Учебник - Введение в физику плазмы - Чен Ф. (1239320), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Р. 3. Сагдеев обьяснил поведение решения уравнения (8.27), пользуясь аналогией с движением частицы, осциллирующей в потенциальной яме. Для частицы, ва которую действует сила — т ИЦх)/дх, смещение х определяется уравнением лвх) (1в Дг ь(х (8.28) Если правую часть уравнения (8.27) обозначить через — е('иупу, то оно станет тождественным уравнению движения осциллятора, причем потенциал 11 будет играть роль х, а производная пЩ заменит ЮИ. Квазипотенциал Р (7) иногда называют потенциалом Сагдеева.
Функцию $'(11) можно найти из уравнения (8.27), интегрируя его с учетом граничного условия $' (у) = — О при у = О: Ъ;(7) 1 ех 1 Кв[1 (1 ~ )' 1, (829) При определенных значениях Ж ~рафик функции $'(Х) имеет такой вид, как показано на рис. 8.6. Если бы это была обычная яма, то частица, попав в нее слева при х = — О, дошла бы до правого края ямы, отразилась и вернулась бы к точке х .= О, совершив таким образом внутри ямы одно колебание.
По аналогии и в нашем случае квазичастица совершит такое же движение: она дойдет до некоторого положительного 11 и вернется к 7 = О (рис. 8.7). Подобное импульсное распределение потенциала или плотности называется солитоном; в нашем случае он движется влево со скоростью ие. Пусть теперь частица при движении в яме теряет энергию, тогда она никогда не вернется в точку х = О, а будет стечением времени совершать колебания около некоторой точки х )О. Аналогично небольшое затухание вызовет пространственные осцилляции потенциала в ударной волне вокруг некоторого положительного значения ф, что и показано на рис.
8.5. В действительности для создания такого распределения в системе не обязательно должна существовать диссипация; тот же эффект дает отражение ионов от фронта ударной волны. Чтобы понять это, допустим, что ионы имеют малый тепловой разброс по энергиям, а высота потенциального барьера в волне еф достаточно велика для того, чтобы часть ионов от него отразилась и ушла влево, а часть перевалила через 287 8.3. Ионне-звуковые ударные волны Риг. 8.6. Потенциал Сагдеева Р' (Х!. Верхняя стрелка соответствует траектории движения квазичастицы, которая соответствует солитону.
Эта квази- частица отражается от барьера и возвращается к началу координат. Нижние стрелки показывают траекторию движения квазичастицы, которая теряет свою знергию и оказывается захваченной в потенциальную яму. Движение такой квазичастицы взад-вперед в потенциальной яме описывает осцилляции за фронтом ударной волны. барьер и продолжала бы движение в правую сторону.
Из-за наличия отраженных ионов плотность плазмы вверх по течению от ударной волны (на рис. 8.5 слева от нее) увеличится. Отсюда следует, что величина [ (а,— пг)Л, (8.30) ло й уменьшится. Поскольку у является аналогом ь(х!Ж, это значит, что наш воображаемый осциллятор теряет энергию и оказывается захваченным в потенциальную яму (рис. 8.б). 8.8.2. Критические числа Маха Решения типа солитонов или волновых пакетов существуют только при определенных значениях .Х. Нижний предел этих чисел определяется из условия, что функция )7(у) должна описывать именно яму, а не горб потенциала.
Разложение правой части (8.29) в ряд при )ь Сс, 1 дает условие — !!в — (Х"2й(') ) О, .й'а) 1, (8. 31) 2 которое и с физической, и с математической точки зрения совпада. ет с бомовским критерием образования слоев [формула (8.11)[. х!и"и ь) Рис. 8.7. Распределение потенциала в движущемся слева солитоне. Гл. 8.
Нелинейные явления О Х = ефукте наг'г Рнс. 8.8. Зависимость плотностей ионов и злектронов от нормированного потенциала у для солитонного решения (логарифмическая шкала). Платность ионов изображена для двух случаев: в первом число Маха .Зги( 1,6, во втором —,Ж) 1,6, Рис. 8чк Ионне-звуковая нолик большой амплитуды со временем укручается, так что передние кромки горбов становятся круче задних. Верхний предел значений и' определяется тем обстоятельством, что для существования потенциальной ямы функция )г (11) должна пересекать ось )1 при 11 )О; в противном случае квазичастица не сможет отражаться, а потенциал будет неограниченно расти. Как видно из формулы (8.29), для этого необходимо, чтобы при некотором у )О удовлетворялось неравенство ех — 1( Уз~1 — (1 — ~, ) ~ (8.32) Пусть число Маха больше нижнего критического (,зГ)1); тогда при малых 11 левая часть неравенства (8.32), которая представляет собой интеграл от электронной плотности по потенциалу в пределах от нуля до у, будет больше, чем его правая часть, отвечающая аналогичному интегралу от плотности ионов.
