Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (1240839), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Тогда (а+3)с+аи 6 (2а+6) При малом значении 6 а нп.=.> ж оп.-ь> ж р —. Радиальное напряжение о, у внутренней поверхности равно — р, а внешней — нулю, независимо от толщины цилиндра, Таким образом, мы видим, что для цилиндра с малой толщиной стенки окружные напряжения распределены по толщине почти равномерно, а радиальные — малы по Рис. 343 сравнению с окружными в той же мере, в какой толщина 6 мала по сравнению с радиусом. Если толщина цилиндра увеличивается, то наибольшие напряжения в нем при неизменном давлении уменьшаются, но не беспредельно. Рассмотрим случай, когда Ь вЂ” 7-со, т. е. когда цилиндр имеет бесконечно большую толщнну. Тогда выражение ~9.2!) принимает вид а' ос=~ р Это значит, что для цилиндра с бесконечно большой толщиной стенки радиальное напряжение в любой точке равно окружному (рис.
343) и при отсутствии осевых напряжений все точки находятся в состоянии чистого сдвига. Далее, напряжения, как видим, находятся в обратно пропорциональной зависимости от квадрата радиуса г. Если принять, например, г=4а, то в точках, расположенных на таком расстоянии от оси, напряжения составляют всего Иб максимальных. Следовательно, когда можно довольствоваться точностью расчетов в пределах 5 — 6% (практически ббльшая 34О Гл.
9. тонкОстенные н толстостенные сОсуды точность и недостижима, хотя бы из-за упругих несовершенств материала), то цилиндр с отношением Ыа)4 можно уже рассматривать как имеющий бесконечно большую толщину стенки. Существенно, что при атом мы совершенно не связаны с формой внешнего контура. Если все точки внешнего контура удалены от оси внутреннего отверстия на величины, большие, чем 4а, то форма внешнего контура не оказывает влияния на распределение напряжений.
Расчет а> Рис. 344 упругих тел, таких, как показанные, например, на рис. 344, сводится, очевидно, к схеме цилиндра с бесконечно большой толщиной стенки. Эквивалентное напряжение, согласно выражению (9.22), при Ь-эоо будет равно о,„, = 2р. Следовзтельно, если, например, предел упругости материала равен 600 МПа, то при бесконечно большой толщине цилиндра деформации будут упругими при давлении, не превышающем 300 МПа. 0 том, какие возможности имеются для обеспечения прочности при более высоких давлениях, мы скажем несколько позже.
Цилиндр нагружен внешним давл е н и е м. В этом случае р,=О, ру=р. Выражение (9.1?) принимает такой вид: Эпюры напряжений по толщине цилиндра для этого случая нагружения представлены на рис. 345. Наибольшее эквивалентное напряжение имеет место у внутренней поверх- $67 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕГЦЕНИЙ И НАПРЯЖЕНИЙ 341 ности цилиндра. При отсутствии осевой силы 2Ьв а =а — а=Π— 1 — р ввв г в ~ Ьв дв(г нли 2Ьг Это выражение совпадает с тем, которое было получено для случая внутреннего давления. ,рйг аг Рис.
345 Если внутреннее отверстие отсутствует, т. е. если а=О, то напряжения в цилиндре распределены равномерно: а,=а,= — р. П р и м е р 9.5. Подобрать размер внешнего диаметра 2Ь цилиндра, предназначенного для удержания внутреннего давления р=50 МПа, при условии двукратного коэффициента запаса. Предел текучести материала атв=атс=500 МПа. Внутренний диаметр задан: 2д= 1О см. Наиболее опасными являются точки, расположенные у внутренней поверхности цилиндра. По формулам (9.21) и (9.16) получаем Ьв+да дв о,= — р, о,=р, а =р —. Ь' — д" г Ьв — аг 2Ьв Очевидно, а,=ап а,=а„. Отсюда а,„,=аг — ов=р . После Ьв дв подстановки числовых величин находим 25=2 уг5!3 а=12,9 см.
