Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (1240839), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Таким образом, к системе ие может быть приложена сила, ббльшая указанного значения. Эту силу для даннои системы следует рассматривать как праде,»оную. В некоторых случаях ее именуют также разрушающей нагрузкой. Понятно, что название еразрушающая нагрузка» не отражает полностью сущест-,у у г ва явления, Если действительная диаграмма растяжения при увеличенных значениях е имеет б с участок упрочиеиия, то возможно, что сила Р, большая предельной, окажется в далькейшем Ага уравновешенной внутренними ,Ут о г силами.
Однако это провзойдет савам при весьма заметных перемещениях и столь сильных изменениях геометрической формы си- гсгааааа 7 гааза стемьг, что последнюю в этих условиях можно рассматривать Рис. 360 как разрушившуюся. На рис. 360 показано изменение усилий Л7» и )»е, а также и перемещения бл в зависимости от силы Р. Теперь рассмотрим вопрос об остаточных напряжениях, возникающих в системе после разгрузки. Понятно, что при этом имеется в веду нагружение системы такими силами, при которых в среднем стержне 12 В. И.
Феодосьев 36л гл. 1о, принципы рлсчитл зл пркдвллми рпрргости возникают пластические деформации, иначе при чисто упругих деформациях остаточных напряжений не будет. С другой стороны, нагрузка должна оставаться меньше предельной. Процесс разгрузки эквивалентен приложению внешней силы, равной силе нагрузки, но обратной ей по знаку. Следовательно, остаточные напряжения в системе можно рассматривать как алгебраическую сумму напряжений, возникающих в результате последовательного приложения сил нагрузки и противоположных и равных им сил разгрузки.
Вследствие того что принцип независимости деяствия сил в данном случае неприменим, приложение снл нагрузки и разгрузки доллшо производиться только в поямой последовательности (рис. 361). Деформация при разгрузке происходит упруго, и материал следует при этом Й~щуФу Рассууарл Рис. 361 закону Гука. Поэтому в процессе разгрузки в стержнях будут возникать усилия, определяемые выражениями (1О.1). Прн нагрузке же усилия определяются выражениями (10.2) и (10.3).
Таким образом, остаточные усилия, возникающие в стержнях, будут: Р осрР Р спаса Р Л(1 ост= йс ест птр Р 2 соз а 1+ 2 сохо сс 1+ 2 соед а ' В этих выражениях под Р понимается сила, до которой происходило нагружение. Величина ее находится в пределах, ограниченных нагрузкой, соответствующей началу образования пластических деформацич, с одной стороны, и значением предельной нагрузки — с другой: п,р Р(1+2 сонэ а) ( Р~п рР(1+2 соха). Остаточные напряжения являются самоуравновешенными, т.
е. узел стержней (рис. 362) при отсутствии внешних сил должен находиться в равновесии: 2Лс1 ост соз а+ Л э ост = О. Подставляя сюда значения У, ест и Мс ест, легко убедиться, что полученные выражения для сил удовлетворяют этому условию. На рис. 362 показан график измевения остаточных сил в зависимости от нагружающей силы Р. В среднем стержне сила Мэ с является сжимающей.
В боковых стержнях остаточные силы — растягивающие. При повторном нагружении система деформируется упруго до тех пор, пока сила вторичного нагружения не станет равной силе первоначального нагружения. Если систему нагружать дальше, в стержнях возникнут пластические деформации, изменяющиеся по установленным выше законам первоначального нагружения. П р и м е р 10.3. Проанализировать работу ступенчатого стержня (рис. 363, и) при нагружении его силой Р. Диаграмма' растяокення схематнзируется двумя прямыми (рис. 363, б), уравнения кото(оых 355 1 70. НАПРЯЖЕНИЯ И ПЕРЕМЕЩЕНИЯ следулощнс: при о~ о, (10.4) о — о, =0 (в — ет) прн оЛ= от Диаграмма сжатия предполагается совпадщощей с диаграммой растяжения.
'Л' ад'с Лгтгг игл ~ гыгтт 7/гугат "гот агл~ )лта слэ а | „У гата з)л'а Юсвтуа Рнс. 362 Рис. 363 1 4 то 67АС= — Р, 61АВ= — Р, 5 ' 5 Перемещение сечения А будет следующим: ВАС 21 2Р) 6А = — = —,, ЕР 5ЕР ' На первом этапе нагругкения, когда материал следует аакону Гука, усилия в нижнем и верхнем участках определяются обычными приемами раскрыитя статической неопределимостн. Так как й' АВ + )У А С = 1 (10.5) а удлинения на у ыстках АВ и АС одинаковы! гтАС21 ЕАВ) ЕР 2ЕР (16.6) 356 Гл.