Если число зГз не очень велико, то с ростом у правая часть может стать больше левой. Однако у не может расти до бесконечности; его максимальное значение определяется из условия неотрицательности подкоренного выражения: у„„, — лузг2. Физически это связано с тем, что величина еф не может превышать (112) Мио; в противном случае ионы не смогут проникнуть за ударную волну. Подставляя в неравенство (8.32)., приходим к условию ехр ( угв~2) — 1(.зуз, Я~ 1,6, (8.33) которое определяет верхний предел чисел Маха. Таким образом, ударные волны в плазме с холодными ионами существуют только при 1 (,Х (1,6.
Как и при анализе плазменных слоев, физическую причину этого лучше всего понять с помощью графиков зависимостей лг и и, от 2 (рис. 8.8). Поскольку мы сменили знак в определении у, эти графики отличаются от тех, которые изображены иа рис. 8.4. 289 8.3. Ионно-звуковые ударные волны Ионы теперь не ускоряются, как в случае плазменного слоя, а замедляются, поэтому при у — ле з)2 имеем ив — оо.
Поскольку .я' ~1,6, при малых Х кривая и; (у) лежит под кривой и, (Х) и кривизна функции ф (х) имеет требуемый знак. При значениях )1, соответствующих условию и; = и„потенциал ф в солитоне имеет точку перегиба (рис. 8.7). Наконец, если у настолько велико, что площади под кривыми и, (у) и и; (Х) становятся одинаковыми, то потенциал солитона ф достигает максимума, после чего ф начинает уменьшаться и убывает до нуля, а плотности частиц тоже стремятся к нулю, двигаясь по тем же кривым и~ (у) и и, (Х).
Из условия равенства площадей под кривыми следует, что полный заряд солитона равен нулю; следовательно, вне солитона электрическое поле отсутствует. Числу Маха .Х ->1,6 соответствует такая кривая ием площадь под которой слишком мала и не может уравновесить вклад от электронов даже в том случае, когда Х = Квакв == .йв/2.
8.3.3. Укручвние волны Пусть в плазме с холодными ионами распространяется ионно-звуковая волна. Ее фазовая скорость определяется выражением (4,42) и соответствует числу Маха М = 1. Каким образом из нее можно образовать ударную волну с ле')12 Для того чтобы ответить на этот вопрос, вспомним, что формула (4.42) была получена в линейном приближении и справедлива лишь для волн малой амплитуды. Оказывается, с ростом амплитуды скорость ионно-звуковой волны возрастает. Меняется и ее форма: из синусоидальной волна превращается в пилообразную; передние кромки у бегущих вправо горбов становятся круче (рис. 8.9). Это связано с тем, что электрическое поле волны ускоряет ионы.
Рассмотрим более подробно механизм такого процесса. На рис. 8.9 ионы, находящиеся у пика распределения потенциала, имеют более высокую скорость в направлении ое, чем частицы, находящиеся в яме, поскольку первые были ускорены только что прошедшим мимо них максимальным значением потенциала. Это различие в скоростях частиц учитывается и в рамках линейной теории, однако вытекающими из него различиями в положениях частиц линейная теория пренебрегает. В нелинейной теории нетрудно показать, что ионы, находящиеся у пиков потенциала, будут сдвинуты вправо, а частицы, расположенные у дна потенциальных ям,— влево, что и приведет к укручению профиля нолны. Поскольку возмущение плотности находится в фазе с потенциалом, число ионов, ускоряемых волной вправо, превышает число частиц, которые ускоряются влево.
В результате возникает поток частиц, движущихся в направлении распространения волны. При этом скорость волны превышает скорость звука в невозмущенной плазме и число Маха М становится больше единицы. Гл. 8. Нелинейные явления 290 8.8.4. Результаты экспериментов Ионно-звуковые ударные волны, похожие на ту, что изображена на рис. 8.5, наблюдались в экспериментах Р. Тейлора, Д. Бейкера и Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
