1 (рис.
196), то б„ представляет собой угловое перемещение в точке приложения момента по направлению момента. Если тело нагружено силами гидростатического давления, то, дифференцируя потенциальную энергию по давлению, получаем изменение объема тела. При доказательстве теоремы Кастилиано не накладывалось ограничений ни на форму тела, ни на систему внешних сил. Мало того, не ставился даже вопрос о том, подчиняется или нет материал закону Гука. Однако в скрытой форме эти ограничения все же присутствуют. Если зависимость между силами и перемещениями нелинейна, то работа, совершенная системой внешних сил, зависит от того, приложена эта система до нли после силы йР„.
Иначе говоря, слагаемые У в выражениях (5.4) и (5.5) различны, и теорема Кастнлиано становится несправедливой. 198 ГЛ. З. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ В СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЕ В подавляющем большинстве задач, с которыми приходится сталкиваться на практике, зависимость между силами и перемещениями является линейной, и к решению таких задач теорема Кастилиано полностью применима. Исключение составляют системы, к которым не может быть применен принцип неизменности начальных размеров и принцип независимости действия сил. Примеры таких систем были приведены ранее (см. 9 6). При определении перемещений в таких системах пользоваться теоремой Кастнлиано в том виде, в каком это делалось здесь, недопустимо.
В случае нелинейной зависимости между силами и перемещениями используются более общие энергетические соотношения, выведенные на основе принципа возможных перемещений. Более общую формулировку получает и теорема Кастнлиано, которая в этом случае тракту*тся как теорема о минимуме так называемой дополнительной работы. Подробно с этим вопросом читатель мо»кет ознакомиться по книге 1О. Н. Работнова «Сопротивление материалов» (Физматгиз, 1962). Рассмотрим простейшие примеры определения перемещений при помощи теоремы Кастилиано. П р и м е р 5.1.
Определить при полющи теоремы Кастилиано угол поворота правого торца стержня (рис. 197), нагруженного моментом 9й. Внутренняя потенпиальная знергия бруса при кручении, согласно выражению (5.3), равна У= ) . Так как М»=йй, а жесткость "М„дг о ) 20«'в Рис. 197 Рис. 198 9йн предполагается неизменной, то У= —. Дифференцируя по 9й, дУ 9й( ' 267» ' находим ~р= — = —, что совпадает с известным выражением для д9й 6«» ' угла закручивания. П р и м е р 5.2. Определить прогиб консоли (рис.
198), нагруженной на конце силой Р. Потенциальная энергия стержня при изгибе У = ) " . На рас- М«дг 3 2Е3»' стоянии г от конца М„= — Рг. При постоянной жесткости Еу» получаем рз)з дУ "Р)з У= —. Перемещение точки приложения силы Р б= — = —. Это 5Е ~х др ЗЕ)»' значение прогиба уже было получено ранее методом интегрирования упругой линии балки.
4 40. ИНТЕГРАЛ МОРА П р и и е р 5.3. Определить вертикальное перемещение точки А для конструкции, показанной на рнс. 199. Жесткости стержней одинаковы и равны ЕЕ. Если не пользоваться теоремой Кастилиано, то такую задачу решить было бы довольно трудно. Нужно было бы найти удлинения всех стержней, а затем путем геометрических преобразоваг ний установить положение узлов деформированной фермы. Такой способ решении привел бы, несомненно, к уз громоздким выкладкам. При У у 3 помощи теоремы Кастилиано зта задача решается несравненно проще.
Сначала методом вырезания узлов находим усилия в каждом стержне и полученные значения У сводим в таблицу (см. табл. 5). далее определяем значение потенпиальной ввергни для каждого уз~ стервгня Гуг= — '' и заполняем последний столбец таблицы. Суммируя, 2ЕЕ находим ра~ У= — (7+4)г 2) Искомое перемещение точки А равно бл= — = — (7+4г' 2). Таблица 5 $40. Интеграл Мора Определение перемещений при помощи теоремы Кастилиано, как можно было убедиться на примерах, обладает тем очевидным недостатком, что дает возможность определить перемещения только точек приложения внешних сил и толь- 193 ГЛ.
6. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ В СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЕ ко в направлении этих сил. На практике же возникает необходнмость определять перемещения любых точек системы в любом направлении. Выход из указанного затруднения оказывается довольно простым. Если необходимо определить перемещение в точке, где не приложены внешние силы, мы сами прнкладываем в этой точке внешнюю силу Ф в интересующем нас направлении.
Далее, составляем выражение потенциальной энергии системы с учетом силы Ф, Дифференцируя его по Ф, находим перемещение рассматрнваемой точки по направле- нню приложенной силы Ф. Теперь остается «вспомннтьи, что на самом деле силы Ф нет, н положить ее равной нулю. Таким образом, определяется искомое Рис, 200 перемещение. Определим перемещение точки А в направлении осн х; для стержневой системы, показанной на рнс. 200. Приложим в точке А по направлению х, силу Ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