З43 ГЛ, В. ТОНКОСТЕННЫЕ И ТОЛСТОСТЕННЫЕ СОСУДЫ й 68. Определение напряжений в составных трубах Выше мы уже видели, что увеличение толщины не может во всех случаях обеспечить необходимой прочности трубы. В пределе при бесконечно большой толщине и,„,= =2р Если в толстостенном сосуде надо удержать высокое давление, например в 1500 МПа, необходимо, чтобы предел текучести материала был бы по крайней мере в два раза ббльшим, т. е. 3000 МПа. Столь высокопрочных материалов Зе.с~ гг сг есг г гсг се сг се-лг Рис. 346 в настоящее время не существует. Следовательно, для сосудов высокого давления необходимо искать какие-то новые конструктивные решения.
Одним из таких решений является создание составных, соединенных с натягом цилиндров. Этот прием используется как в технике высоких давлений, так и в артиллерийской практике для упрочнения стволов мощных орудий. Положим, мы имеем два цилиндра (рнс. 34б). Внутренний радиус первого цилиндра обозначим через а, а внешний — через с. У второго цилиндра внутренний радиус на величину Л меньше наружного радиуса первого цилиндра, т. е. с — Л. Внешний радиус второго цилиндра равен Ь.
Если большой цилиндр нагреть, то отверстие в нем увеличится и первый цилиндр может быть свободно вставлен во второй. При остывании между цилиндрами возникает контактное давление р„. Определим его. При посадке внешний радиус внутреннего цилиндра сократится н точки цилиндра на контактной поверхности получат отрицательное смещение и,. Внутренний радиус внешнего цилиндра увеличится. Здесь, следовательно, возникает положительное смещение иг. Величина иг+( — и,) 4 бб. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ В СОСТАВНЫХ ТРУБАХ 343 должна быть равна натягу йс иг — и,=о. (9.23) Перемещение и, определяется по формуле (9.20), если положить в ней р,=О, рь=р„а Ь н г заменить на с. Тогда получим 1 — )г с' 1+ Р агс П вЂ” — л л Е сг — аг '" Е сг — аг '"' По той же формуле (9.20) определяем и иг.
Для этого полагаем рь=О, р,=р„, а=с=с: 1 — )г сг 1+ Р Ьгс и= — — р+ — — р. Е Ьг — сг " Е Ьг — сг Модуль упругости Е и коэффициент Пуассона р предполагаются для обоих цилиндров одинаковыми. Согласно выражению (9.23) определяем Еа (сг — а') (Ьг — с') (9.24) сб Ь— Таким образом, в результате посадки внутренний цилиндр оказывается под действием внешнего давления р„, а внешний — под действием точно такого же внутреннего давления. Картина распределения напряжений в сопряженных цилиндрах показана на рнс.
346. Ьглаг всг с'-аг ()7г вгв вгв Рис. 347 Если теперь составной цилиндр нагрузить внутренним давлением, то обе его части будут работать как одно целое н в составном цилиндре возникнут напряжения, определяемые формулой (9.21). Эти напряжения должны быть алгебранчески просуммированы с предварительными напряжениями натяга (рис.
347). Во внутренних, наиболее напря- 344 ГЛ. З, ТОНКОСТЕННЫЕ И ТОЛСТОСТЕННЫЕ СОСУДЫ. женных точках рабочие напряжения и напряжении натяга имеют разные знаки. Поэтому суммарное напряжение здесь снижается и составной цилиндр способен выдержать большее давление, нежели обычный. Нужно, однако, помнить, что вследствие натяга увеличиваются напряжения в зоне контакта у внешнего цилиндра. Поэтому натяг св должен подбираться для заданного рабочего давления р так, чтобы была обеспечена прочность не только внутреннего, но и внешнего цилиндра. Легко составить условие равнопрочности цилиндров (рис. 347): Овквл Овквв Согласно выражению (9.17) получим: в точке А Ьв + а' 2с' о,к,=о,— о,=р„,,— рк —,,— ( — р); (9.25) в точке В о„,=о„— о,= Приравнивая эти выражения, находим Ьв с' — ак / Ьв .
