Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (1240839), страница 57
Текст из файла (страница 57)
В рассматриваемом случае напряжения разгрузки изменяются в сечении по линейному закону О=Му!У„. Накладывая эту линейную эпюру на эпюру рабочих напряжений (рис. Зб9), находим эпюру остаточных напряжений. Важно отметить, что полученные напряжения являются самоуравновешенными. В сечении не возникает ни нормальной силы, ни изгибающего момента.
Описанная выше последовательность определения напряжений в изогнутом стержне выглядит значительно проще в случае, когда ширина сечения Ь остается постоянной, 350 Гл. !а. пРинципы РАсчетА ЗА пРеделАми упРуГости т. е. в случае стержня прямоугольного сечения, и особенно просто, когда диаграмма растяжения к тому же обладает участком идеальной пластичности. Рассмотоим этот частный случай.
Имеем прямоугольное сечение со сторонами Ь и й и диаграмму растяжения, показанную на рис. 370. Легко установить, что поперечное сечение бруса делится на две зоны: упругую и пластическую. Рис, 370 Величина у„ определяющая границу этих зон, находится из выражени™я (10.10) д,=е,р. (10.12) По мере увеличения момента и, соответственно, кривизны величина у, уменьшается. Упругая зона сокращается.
Изгибающий момент в сечении по-прежнему определяется выражением (10.11), которое в данном случае принимает вид А(2 М=Ь 1 ор (у. - и/2 Разбивая интеграл на два, получим а И(2 М = 26 ~ оу 2(у + 26п, ~ у г(у. а 22 Так как на упругом участке о= Š—, после интегрирования ф Р находим М = — (2 — у2+(2о, ( — — у2).
$71 унРугоупллстический изГиБ стеРжня 361 получаем 4 ' 3 ~Е' (10.13) откуда Бс 1 Р ! — ЬЬ с,— М 4 (1О. 14) Кривизна стержня с увеличением момента М возрастает и обращается в бесконечность при М = — (7йсо,. (1О.!5) В этом случае р=О и у, обращается в нуль. Следовательно, все сечение охватывается пластической деформацией, н эпюра напряжений в поперечном сечении бруса изображается в виде двух прямоугольников (рис. 371). Несущая способность стержня при этом 77 .
7С=У исчерпывается, и ббльшая нагрузка им воспринята быть не может. Понятно, что в действительности кривизна стерж17я не может обратиться в бес- 7 конечность, и указанный слуРис. 371 чай следует рассматривать как предельный. Применимость формулы (10.14) ограничивается величиной момента М не только сверху, но и снизу. При малых значениях момента, когда пластическая зона отсутствует, кривизна определяется по формулам, выведенным в предположении линейной зависимости между а и Б: 1 М 13М р Е2 ЕМЬ ' (10,16) Это соотношение будет правильным до тех пор, пока М 6М 27 РБ' Отсюда, имея в виду, что на основапип выражения (10.12) БГР Рс=е Р= — и 352 ГЛ.
Пс ПРИНПИПЫ РАСЧЕТА ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ т. е. Формулой (10.14) можно пользоваться при в йй'о ~М ~ — ол'о, На рис. 372 изображена зависимость кривизны 1/р от момента М. Из выражений (10.14) и (10.16) сразу же можно найти остаточную кривизну, которую сохраняет брус после разгрузки: 1Ь4 3 Ес 1234 Рссс ЬА от 4 (10.17) Р~~~ и У Рас.
3?2 б Р Ы' ганг А7аг РУУгд.АЕ Рис. 373 где под М понимается величина л1омента при нагрузке. Остаточная кривизна может быть найдена и по графику, как зто показано на рис. 372. $11. УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЯ 363 Эпюра остаточных напряжений представляет собой ломаную линию (рис. 373). Она получается в результате вычитания линейной эпюры разгрузки из эпюры натруженна. Наибольшие остаточные напряжения будут следующими: 6М о' =п —— аст т ц22 !2Мит Оаат — От 552 Пример !04.
