Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (1240839), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Внутреннне силовые факторы в каждом поперечном сечении прн этом, вообще говоря, изменятся на величины, зависящие от силы Ф. Так, например, крутящий момент в некотором поперечном сечении будет иметь внд Мир+ М«Фю где первое слагаемое представляет собой момент, который возникает под действием заданной системы внешних снл, а второе слагаемое — дополнительный момент, который появляется в результате приложения силы Ф.
Понятно, что н М„р н М„Ф являются функциями г, т. е. изменяются по длине стержня. Аналогично появляются дополнительные слагаемые н у остальных внутренних силовых факторов: М.™р+М Ф М =М„р+М«Ф н т. д. Совершенно очевидно, что дополнительные силовые факторы М„Ф, М„Ф, ...
пропорциональны силе Ф. Если силу Ф, например, удвоить, удвоятся соответственно н дополнительные силовые факторы. Следовательно, М„=М„,+МюФ, М.=М„,+М„,Ф, М„= М„р+ М„,Ф, (5.7) У=У~+Л',Ф, Я„Я„~+Я„,Ф, «г =Яр~+Я„«Ф, $40. ИнтнгРАЛ МОРА где Мк„М„т, ...— некоторые коэффициенты пропорциональности, зависящие от положения рассматриваемого сечения, т. е. переменные по длине стержня. Если снять систему внешних сил и заменить силу Ф единичной силой, то Ма=Ма„Мх Мх, и т. д. Следовательно, М,в Мы, Мгт, Ус, (3„с н („Сгт суть не что иное, как внутренние силовые факторы, возникающие в поперечном сечении под действием единичной силы, приложенной в рассматриваемой точке в заданном направлении.
Вернемся к выражению энергии (5.3) и заменим в нем внутренние силовые факторы их значениями (5.7). Тогда (3 ~ (Мкр+МксФ)а с(г (' (Мхр+МхтФ)кс(г (М,р+МасФ)'дг Г(йср+АСсФ) дг 2Е3 ) 2ЕЕ + н с ( й„(охр+охсФ)чг ( ( йг(ссгр+ссгсФ)асса Дифференцируем зто выражение по Ф и, полагая после этого Ф=О, находим перемещение точки А: д(31 ('МкРМктдг ) ГМхрМхссгг дФ)ф=о,) 63к,) Е3х +,) Е3 + г + ~ Асрйсг ссг, Г йхОхрпхс дг Г йд()лрс)г, дг .т.
) ОЕ + ) „.. (О.В) Полученные интегралы носят название интегралов Мора. Рнс. 20! Заметим, что интегралы Мора могут быть выведены и без использовании теоремы Кастилиано из простых геометрических соображений. Рассмотрим, например, консоль, показанную на рис. 201, и определим 200 Гл. з. ЙеРемещения В стеРЯ(невой системе перемещение точки А по направлению х,. Будем считать для простоты, что искомое перемещение является следствием только изгиба.
На элементарном участке длиной о(г произойдет изменение кривизны, и правое сечение повернется относительно левого на угол / 1 1 ~ АВ=( — — -) бг, Р Ро где 1/р — новая, а 1/р, — старая кривизна, Вследствие возникновения местного угла поворота правая часть повернется как жесткое целое, и точка А переместится по направле. /г нию х, на о(бл = АА"= = АА' з!па= ОА юп а оЮ. г,// л Но ОА сйп а=ОВ. Следовательно, г(бл — — ОВ о(0. Отрезок ОВ представляет собой не что иное, как момент отпо(р сительно точки О единичной Ю силы, приложенной в точнй ке А по направлению х,.
' А' А' А' Таким образом, о(6Л=Мд о(8, или а) 5' // А ! о(ба=( — — — ) М,иг, /1 1т — м Р Р откуда 6.1 = ~ ( — — — ) Мто(г. ! Рис. 202 Аналогично можно со- ставить выражения перемещений лля кручения, растяжения и сдвига. В общем случае /1 !о Г/1 1! ба =~йрМи11(г+ ~ ( — — ) Ми11(г+ )( — — — ) МзФг+ РоЬ Р " 3~Р Р.ЛгР 1 1 +С~ар//то(г+~ уирОио о(г+) уврОз, 1!г. (59) 1 Выражение (5.9) является более универсальным, чем выражение (5.8), поскольку в нем не предполагается линейной зависимости О, (!/р — 1/ро), е и т. д.
от внутренних силовых факторов. Оно применимо, в частвости, и для случая неупругого изгиба и кручения. Если материал подчиняется закону Гука, то Ми 1 ! Миог 6/ ЕО Ог» Р Ро и тогда выражение (5.9) переходит в (5,8). П р и м е р 5А. Определить горизонтальное перемещение точки А консоли, показанной на рис.
202, а.Жесткость всех участков постоянна и равна Е3. В рассматриваемом стержне основную роль играют изгибные перемещения. Перемещения вследствие растяжения и сдвига так хге малы по сравнению с перемещениями изгиба, как и знергия растяжения 4 40. интеГРАл МОРА 201 и сдвига по сравнению с энергией изгиба. Поэтому из шести интегралов Мора (5.3) берем один — для изгиба— 6 ! (изгиб во второй плоскости и кручение отсутствуют). Изгибающий момент силы Р на участке АВ равен нулю. На участке ВС МР— — Рг, а на участке С11 МР=РЕ(1+з)п ф), Момент от единичной силы на участке АС равен нулю, а на участке СВ М,= — 1 Е (1 — соз ф). Знак минус поставлен в связи с тем, что единичный изгибающий момент направлен в сторону, противоположную МР. Произведение МРМт на участке АС оказывается равным нулю.
