Учебник - Введение в физику плазмы - Чен Ф. (1239320), страница 52
Текст из файла (страница 52)
е. в прямой последовательности и, следовательно, должен был бы ускоряться резонансно, когда его скорость удовлетворяет соотношению от — й,о, = — а,. Поведение правополяризованной компоненты Е показано на рис. 7.32, б. Теперь электрон, если он движется медленнее волны, будет видеть электрическое поле, вращающееся по часовой стрелке, так что на него последовательно действуют векторы электрического поля в точках С, В и А.
Этот электрон будет ускоряться при выполнении условия гн — й,о, = + ат,. Таким образом, плоская или эллиптически поляризованная волна будет затухать благодаря электронам, движущимся в любом направлении в системе отсчета, связанной с волной. 7.10.7. Моды Бернштейнп Электростатические волны с частотами, кратными циклотронной, распространяющиеся под прямым углом к В,, называются модами Бернштейна.
Их дисперсионное соотношение можно найти, подставляя выражения (7.143) для компонент диэлектрического тензора в уравнение Пуассона )7 е Е = О. Если предположить возмущение электрическим, так что Е, == — Чфг, и рассматривать волны вида ф, = ф,ехр [1 ([с г — а() ), то уравнение Пуассона можно записать следующим образом: /е~е„+ 2н„)г,е,„+ й,е„= О. (7.145) Заметим, что мы выбрали такую систему координат, что вектор [с лежит в плоскости хг, а й„= О.
Подставим в уравнение (7.145) выражения для е„„е„, и е„из (7.143) и выразим Г (ь„) через д (ь„) с помощью тождества Л' (ь„) = — 2 [1+ ь д(ь)). (7.145) Задача 7.12. докажите тождество (7.!46) непосредственно из интегральных иыражений для Л (й) и Я' (6), Уравнение (7.145) принимает вид (7.147) 2б7 7.!О. Кинетические эффекты в магнитном нале Пользуясь тем, что Ь = /ьсотспа/2н>с а ьл =(о>+ ин>с)/йснтепа вы" г г г ражение в квадратных скобках с помощью небольших алгебраических преобразований можно упростить и свести к виду: 2йг ~~ .
+ яг (д.6 Замечая затем, что для каждого сорта частиц 2А',ь>'~а/о>' =- э г г 2о>р/отела — = ьо, уравнение (7. 14?) можно переписать следующим образом: /т,+/1,'+2 /тое ~ /„(Ь) ~[ „/~а+~,У(~„))=-0, (7.148) В этом уравнении член ь „/ьа равен 1 — ио>,/о>. Поскольку =- / „(Ь), сумма слагаемых /„(Ь) по>,/о> по и от — оо до оо дает нуль; следовательно, ь,/ь можно заменить на 1.
Определяя йг = г = /т„+ й„получаем общее дисперсионное уравнение для волн Бернштейна: 1+ 7 —, е — ь /(Ь) [1+ ь„У(ь„)) =. О. (7.149) ,ь н /сг„ с и=— 1. Электронные моды Бернштейна. Рассмотрим сначала высокочастотные волны, в которых ионы остаются неподвижными. Эти волны не чувствительны к малым отклонениям от перпендикулярного распространения, и мы можем положить /г, = О, так что ь„- оо.
Следовательно, циклотронное затухание отсутствует; найденные нами ниже щели в спектре волн обусловлены не этим затуханием. В соответствии с разложением (7.129) мы можем заменить Я (ь„) при больших ь„на — 1/ь„. Во второй сумме (7.149) слагаемое с гг = 0 сокращается, и эту сумму можно разбить на две следующим образом: Г М с* сХ>!.-'[г. >.>>!!! — !.!!.>, Х ! .!с!>! — ь>! .>) =с 5 и=-! п=! (7.
150) или /т', -[- ~> йо е ~~>~ /„(Ь) ~2 — ~ — О. (7.181) и=! После приведения к общему знаменателю квадратные скобки сводятся к единственному члену: ьо — ь 2нга>г 1= ~ — ое '~/„(Ь) ' (7.152) гг г г г с 5 и=! 268 Гл. 7. Кинетическая теория О 8 Ю -1 2 3 ы/и~< Рис.
