Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (1240839), страница 33
Текст из файла (страница 33)
СПОСОБ ВЕРЕЩАГИНА том, что епроизведение» эпюр делится не на жесткость ЕУ, как при изгибе, а на жесткость 6.7„, если речь идет о кру- чении, или на ЕЕ нли 6Š— при растяжении и сдвиге. л=Ф , гуар Фант 3 Л=7б ид б(Т Веги в»47 лллллаты Рис. 208 Пример 57. При г) помощи прзвнла перешаги. У на определить перемещение точки А для балки, показан- Рнс.
209 ной на рис. 209, а. Строим »нюру изгибающих моментов от заданных сил Р (рнс. 209, б). Затем, снимая внешние силы, прикладываем в точке А единичную силу и также строим »нюру (рис. 209, е и г). Далее производим перемножение зпюр. На первыи взгляд может показаться, что способ Верещагина не дает существенных упрощений.
Для его применения необходимо вычислять площадь эпюры моментов н положение ее центра тяжести, что при сложных эпюрах все равно потребует интегрировании, как и в методе Мора. Однако встречающиеся на практике эпюры изгибающих моментов могут быть, как правило, разбиты на простейшие фигуры: прямоугольник, б' Р Я Ю треугольник и параболический треугольник и) ( 7 (рис. 208), для которых величина площади ьа и положение центра тяже- ~~ р, Кг сти известны.
При кру- и,х чении, растяжении и Рр сдвиге эпюры оказываются еще более просты- ,7 ми: они, как правило,— 44 линейные и состоят нз б) ! прямоугольников и треугольников в различных комбинациях. у) у7 205 ГЛ. З. ПЕРЕМЕШЕНИЯ В СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМВ На участке ВС площадь эпюры моментов заданных сил Я=Р(э/2. Ордината единичной эпюры под центром тяжести эпюры моментов заданных сил дчя этого участка будет Мгц, т=ВЗ. Перемножая эти величины, находим 11МГц.т=РЯ5. Участок ВВ не может рассматриваться целйком, так как на этом участке эпюра моментов единичной силы является ломаной. Надо взять РР 5 половину участка, т.
е. отрезок АВ. Здесь И= —, М~ .тьм — 1, 2 ' 8 5РЯ ОМгц, т~ —. Складывая полученные выражения ()Мгц.т, находим 16 ' 23Р(а (ь™гц. Т)лс— 48 Для участков, расположенных справа от точки А, получим по условиям симметрии тот же результат. Поэтому удваиваем найденное выражение н, разделив его на Е3, находим искомое перемещение 28Р(а 2чЕ) ' П р и м е р 5.8. В системе, показанной на рис. 210, а, определить> иа какое расстояние разойдутся точки А под действием снл Р. А' Я Ы' '5У Р Р Ф Рис, 210 Строим эпюры моментов от заданных сил Р и от единичных снл, приложенных в точках А (рнс, 210, б и в).
Очевидно, результат перемножения эпюр на вертикальных участках будет равен нулю. Для горизонтального участка получим 1в=Р(э, Мгц, т=1. Следовательно, Р(з л Ев' П р имер 5.9. Определить перемещение точки А консоли, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой интенсивности а (рис. 2!1, а). Строим эпюры моментов от заданных сил и от единичной силы, приложенной в точке А (рис.
211, б и в). Перемножение эпюр должно быть произведено по участкам — для правой н левой половин бруса. Но для левой половины эпюра моментов заданных сил представляет собой параболическую трапецию, плошадь и положение центра тижести которой нам неизвестны.
Поэтому проводим так называемое Расслаиваиие впюрм. Вместо эпюры, показанной на рис. 211, б, строим отдельно 4 ч!. спОсОБ ВернщАГинА эпюры от нагрузки, расположенной справа, и отдельно от нагрузки, расположенной слева от точки А (рис. 211, г). Теперь на левом участке взамен параболической трапеции имеем простые прямоугольник, треугольник н параболический треугольник. Для всех этих фигур площади н положение центров тяжести известны.
Произведение эпюр для правого участка равно нулю. На левом участке соот- а) ветственно для прямоугольника, треугольника и параболического треугольника получаем следующие слагаемые: 4(з 1 4(а 1 41з 31 Г84' 1б 3' 48 8' откуда 17 4(а 5А = 384 Еу' П р и м е р 5.!О. Рассмотрим пример пространст- л(>7 й,) венной системы.
Определим в перемещение точки А в на. правлении й для пространст- Рис. 211 венного бруса (рис. 212, а). Жесткость для элементов при изгибе в одной и другой плоскости равна Еу. Жесткость на кручение равна б/а. Основными перемещениями в системе ивляются перемещения, связанные с изгибом и кручением стержней. Строим эшоры изгибающих и крутящих моментов от заданных сил и от единичной силы (рис. 212, рд Рис. 212 б и в).
