Учебник - Введение в физику плазмы - Чен Ф. (1239320), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Этот парадокс снимается, если в выражении (7.100) восстановить второй член, которым мы пренебрегли. Как показано в равд. 7.5,1, наличие этого члена может привести к тому, что величина (Л(ге) станет отрицательной. Действительно, в системе отсчета на рис. 7.26 второй член в выражении (7.100) не является пренебрежимо малым, величина (Луг'„) отрицательна и волна, по-видимому, имеет отрицательную энергию (т. е.
в невозмущениом распределении Максвелла с дрейфом заключено больше энергии, чем в том же распределении в присутствии волны). И хотя волна «нарастает», добавление энергии к такой волне с отрицательной энергией уменьшает ее амплитуду. 7.7. БГК-моды и моды ван Кампена Мы видели, что затухание Ландау связано непосредственно с требованием, чтобы начальное распределение Ге (о) было однородным в простраястве. Однако если с самого начала 7' (и, ~ = О) сделать постоянной вдоль траекторий частиц, то можно создать незатухающие электронные волны.
Как нетрудно видеть из рис. 7.24, если плазма приготовлена таким образом, что вдоль каждой траектории плотность постоянна, частицы в среднем не приобретают и не теряют энергии. Соответствующая волна называется БГК-модой в честь Бернштейна, Грина и Крускала, которые первыми показали, что возможно существование незатухающих волн с произвольными ы, /г, амплитудой и профилем. Образование БГК-моды определяется относительным числом захваченных и незахваченных частиц, представляющим собой критический параметр при конструировании 7'(и, Г = О).
В пределе малой амплитуды БГК-мода превращается в так называемую моду ван Кампена. В этом пределе захватываются лишь частицы с о =- оф. Число захваченных частиц можно изменить, если добавить к 7" (и, Г = О) член, пропорциональный 6(п — оф). Из рис. 7.24 следует, что добавление частиц вдоль линии и = пф не будет приводить к затуханию в последующие моменты времени, поскольку при этом частиц, приобретающих энергию, будет столько же, сколько и теряющих ее. Действительно, выбирая распределения с б-функцнями при других значениях ер, можно генерировать незатухающие волны ван Кампена с произвольной оф. Однако такие начальные условия не имеют физического смысла. Для того чтобы 'получить гладко меняющуюся функцию Г' (и, Г = О), необходимо выполнить суммирование по модам ван Кампена с~распределением по скоростям оф.
Теперь, хотя каждая мода не является затухающей, полное возмущение проявит затухание Ландау, поскольку фазы различных мод оказываются несинхронизованными друг с другом. 251 7.8. Экспериментальная проверка 7.8. Экспериментальная проверка Хотя Ландау дал безупречный и четкий вывод бесстолкновительного затухания, сначала было не ясно, что это имеет отношение к физически наблюдаемому явлению, до тех пор пока Даусон ие выполнил более длинного, основанного на интуиции вывода, воспроизведенного в равд.
7.6. Даже после этого были сомнения относительно того, удастся ли в лаборатории создать подходящие для иаблюдемс, ой ~3 70 60 З0 40 Рассгтолние лгелгсду зондами Рис. 7.27. Интерферометрикеская запись, показывающая распределение возмущенной плотности в затухающей плазменной волне. (Из работы: Ма)гпЬегп У. и., 'йгаг)оп С. В., Рйуз. Кеч. 1 ем., 17, 175 (! 966). ) О!О 1гп()г) ие(й) 0,06 00) 000б 0 б 70 м 20 ау (ору'ит, ) Рис. 7.28. Проверка затухания Ландау в эксперименте Малмберга и вартана. [Из работы; Ма!тьега ч'.
Н., 97аг)оп С. В., Рйуз. Неч. 1.е11., 17, 175 1966). ) 252 Гл. 7. Кинетическая теория гоо л 1ООО О О8 йб г,б 1, -У' Рис. 7.29. Экспериментальное определение дисперсиониой зависимости для плазменных волн в плоской геометрии. (Из работы: 1эег(1ег Н., 81тоиеп Т., .1. Арр!. Рйуз., 38, 5018 (1967). ) ния условия. Эти сомнения разрешил проведенный в 1965 г. эксперимент Малмберга и Вартана.
Для возбуждения и детектирования плазменных волн в столбе бесстолкновительной плазмы в этом эксперименте использовались электростатические зонды. С помощью интерферометрии были получены зависимости фаз и амплитуд волн от расстояния между зондами. На рис. 7.27 показана запись волны, затухающей в пространстве. Поскольку в эксперименте величина оз вещественна, а л комплексна, полученный нами результат в виде выражения (7.70) нельзя сравнить с экспериментальными данными.
