Учебник - Введение в физику плазмы - Чен Ф. (1239320), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Если плотность п„достаточно мала (число пучков, достаточно велико), то рассматриваемый пучок оказывает пренебрежимо малое воздейстние па волну и может быть рассмотрен как. движущийся в данном поле Е (х, 7). Предположим, что Е = Е, ейп (йх — ш() = — г(ф)йх, ф = (Еой) соз1()сх — ш(). (7.74) (7.75) Линеаризованное гидродинамическое уравнение для пучка запи- шется следующим образом: т ( о' + и — '1 = — еЕ, ып()гх — ш(). дг дх / (7.7б) Его возможное решение имеет вид епэ соз (Лх — юГ) о 1 —— гл са — йи (7. 77) и, Рис.
7.20. Разбиение распределения )з (о) на большое число моноэнергетических пучков, имеющих скорость и и плотность ла. Рис. 7.21. Ф азовые соотношения для скорости и плотности электронов, движущихся в электростатической волне. Гл. 7. Кинетическая теория Это выражение определяет модуляцию скорости электронов пучка волной, когда пучок проходит вблизи волны. Сохранение потока частиц требует существования соответствующих колебаний плотности, которые описываются линеаризованным уравнением непрерывности: дл, дл, до, — + и — = — и„—.
д» дх " дх (7.78) Так как о, пропорционально соз (7«х — е»1), можно положить и, = = п,соз (Ах — со1). Подставляя это выражение в уравнение (7.78), получаем «Е»л со» (лх — е»Е) (7.79) т (е» вЂ” ли)« Смысл выражений (7.77) и (7.79) иллюстрируется рис. 7.21. Первые две кривые показывают на одной длине волны поле Е и потенциал — еф, как их «видят» электроны пучка. Третья кривая построена в соответствии с выражением (7.77) для случая со — 7«и (О, или и ое.
Ее поведение нетрудно объяснить; когда электрон а взбирается на потенциальный горб, его скорость мала, и наоборот. Четвертая кривая описывает поведение о, для случая и ( оф, мы видим, что знак величины о, обращен. Это обусловлено тем, что электрон Ь, движущийся налево в системе отсчета волны, замедляется по пути к вершине потенциального барьера; но поскольку он движется в противоположном направлении, его скорость о, в положительном направлении оси х в этом месте максимальна. Последняя кривая на рис. 7.21 демонстрирует поведение плотности и,, определяемой выражением (7.79). Она не меняет свой знак вместе с и — ое, поскольку в системе отсчета волны как электрон а, так и электрон Ь на вершине потенциального барьера имеют наименыпую скорость, н, следовательно, плотность в этом месте наибольшая.
Это объясняется тем, что относительная фаза между п, и о, меняет свой знак вместе с и — оь. Теперь можно вычислить кинетическую энергию Я"и пучка; й х — — 1 т(п,+пт)(и+о«)'= 2 = — т(п„и +п„о~~+2ип,о,-(-п„и +2п„ио,+п«о~). (7.80) 2 Последние трн члена содержат нечетные степени осциллирующих величин, и, следовательно, при усреднении по длине волны они обратятся в нуль. Изменение величины %'» за счет энергии волны можно получить, если вычесть первый член, который представляет собой начальную энергию. При этом среднее изменение энергии дается выражением (Дур' ) = — т (п„о|+2ип,о,). (7.81) 2 7.5. Физический смысл затухания Ландау Из выражения (7.77) имеем 24! е Е п,(п!) = — п„ (7.82) 2 гле (сл — )гп)г' здесь множитель 1г2 представляет собой (созе (Угх — в()). Аналогично из выражения (7,79) находим езЕзlги 2 ) о пге (в — йи)е Следовательно, (7.83) ! е Ео Г 2(г~ (А(уг~) = — пгп„~! + 4 гпе (в — Дп)е в — )ги .4 Рис.
7.22. Механическая аналогия для электрона, перемещающегося относи- тельно движущегося распределения потенциала. пе егЕе в + Дп (7 84) 4 гп (в — )ги)з Это выражение показывает, что (А'йуе) зависит от системы отсчета, в которой находится наблюдатель, и не меняется со временем. Для пояснения рассмотрим брусок, скользящий без трения по поверхности тела, напоминающего стиральную доску (рис. 7.22).
Из выражения (7.84) при в = О мы видим, что в системе отсчета, связанной с доской, (А Ига) — — (г2и) '. Интуитивно ясно, что 1) величина (АВ'е) отрицательна, поскольку брусок проводит больше времени на вершинах, чем в долинах, и 2) после того как брусок начал двигаться, его энергия в среднем сохраняется постоянной. Если теперь перейти в систему отсчета, в которой стиральная доска движется с постоянной скоростью вгй (на скорость перемещения доски движение бруска не влияет, поскольку мы предположили, что плотность п„пренебрежимо мала по сравнению с плотностью всей плазмы), то по-прежнему ясно, что брусок в среднем не теряет и не приобретает энергии.
Однако из формулы (7.84) следует, что (Арке) зависит от скорости вг'й и, следовательно, от системы отсчета, в которой находится наблюдатель. В частности, мы видим, что при наличии волны энергия пучка меньше, чем без нее, если в — йи (О, т. е. и ~ пф, или больше, чем без нее, если в — йи - О, т. е. и ( пф. Почему так происходит, можно понять из фазового соотношения между и, и и,, Из рис. 7.23 ясно, что Ига является квадратичной функцией скорости и. Когда и колеблется между значениями и†) пг! и и + | пг), среднее значение энергии Юа будет больше 242 Гл.