Витая пружина получается путем холодной навивки проволоки на цилиндрическую оправку (рис. 374). Для случая прямо- 12 угольного сечения проволо- Рнс, 374 ки подобрать диаметр оправки О,„р с таким расчетоы, чтобы после навивки прусКНна ИМЕЛа заданный средний диаметр витка 1!я𠆆-25 мм. Высота сечения проволоки й=2,5 мм; о =500 МПа, Е=2 ° 102 МПа. Полагая, что угол подъема витка мал, будем рассматривать виток пружины как плоский. По условию остаточная кривизна витка ! 2 2 — — — мм р„, =))„р 25 Обращаемся к выражению (!0.17). В нем нам нсизвестеи момент М. Найдем его. Для этого перепишем уравнение (10.17) в виде или (- —, ') ( — —,)-- 25 Эйзот ) ~ 4 Ыпо ) 3 Величина М/(Ьйзо ) лежит в пределах от 176 до !74.
Подбором определяем — — — =0,485 !О 1 М 4 й)гатт По формуле (10.141 находим радиус крнваэны проволоки н нагруженном состоянии откуда р=12,05 мм. Вычитая иэ этого значения половину толщины проволоки, находим размеры оправки; рана=12,05 — 1,25=10,5 мм, Оеар=21,6 мм* 364 Гл. 10. пРинпипы РАсчетА зА пРеделАми упРуГОсти П р и м е р !0.5.
Часовая пружина изготовляется путем навивки стальной ленты на цилиндрическкй сердечник (рис. 375, а). Освобожденная лента принимает в дальнейшем форму спирали (рис. 375, б). Определить уравнение этой спирали, если свойства материала характеризуются диаграммой идеальной пластичности. Рис. 375 При навивке лента изогнута по спирали Архимеда И = — + — ф 2 2п где г и ф — полярные координаты (рис. 375, а), г( — диаметр сердечника, И вЂ” толщина ленты. Так как толщина ленты И невелика и спираль, следовательно, имеет небольшой шаг, можно считать, что полярный радиус равен радиусу кривизны: р=г. Тогда из уравнения (10.13) получаем величину изгибающего момента при навивке: И= — ЬИ о,— — 0 — ' ~ — + — ф~ .
4 3 Еа 'И2 2пф) ' Подставляя далее Л( в уравнение (10.17), получим 2 2п Это выражение и представляет собой искомое уравнение спирали. С увеличением угла ф остаточная кривизна уменьшается. При некотором ф она может оказаться равной нулю. Это значит, что в этом сечении и на остальном внешнем участке ленты пластические деформации при навивке ие образуются, и лента остается прямой, 2 72. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЯ КРУГЛОГО СЕЧЕНИЯ $72.
Кручение стержня круглого поперечного сечения прн наличии пластических деформаций Для исследования деформации стержня в условиях упруго-пластического кручения необходимо располагать диаграммой сдвига материала, т. е. зависимостью угла сдвига у от напряжения т (рис. 876). Будем считать, что такая диаграмма у нас имеется. Она т может быть получена путем испытания на кручение тонкостенных трубок. В дальнейшем мы покажем, что эта диаграмма может быть определена путем перестройки обычной диаграммы растяжения о=7(е).
Рис. 377 Рис. 376 Принимая, как и прн обычном кручении, гипотезу плоских сечений, получим у=рО (10.18) !см. формулу (2.5)!. Крутящий момент в сечении равен а М, = 2л ~ тр' др. о Введем в это выражение взамен радиуса р переменное у по (10.18). Тогда Тгпгг ~= — ',г ~ ту'7, (!О.!9) о где у.,„= ЯЕ. (!0,20) Интеграл в выражении (10.19) поедставляет собой не что иное, как момент инерции криволинейного треугольни- 366 Гл. 1а. пРинципы РАсчетА ЗА пРеделАми упРуГости ка ОАВ (рис.
377, а) относительно осн т. Для заданной диаграммы он может быть заранее определен как функция 7,„(рис. 377, б). Теперь легко по точкам построить зависимость удельного угла закручивания 0 от момента М„. Задаваясь значением О, определяем, согласно выоажению (10.20), у,„. Затем снимаем с графика значение ин- теграла татаа н по формуле (10.19) находим М„. Таким образом определяется одна точка зависимости 0 от М„. Повторяя эту операцию несколько раз, получаем полную кривую О=г(М„). При малых значениях момента, где кривая тп|аа ~ у'бу=)(Т...) о в — б= — 0а8.