св (9.26) Если подставить сюда рк нз выражения (9.24), то найдем натяг св, который обеспечивает условие равнопрочности прн заданном рабочем давлении р: 2р сьв (св — ав) ( ) 9.27 Е Ь'(с' — а')+с'(Ь' — с') Если, наконец, исключить из выражения (9.25) контактное давление рк (9.24), то получим 2Ьв Овкв=р Ьв в Ьв св — +— Ьв — св св — ав Эта величина имеет минимум прн с=у' аЬ: Окав р Ь вкв (9.28) Полученные соотношения носят название условий Гадолина, по имени русского ученого, впервые их получившего. 4 66 ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ В СОСТАВНЫХ ТРУБАХ 345 Сопоставляя выражения (9.28) и (9.22), мы видим, что посадка труб приводит к заметному снижению эквивалентного напряжения. Для сравнения рассмотрим отношение выражений о,„„полученных по этим формулам: поп ом„Ь+ а оввв 2Ь Если внутренний радиус цилиндра а мал, то посадка труб по соотношениям Гадолина дает почти двукратное снижение эквивалентного напряжения.
Для тонкостенных труб, т. е. при ажй, посадка труб не дает эффекта. В технике высоких давлений, кроме посадки, применяется так называемое автофретирование, которое заключается в предварительной нагрузке цилиндра внутренним Рис. 343 Рис. 349 давлением, ббльшим рабочего, с таким расчетом, чтобы во внутренних слоях цилиндра возникали пластические деформации. После снятия давления во внешних слоях цилиндра сохраняются упругие напряжения растяжения, а во внутренних слоях возникают напряжения сжатия (рис.
348). В дальнейшем при нагрузке цилиндра давлением остаточные напряжения суммируются с рабочими так, что во внутренних слоях имеет место частичная разгрузка. Материал цилиндра не получает пластических деформаций, если только рабочее давление не превышает давления предварительного обжатия. П р и м е р 9.6. Подобрать размеры диаметров 26 и 2Ь и величину натяга а для двуслойного орудийного ствола, имеющего внутренний диаметр 2а= 100 мм. Максимальное давление в момент выстрела рмв»= 346 гл.
9. тОнкОстенные н толстостенные сосуды =200 МПа. Материал — сталь, Е=МО ГПа, от„=пт,=600 МПа. Запас прочности должен быть не менее чем двукратный. По формуле (9.28) определяем размер Ь: 600 Ь вЂ” =2ОΠ—; а= 3 . 2 Ь вЂ” а! Промежуточный радиус с представляет при этом среднее геометрическое между а и Ь: с= $ГаЬ=а Ьг 3. Численные значения диаметров таковы: 2а=100 мм; 2Ь=ЗОО мм; 2с=!73 мм. Выражение (9.27) после подстановки с= у' аЬ принимает вид й= — Уйа Отсюда натяг Е й ==, У50 !50=0,0865 мм.
200 2 1О' П р и м е р 9.7. Стальной стержень установлен с натягом в стальной плите (рис. 349). Какую силу следует приложить к стержню в осевом напранлении, чтобы вытянуть его из ялиты) Изнестен натяг й= =0,03 мм; диаметр стержня 1)=60 мм, толщина плиты Л=)00 мм, коэффициент трения между плитой и стержнем !=0,25. Пренебрегая особенностями, связанными с неравномерным натягом по толщине плиты, примем, что искомая сила представляет собой силу трения Р=)рап0Ь, где р„— контактное давление.
Оно определится по формуле (9.24), если йринять а=о, Ь=ао, с=()/2: Л 0,03 Р =Е = 200 — '=!00 МПа. я Искомая сила Р=4,6 10' Н. ГЛАВА 10 ПРИНЦИПЫ РАСЧЕТА ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ, РАБОТАЮЩИХ ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ $ 69. Отличительные особенности расчета и схематизация диаграммы растяжения Все рассмотренные до сих пор вопросы относились к расчету элементов конструкций в пределах упругих деформаций. Однако многообразие возникающих на практике задач далеко выходит за рамки, очерченные законом Гука, и сплошь и рядом приходится рассматривать вопросы, связанные с пластическими деформациями тел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