!з. пРинципы РАсчетА 3А пределАми упРуГОсти Эти соотношения будут справедчивы до тех пор, пока напряжение на 5 нижнем участке пе достигнет значения от при Р= — отр. т Далее нижний участок дефорчируется пластически, а верхпнй— упруго. Уравнение (10.5) остается неизменным, а уравнение (10.6) преобразуем с учетом выражения (10.4); о — о„ е= +ет. р (!0.У) Тогда взамен уравнения (10.6) получим ЕР = [Р ( 2Р от)+ат1 Решая зто уравнение совместно с уравнением (10.5), нзйдем: Р— 2о.р(1 — р!Е) 4Р.Р(Е+2отр (1 — р)Е) Ас= ! ! 4р)Е АВ= ! ! 4р)Е ( ) Перемешепие сечения Л Нлс22 21 Р— 2о,Р(! — Р)Е) ЕР ЕР 1+4Р Е Нз первого выражения (10,8) определяем силу, при которой напряжение в верхнем участке достигнет предела текучести, Р=отР(3+2Р)Е) На третьем зтапе иагружения имеем 21елс — — 1елв, или, согласно выражению (10.7), 2 [ — ( —:,'с — о„)+е, ~ = — (+" — о,)+ет абула гулс Вл )'м г,.ф Ю~ Рис.
364 4 ть упРуГО-пллстическии изГиБ стеРжня 357 Решаем это уравнение совместно с уравнением (10.5). Тогда 1 2 / 01 4 2 / () '« )УАС= 1 о «'~1 ) б7АВ=5~ =о г(1 ) ° (10.9) Перемещение точки А на третьем этапе нагружения будет бл = 2млс= у ~ — — 317т (1 — — ) ~. 21 Р й Зависимость усилий «УАВ и 57Ас и перемещения бл от силы Р представлена на рис. 364. На этом же графике показано и остаточное усилие Ро,т в стержне, получагошееся после разгрузки. Оно будет одинаковым для обоих участков и определяется путем вычитания из величины 57лс (формулы (10,8) яли (10.9)1 усилия «упругой> разгрузки Р75. $71. Упруго-пластический изгиб стеритня Рассмотрим случай чистого изгиба прямого стержня при наличии пластических деформаций. Для простогы будем считать, что поперечное сечение обладает двумя осями симметрии (рис.
365) и что диаграммы растяжения н сжатия материала одинаковы. При этих условиях, очевидно, нейтральиая линия совпадает с осью симметрии х (рис. 365). Аналитически связь между напряжением о и деформацией Б задавать Рис. 365 Рис. 366 не будем и примем, что диаграмма растяжения дана графически (рис. 366). Положим, что для стержня, как обычно, справедлива гипотеза плоских сечений.
Тогда получим (см. стр. 143) Б= —, (10. 10) р где 1/р — кривизна стержня, а у — расстояние от нейтральной линии. Изгибающий момент в сечении стержня будет 353 Гл. !О. пРиниипы РАсчетА зА пРеделАми упРуГости равен М= ~ аунг(у. (10.11) Теперь оказывается возможным графоаиалитически определить зависимость кривизны стержня 1/р от момента М, а затем при заданном моменте найти и величину напряжений, возникающих в стержне.
Проще всего сделать зто следующим образом. Задаемся кривизной 1/р и по формуле (10.10) находим максимальное удлинение Ь ! юа* 3 Р' Рядом с чертежом поперечного сечения изображаем диаграмму растяжения (рис. 367) и отмечаем на ней точку А, соответствующую найденному значению е„,„. Это удлинение Рис.
367 имеет место в слоях, наиболее удаленных от нейтральной линии. Позтому против верхней точки сечения отмечаем отрезок О'А', а затем и точку О". Так как удлинения распределены по высоте по линейному закону, точки О" и А' соединяем прямой. Она представляет собой зпюру деформаций в сечении. Далее строим эпюру напряжений. Для некоторого значения у по удлинению е (точка В') находим напряжение а (точка В). Откладывая длину отрезка ВС на зпюре, получаем справа график распределения напряжений по высоте.
З Гь упРуГо.пт!Астический изГив стеРх(ня звэ Затем строится график произведения ОУЬ по высоте. Площадь полученной кривой дает, согласно выражению (10.11), величину изгибающего момента. Таким образом, в результате проведенных операций находится одна точка зависимости 11р от момента М.
Если задаться новым значением кривизны, можно, повторяя все и указанные операции, найти новое значение момента и тем самым определить следующую точку искомой зависимости !/р от М. Когда искомая кривая построена (рис. 368), по заданному моменту определяется кривизна стержня. Далее строится эпюра напря- 7 жений при кривизне ! 1р, соответст. р . звз вующей заданному моменту М. Имея описанные построения, можно легко определить также и остаточные напряжения, сохраняющиеся в стержне после разгрузки. Делается это путем уже описанного ранее У! .Вжала у;гу9тйс Зпм а уаг~уйи Эвам РГГХГИжмг лайуоЯенй Р . ЗВ9 способа суммирования воображаемых напряжений разгрузки и напряжений, возникающих при нагружении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