7.33. Функция сх (ш, Ь) кля электронных волн Бернштейна. (Иа работы; Ветлме1н Д В., Р)туа. Кеч., 109, 1О (1938).1 Используя определения величин Ао и Ь, получаем известное дисперсионное уравнение для случая й, = О: , 'С 7„(Ь) Ь / (,(лш )г 5 в=1 Рассмотрим теперь конкретный случай электронных колебаний. Опуская суммирование по сортам частиц, из уравнения (7.152) получаем л, г х е ~7„ (Ь) л =-' — =-. 2оэ, " == а (ш, Ь).
(7.154) о ы лыс в =! Функция а (ш, Ь) для Ь = 1 показана на рис. 7.33. Значения от определяются точками пересечения графика функции а с горизонтальной прямой А,,!Ао )О. Из рисунка видно, что возможные зна- я г чения от лежат чуть выше каждой циклотронной гармоники и что ниже каждой гармоники расположена запрещенная зона. Чтобы перейти к гидродинамическому пределу, заменим в соотношении (7.153) функцию 7„(Ь) ее асимптотическим значением (Ы2)"/и( при малых Ь.
В пределе Ь -~ О остается только член с и = 1 и мы имеем; — х г (7.155) г г, г г или ш = шр + ш,' = шмт.е. дисперсионное уравнение дляверхнегибридных колебаний. Таким образом, при йх -~ О частота соа 269 7.10. Кинетические эффекты в магнитном поле 4 И> шс 3 "Ь 1 г З 4 Е Рис. 7.34. Лисперсионные кривые для электронной моды Бернштейна. ]Иа работы: Сглш/огл г. И'., Л. Арр1. Р11уа., За, 2930 О965]; рисунок приведен с упрощениями.] должна быть одним нз корней уравнения (7.154). Если ша попадает между двумя высшими гармониками частоты ш„то вблизи ш = иа форма кривой ш (/с) изменяется таким образом, что при й, -э О частота ш -и ша.
Для построения кривых ш (/г) умножим уравнение (7.154) на 2ш„/ш, и получим й гь = 4ша а (ш, Ь). На рис.7.34 представлены кривые зависимости величин а/ш,от /а,гь для различных значений шр/ш,. Заметим, что для каждого значения шр/ш, 2. 2 а а выше соответствующей этому случаю гибридной частоты характер кривой заметно меняется. В крайней левой части данного графика, где фазовая скорость приближается к скорости света в плазме, в эти кривые следует включить электромагнитные поправки.
Электронные моды Бернштейна были зарегистрированы в лабораторных исследованиях. В газовых разрядах при этом наблюдались также необъяснимо большие спонтанные колебания на высших гармониках ш,. Однако это слишком долгая история, чтобы ее здесь рассказывать. 2. Ионныемоды Бернштейна. Среди волн с частотами, лежащими вблизи гармоник ионно-циклотронной частоты, следует различать чисто ионные моды Бернштейна, для которых й, = О, и нейтрализованные ионные моды Бернштейна, для которых й, имеет малое, но конечное значение.
Различие между ними состоит в том, что, как и выше для нижнегибридных колебаний, это конечное значение /с, позволяет электронам перетекать вдоль В„компенсируя разделение зарядов. Хотя предел й, = О уже был рассмотрен при ана- 270 Гл, 7. Кинетическая теория лизе соотношения (7.153), различие между этими двумя случаями станет яснее, если мы вернемся назад к соотношениям (7.148) и (7.149). Отделяя член с п = — О и пользуясь соотношением (7.146), получаем +2 )тите ~ 7„(Ь) [1+ Ьал.
(Ь„)] = О. (7.156) У аро Линия раздела между чисто ионными и нейтрализованными ионными модами Бернштейна определяется электронным членом с п = О. Если для электронов ь„)) 1, то с помощью разложения (7.129) можно записать Е (ь„) ж 1!~~~,. Поскольку в этом случае СО!7Ь, )) Отела,„ЭЛЕКтРОНЫ НЕ УСПЕВаЮт ДОСтатОЧНО бЫСтРО ПЕРЕтЕ- кать вдоль В, и нейтрализовать заряд. Если же ь„(( 1, то нужно использовать выражение (7.126), откуда имеем Я' (ь„) = — 2.