Поэтому интегрирование ведется только на участке С0. Заменяя г)г на Я бр, получаем РЕа Г 6А= — — ~ (1+а!и ф) (1 — сов ф) бр, Е1 о откуда Рис. 203 и )рпз 6л= —— 2 ЕУ' Знак минус указывает на то, что горизонтальное перемещение точки А направлено не по единичной силе, а против нее, т. е. влево (рис. 202, б). П р и и е р 6.5. Определить, на сколько раскроется зазор в разрезанном кольце (рис. 203) под действием сил Р. Жесткость кольца равна Е1.
В точке В (рис. 203) изгибающий момент Мр от заданных сил Р равен РК (! †с ф), где ф — центральный угол. Полагая левый конец Рис. 204 кольца закрепленным, прикладываем к правому единичную силу с тем, чтобы найти перемещение одного конца относительно другого (рис. 204, а).
Реакция опоры будет равна единице, поэтому оба рисунка 204, а и б, равноценны. Из сказанного, между прочим, следует, что нообше, когда нужно найти езаимноа смещение двух точек, следует 202 гл. з. пеэемещения в стержневоп системе прикладывать в этих точках равные, противоположно направленныэ единичные силы, действующие по прямой, соединяющей эти точки. Момент от единичной силы М,=)т(1 — соз ф). Искомое взаимное смещение 2п !'МрМтдг Рй~ Г Рла 6 =1 — '= — ! (1 — с~зф)~йр, или 6д=зл —.
П р и м е р 5.6. Определить взаимное смещение точек А в таком же кольпе (см. предыдущий пример), но нагруженном силами, действующими перпендикулярно плоскости кольца (рис. 205). Рассмотрим кольцо в плане (рис. 206). В сечении В возникает не только изгибающий, но и крутящий момент. Первый равен моменту Рис. 205 Рис.
206 силы Р относительно оси д, а второй — моменту той же силы относительно оси а (рис. 206). Очевидно, М,=РЙ Мп ф, Ма=РК(! — сов ф). Прикладываем в точках А единичные силы взамен сил Р. Тогда Мат —— =)! з!и ф, Мат=к(1 — соз ф).
Обращаясь к выражению (5.8), удерживаем в нем два первых интеграла и получаем 2л 2п роэ ! Р5(з 1' бл = — ) (1 — соз ф) 2 оф+ — о! з!па ф оф Оу» Еу 3 'о о или ба=лРл ( оу +Еу). Здесь искомое перемещение определяется жесткостью кольна как на кручение, так и на изгиб. Из рассмотренных примеров видно, что при определении перемещений для стержня, изогнутого по дуге окружности, приходится брать интегралы от простейших тригонометрических функций в различных комбинациях.
В табл. 6 дана с!.одка наиболее часто встречающихся при решении подобных задач интегралов. з а. спосов ввгвщагинл Таблица 6 й 41. Способ Верещагина Основным недостатком определения перемещений при помощи интеграла Мора является необходимость составления аналитического выражения подынтегральных функций. Это особенно неудобно при определении перемещений в стержне, имеющем большое количество участков. Однако, если он состоит из прямых участков с постоянной в пределах каждого участка жесткостью, операцию интегрирования можно упростить. Это упрощение основано на том, что эпюры от единичных силовых факторов на прямолинейных участках оказываются линейньпли.
Положим, на участке длиной ( нужно взять интеграл от произведения двух функций ),(г) ),(г) 2ОО ГЛ. Б. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ В СТЕРЖНЕВОЙ СР!СТЕМЕ при условии, что по крайней мере одна из этих функций— линейная. Пусть )',(г)=(!+/гг. Тогда выражение (5.10) примет вид ! ! 3 = Ь г) 1, (а) о(з + А 1 г1, (г) де, а о Первый из написанных интегралов представляет собой площадь, ограниченную кривой 1!(Е) (рнс.
207), или, короче говоря, площадь эпюры 1,(г)! ) 7д(а)!(з=!! . о Второй интеграл представ- ляет собой статический мо- мент этой площади относи- тельно оси ординат, т. е. г! ! (г) !(г = оо!ги „ о Рис. 207 где ги, — координата центра тяжести первой эпюры. Теперь получаем l = оо! (Ь+ йги,). Но 6+йг„.,=!',(Еи.,). Следовательно, '7 ~!! о (Еи.
т)' Таким образом, по способу Верещагина операция интегрирования заменяется перемножением площади первой эпюры на ординату второй (линейной) эпюры под центром тяжести первой. В случае, если обе функции 1!(Е) и !го(г) — линейные, операция перемножения обладает свойством коммутативности. В этом случае безразлично, умножается ли площадь первой эпюры на ординату второй или площадь второй эпюры на ординату первой. В каждый из интегралов Мора (8.8) входит произведение функций М„РМии М„рМ„, и т. д. Способ Верещагина применим к любому из шести интегралов, и перемножение эпюр -производится одинаково, независимо от того, построены эти эпюры для изгибающих или крутящих моментов нли нормальных и поперечных сил. Разница заключается лишь в 3 41.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