7. Кинетическая теория 14гно и-1ой и и«щ и Рис. 7.23. Квадратичная зависимость кинетической энергии от скорости приводит к тому, что симметричное возмунгение скорости вызывает увеличение средней энергии. равновесного значения )Га„при условии что частица затрачивает одинаковое время на каждую половину колебания. Этим и объясняется наличие первого члена в выражении (7.81), которое представляет собой положительно определенную величину. Второй член в этом выражении является поправкой, учитывающей то обстоятельство, что частицы неодинаково распределяют свое время.
Из рис. 7.21 можно видеть, что как электрон а, так и электрон Ь проводят больше времени на вершине потенциального горба, чем в яме, но электрон а достигает этой точки после периода торможения, так что величина о, здесь отрицательна, в то время как электрон Ь оказывается в этой точке после периода ускорения (направо), и здесь и, положительна. Благодаря этому изменяется знак величины (Л)РН) при и = пф. 7.5.2.
Влияние начальных условий Результат, к которому мы только что пришли, по-прежнему ие имеет никакого отношения к линейному затуханию Ландау, Затухание требует постоянного увеличения Юа за счет энергии волны, а мы нашли, что для незахваченной частицы средняя энергия (Л)кн) не меняется во времени. Если линейное затухание Ландау не определяется ни захваченными, ни незахваченными частицами, то чем же тогда? Ответ можно получить с помощью следующего наблюдения: если, скажем, величина (Л)Гн) положительна, то, наверное, было время, в течение которого она увеличивалась. Действительно, в первоначальном распределении имеются частицы, скорости которых столь близки к из, что к моменту времени Г они еще не успевают пройти половину длины волны относительно волны.
Для них нельзя вычислять среднее значение (ЛЮН). Эти частицы могут поглощать энергию волны и обоснованно называются «резонанснымим С течением времени число резонансных электронов уменьшается, поскольку все большее их число будет смещаться 243 7тй Физический смысл затухания Ландау более чем на (1!2) ) от своего первоначального положения. Однако скорость затухания может оставаться постоянной, так как теперь амплитуда волны меныпе и требуется меньшее число электронов для поддержания постоянной скорости затухания.
Влияние начальных условий наиболее просто понять с помощью фазовой диаграммы (рис. 7.24). На этом рисунке изображены траектории электронов в фазовом пространстве, а также электростатический потенциал — еды в котором они находятся. Мы предположили, что этот электростатический потенциал существует, на- чинаЯ с Г =- О, и что РаспРеДеление га (и), котоРое на РисУнке помещено в плоскости, перпендикулярной листу бумаги, является однородным в пространстве и монотонно уменьшается с ~ п~ в начальный момент времени.
Для ясности, размер волны на рисунке сильно увеличен. Разумеется, наличие волны предполагает существование возмущения 7', (о) при Г = О. Однако обусловленное этим затухание есть эффект более высокого порядка и не учитывается в линейной теории. Перейдем теперь в систему отсчета, Рис, 7.24. Траектории электронов в фазовом пространстве (вверху) для случая частиц, движущихся в потенциале волны (распределение потенциала показано внизу). Стрелки указывают направление движения электронов относительно волны.
Слева в плоскости, перпендикулярной листу бумаги, отложена равновесная функция распределения. 244 Гл. 7. Кинетическая теория связанную с волной, так что картина на рис. 7.24 оказывается неподвижной„и рассмотрим движение электронов. Электроны„расположенные вначале в точке А, начинают двигаться от вершины потенциала направо, поскольку их скорость о ) ое. Электроны, находящиеся первоначально в точке В, движутся налево, так как их скорость о ( оф.
Те же электроны, что находились в точках С и Р, начинают двигаться от дна потенциальной ямы н перемещаются соответственно направо и налево. Энергия электронов, находящихся на замкнутых контурах Е, недостаточна, чтобы преодолеть потенциальный барьер, н онн оказываются запертыми. В пределе малой начальной амплитуды волны число захваченных электронов может быть произвольно малым. После некоторого времени ~, достаточно короткого, чтобы ни один из электронов, находящихся в точках А, В, С илн Р, не прошел более чем половину длины волны, электроны переместятся в положения, обозначенные маленькими кружочками.
Видно, что электроны, находившиеся в точках А н Р, приобрели энергию, а в точках В н С потеряли. Если распределение 7е(п) яыло вначале однородным в пространстве, то в А сначала было больше электронов, чем в С, а в Р больше, чем в В. Следовательно, энергия у электронов возрастает, а у волны теряется. Это и есть линейное затухание Ландау, которое критическим образом зависит от начальных условий. Спустя некоторое время электроны настолько размешаются по фазам, что начальное распределение забудется, и в полном согласии с результатом, полученным в предыдущем разделе, энергия частиц в среднем возрастать не будет. В этом представлении энергия как электронов с о ) ое, так и электронов с о ( ое при усреднении по длине волны будет увеличиваться за счет волны. Это кажущееся противоречие с моделью серфинга мы разрешим ниже.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