В этом случае От!А, (( и„„,, и у электронов достаточно времени для установления распределения Больпмана (3.73). Обратившись сначала к случаю ь„) 1, заметим, что при этом обязательно и ьаь )) 1 и, следовательно, член с п = О в уравнении (7.156) принимает вид 2 е — )ь, ~ — -1- — е 1О (Ь) ОГ сьр аЬр — ь а а Здесь мы перешли к пределу Ь,-ь. О и положили Ь = Ьь Члены с а ~ О в уравнении (7.156) рассматриваются, как и прежде; поэтому электронные волны здесь определяются дисперсионным уравнением (7.155), а ионные — ионным членом дисперсионного уравнения (7.153).
При этом дисперсионное уравнение для чисто ионных мод Бернштейна принимает вид е 2 ч г о2 са' а) се — м, О~ -- —" — е " = О. (7. 157) ~~р 2 — ь ч 7а (Ь) Ь (~ (о,(ио !)а а.=1 Поскольку условие ь„)) 1 подразумевает, что л, малы, то первое слагаемое в (7.157) обычно пренебрежимо мало.
Для анализа гидродинамического приближения мы можем положить вторые скобки равными нулю, выделить слагаемое с и = 1 и использовать разло- 271 7.10. Кнаетические эффекты в магнитном поле бргг 555 Рис. 7.38. Чисто ионные моды Бернштейна; сравнение теории с экспериментом, проводившимся на О-машине. [Иа работы: 5сйшИ1 7. Р.
М., Р1гуэ, нет. 1.е11., 31, 982 (!973).1 жение 1, (Ь) при малых Ь. В результате мы придем к следующему равенству: оР от пт11т (Ь)2)п — ' 1и 2 При Ь = 0 сумма здесь обращается в нуль, а оставшиеся члены равны величине 3, определенной в приложении Б. Условие Я =- 0 дает верхнюю и нижнюю гибридные частоты (см. выражения, следующие за соотношениями (4.70)).
Таким образом, при А. — «О низкочастотный корень дисперсионного уравнения стремится к шп Прн конечных Ь и ш ж пег, один из членов суммы в (7.188) может скомпенсировать электронный член, так что корни дисперснонного уравнения будут находиться вблизи гармоник ионной цнклотронной частоты. В этом случае дисперсионные зависимости ш/й, от )е гы напоминают кривые для электронных мод, изображенные на рис. 7.34. На рис.
7.38 показано поведение двух наинизших корней для ионных мод, а также экспериментальные данные, подтверждающие справедливость дисперсионных уравнений. Нижняя ветвь дисперсионного уравнения для мод Бернштейна проявляется в виде так называемой обратной волны; для нее кривая ш (А) имеет отрицательный наклон. Это указывает на то, что групповая скорость волны противоположна по направлению фазовой. Обратные волны действительно существуют. Это было подтверждено в лабораторных экспернлгентах ие только путем измерений за- 272 Гл. 7.
Кинетическая теория О ! Я 3 4 й,гы Рис. 7.36. Нейтрализованные ионные моды Бернштейна; сравнение теории с экспериментом в высокочастотном разряде гелия. (Из работы: Аим Е,, 1йеы О., РЬуз. Р!и)бз, 13, 2874 (1970).1 висимости оз от й, но и данными интерферометрии, которые подтвердили, что фазовые фронты в такой волне движутся в обратном направлении — от приемника к передатчику.
В заключение рассмотрим нейтрализованные моды Бернштейна, для которых ь„ мало и л'(ь„) ж — 2. Электронный член в )равнении (7.156) при и — — 0 оказывается равным йо,. Считая, что неравенство ьз! ~) 1 по-прежнему выполняется, можно повторить выкладки, с помощью которых было получено уравнение (7.157); при этом уравнение (7.156) принимает вид 2 йз з 2 2 г Ю ()р 2 — З ~ 1з (Ь) + — ' — е = О, (7.159) оз Ь „~ ( !о е=! а при й, сс, (з„для нейтрализованных ионных волн Бернштейна 2 2 можно записать следующее приближенное соотношение: 1+й )со 1 — а -1- — а — е еэз — ыз ззз !' ~ (ы/аГз — 1) и=! (7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