Персике>каем зпюры изгибающих моментов. Перемножаются только эпюры, лежащие в одной плоскости. Это следует из выражения (5.8), где под интегралами перемножаются только моменты МарМхт н МарМат, но ие МарМат н МнрМ,.В 2ОВ ГЛ. 5. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ В СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЕ Приведем результат перемножения эпюр изгибающих моментов, соответствучощих учэсткам АВ, ВС, С77 н 0Е; РР 2 Р!э 1 РР О; — — й — — —; 2 3 ' 2 3 ' 2 Так как жесткость на изгиб в обеих плоскостях для всех участков одна и та же, все зги величины следует сложить и разделить на ЕУ.
Тогда получим 2 Р1э 3 ЕУ' Эпюры крутящих моментов перемножаются только на участке СВ. Моменты имеют общий знак. Поэтому получаем Искомое перемещение Для бруса круглого сечения 07»= 27 Рз 0,77ЕУ, Е 2 (!+и) РР бл м2 —. Еу ' 2 42. Определение перемещений и напряжений в витых пружинах Витые пружины принадлежат к числу наиболее распространенных упругих элементов машиностроения. Они применяются в самых различных конструкциях как аккумуляторы упругой энергии амортизирующих, возвратно подающих и многих других механических устройств.
Вопросы расчета и проектирования витых пружин относятся к курсам деталей машин и приборов. Однако в силу установившихся традиций основные расчетные формулы выводятся обычно в курсе сопротивления материалов, поскольку примеры расчета пружин дают наглядную иллюстрацию методов определения перемещений.
Витая пружина может рассматриваться как пространственно изогнутый стержень, осевая линия которого в простейшем случае представляет собой винтовую линию, Геометрическая форма осевой линии определяетсядиаметром витка В, числом витков л и углом подъема сг (см. развертку на рис. 213). Подъем витка можно характеризовать также 4 еь пвивмвщвния и напияжвния в пгужинах 2оз шагом пружины гс в=пР 1я а. Для всех встречающихся на практике пружин шаг в много меньше пР, и угол а, следовательно, может рассматриваться как величина малая. Обычно а(5'. Свойства пружин зависят также от формы поперечного сечения витка. Обычно Рис.
2!3 пружины навиваются из круглой проволоки; диаметр сечения проволоки обозначим через д (рис. 213). В зависимости от вида воспринимаемых рабочих нагрузок витые пружины подразделяются на пружины растяжения (рис. 214, а), пружины сжатия (рис. 214, б) и пружины Рис. 214 кручения (рис. 214, в).
В первых двух случаях нагружение пружины производится силами, равнодействующая которых направлена вдоль ее оси. Пружина кручения нагружена двумя моментами в плоскости, перпендикулярной оси пружины. 2щ Гл. б. ПВРемещения В стеРжнеВОЙ системе Конструктивной особенностью пружин перечисленных типов является отделка концов. Концевые витки пружины растяжения и кручения отгибаются с таким расчетом, чтобы могло быть осуществлено крепление пружины к смежным деталям.
У пружины сжатия крайние витки поджимаются и сошлифовываются с торцов, чем обеспечивается создание опорных плоскостей. При определении перемещений и напряжений, однако, указанные особенности пружин обычно не учитываются и концевые витки из рассмотрения исключаются. Определим зависимость изменения высоты пружины растяжения — сжатия от осевой силы Р. В любом поперечном сечении витка пружины растяжения возникает результирующая внутренняя сила Р (рис. 215, а) и момент М=РР!2. Реа 2ш Полная сила в сечении параллельна оси пружины, а плоскость момента М совпадает с плоскостью пары сил Р. Нормальное поперечное сечение витка повернуто по отношению к этой плоскости на угол а.
Раскладывая момент и силу на составляющие относительно осей, связанных с сечением (рис. 215, б), находим В О М„= Р— соз а; М„„= Р— з(п а; ()=Рсоза; Ф=РЕ1па. (5.11) Для того чтобы определить осевое перемещение Х, прикладываем к концам пружины единичные силы и находим 4 4а пагвмвщвния и нхпаяжания в пгужинхх йп возникающие при атом внутренние силовые факторы. Последние, очевидно, определяются выражениями (5.11), уменьшенными в Р раз: !з, !т М ! сов!х М р~! 3!и 441 Я! Соз !а! 1Ч! 3!и гг Для определения перемещений в цилиндрической пружине необходимо, следовательно, написать четыре интеграла Мора из шести [формула (5.8)). Однако перемещения, обусловленные нормальной и поперечной силами, как и для всякого стержня, малы, а вследствие малости угла а малым будет и осевое перемещение, связанное с изгибом витков.
Позтому Л4к!Нк! !!а и.!„ где 6ӄ— жесткость витка на кручение. Полагая соз хж1, ж получим Х= — 1, где 1 — полная длина рабочей части 46,г„ витков, равная 1-пйа. Таким образом, 1= —. рл!таз 4П,!„' (5.12) При определении величины л для пружины растяжения отогнутая часть витков на концах во внимание не принимается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