и 2 (1О. 22) Отсюда определяем удельный угол закручивания О, который возникает в проволоке при посадке витков: 6=0,00955 мм-а. пе может быть построена точно, пользуегися обычной линейной зависимостью в пределах закона Гука 0=~". (!0.21) Все последующие операции по определению закона распределения напряжений в поперечном сечении стержня по определению остаточных напряжений и остаточных углов совершенно аналогичны тем, которые были рассмотрены в предыдущем параграфе для изгиба стержня. Здесь эти операции повторять не будем и проиллюстрируем их только на следующем примере. П р и м е р 10.6. Витая цилиндрическая пружина (рис.
378, а) сжимается до полной посадки витков (рис. 378, б). Требуется определить шаг пружины после разгрузки, если до нагрузки он был равен з=!0 мм. Размеры пружины следующие: Р=20 мм, а(=4 мм. Модуль сдвига 0=0,77 10' МПа. Диаграмма сдвига материала задана кривой, показанной на рис. 378, в. Осадка пружины на один виток равна )я=в — г(.
С другой стороны, )) )т — — — 8(, где 1 — длина витка, равная пР. Таким образом, 2 4 72. кРученне стеРжня кРуГЯОГО сечення 367 Находим, далее, ум,= — 8=0,0191. Откладываем величину ум«х а|а«= на диаграмме сдвига (рис. 378. в) и путем разбиения на площадки определяем момент инерции треугольника ОАВ относительно оси г. а, Гата уаа !9 /ха Рнс.
378 В результате подсчетов получаел~ тв«х ту«ау=0,455 10 ' МПа. о 2л.Э 455, 10-з Находим по формуле (10. !9) крутящий момент: М« = =-3280 Н мм. По формуле (!0.21) определяем удельный угол закручивания при 328 упругих дыйормациях. 0= . =0,00170 мм 7700п 44!32 муа Л)ажуа Рве. 379 Теперь находим упругую «отдачу» пружины после разгрузки согласно выражению (10,22): з с,— «)= — 20« 0,00170=1,07 мм, о«т Искомый шаг пружины «о««=1,07+4=5,07 мм. Для полноты картины определим закон распределения остаточных напряжений в поперечном сечении пружины.
Для этого построим сначала эпюру напряжений при нагрузке. Согласно выражени!о (10.18) 368 ГЛ. |О. ПРИНЦИПЫ РАСЧЕТА ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ угол сдвига на расстоянии р от пентра круга равен 7=0,00966р. Задаваясь несколькими значениями р, по точкам определяем напряжение т и строим эпюру, показанную на рис. 379, 6. Из нее вычитаются напра|кения, определенные по формуле упругой разгрузки, Т=Мр/У =13,0р. Разность между напряжениями нагрузки и разгрузки дает величину остаточных напрнжений (рис. 379, з). $73.
Основы расчета по предельным нагрузкам При расчетах конструкций на прочность наиболее широко распространенным является метод расчета по напряжениям. В духе этого метода и были написаны все предыдущие главы курса. Однако, как уже говорилось, этот метод не является единственным. В ряде случаев более предпочтительно ведение расчета по разрушающим или предельным нагрузкам, от которых рабочие нагрузки составляют некоторую часть.
Отношение предельной нагрузки к рабочей называется коэффициентом запаса по предельным нагрузкам. Его величина назначается, как обычно, в зависимости от особенностей проектируемой конструкции. На примере рассмотренных в настоящей главе задач мы уже имели возможность познакомиться с понятием предельной нагрузки.
Так, например, для системы, состоящей из трех стержней (рис. 358), эта сила оказалась. равной Р„,д — о,г" (!+2 сова), а для стержня прямоугольного сечения предель~|ый изгибающий момент равен Обобщая полученные результаты, следует сказать, что под предельной нагрузкой понимается та нагрузка, по достижении которой исчерпывается способность системы воспринимать дальнейшее возрастание нагрузки, или такая, при которой возникают столь заметные изменения геометрических размеров системы, что последняя перестает удовлетворять своему назначению. Усвоить приемы определения предельных нагрузок проще всего путем решения конкретных задач. Рассмотрим несколько примеров.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