Вместо этого мы должны вычислить отношение )т (гс)Яе (й) при вещественных со. Это отношение содержит также множитель ехр ( — ое7о„„,), который пропорционален числу резонансных частиц в максвелловском распределении. Следовательно, логарифм отношения 1тп (й)!Гсе(й) должен быть пропорционален (ое/о, )'. Из рис. 7.28 мы видим, что экспериментальные и теоретические результаты согласуются друг с другом.
Аналогичный эксперимент в плоской геометрии выполнили Дерфлер и Симонен; этот эксперимент позволил сравнить измеренные 7.8. Экспериментальная проверка 283 значения Ке (ш) с выражением (7.64). На рис. 7.29 представлены результаты измерений для !се (л) и (ш (й), полученные этими авторами при различных частотах. Штриховая кривая построена в соответствии с выражением (7.64) и является той же самой, что и на рис.
4.5. Отклонение экспериментальных точек от штриховой кривой обусловлено тем, что в разложении (7.59) мы не учитывали члены более высокого порядка. Однако построенная в соответствии с выражением (7.54) теоретическая кривая хорошо согласуется с экспериментальными данными. Задачи 7.!. В плазме с л=-10»г м» и КТ,=!ОэВ возбуждаются плазменные волны, Вычислите приближенно декремент затухания Ландау ! 1ш (ы)ыр) 5 если А =-- 10«м 7.2.
В плазме с п = 1О»» ч — а и КТ, =-!О эВ возбуждается электронная плазменная волна с длиной волны 1 см. Затем источник возбуждения отключается и волна затухает бесстолкновительным образом (затухание Ландау). Через какой промежуток времени амплитуда волны уменьшится в е разу 7.3. Неограниченная однородная плазма с неподвижными ионами имеет функцию распределения электронов, составленную из !) максвелловского распределения собственно «плазменных» электронов с плотностью лр и температурой Тр, находящегося в покое в лабораторной системе, и 2) максвелловского распределения электронов «пучка» с плотностью лэ и температурой Ть, имеющего центр при ч = )гх (рис.
37.3). Если плотность ль бесконечно мала, то колебания вдоль оси х затухают. Если же плотность лэ велика, то возникает двухпотоковая неустойчивость. Критическое значение лэ, при котором устанавливается неустойчивость, можно найти, полагая наклон общей функции распределения равным нулю. Для того чтобы ограничиться простыми выкладками, предлагается получить приблнжениый ответ следующим образом: а) запишите выражения для 1р(о) и 1ь(о), используя следующие сокращенные обозначения: о = ох, а» = 2КТр(т, Ь» = 2КТь~т; б) предположите, что фазовая скорость оф равна аначени«о скорости о, при котором 1ь (о) имеет наибольший положительный наклон.
Найдите оф и 1ь (сф) в) вычислите 1р(оф) и положите 1 (оф) (-1ь(оф) =0; Рис. 37.3. Невозмущенные функции распределения электронов плазмы 1р (ох) и пучка 1ь (ох) при рассмотрении взаимодействия плазмы с пучком. 254 Гл. 7. Кинетическая теория г) покажите, что в случае р»Ь критвческая плотность пучка приближенно записывается в виде (л,)п ) = (2е)иэ (Ть(Тр) ((гуа) ехр ( — Чз(аз). 7.4. Предположите, что в некоторой модели теплой плазмы ионная и электронная функции распределения даются соответственно выражениями 1еа(о) = (ле1 ) (" + е) 1зе( ) = (лг1 ) ( +лю) а) Используя уравнение Власова, получите точное днсперсионное уравнение для электростатических возмущений. б) Получите приближенное выражение для дисперсионного уравнения при ы < ()р, При каких условиях волны слабо затухают? дайте физвческое объяснение, почему ы лз Яр в случае очень больших й.
7.5. Рассмотрите незамагниченную плазму с нейтрализующим неподвижным фоном ионов. Одномерная функция распределения электронов имеет вид 1ег(о) = — Ыэ(о)+ Ьо(о) где йз (о) = л (а,(и) (о + аг), Ьэ (о) = льб (о — оо) ла = лр+ лэ и ль б лгд а) выведите дисперсионнае уравнение для высокочастотных электростатических возмущений; б) в пределе ы/Ь « а, покажите, что существует решение, в котором 1ш (ы) ) О (т. с, возмущения нарастают), 7.6. Имеется одномерная функция распределения 1(о) = А, (о(<.
оль 1(о) = О, ) о ( ) о„,. а) Найдите выражение для постоянной А через плотность плазмы лз. б) С помощью уравнений Власова и Пуассона попробуйте получать интег- ральное выражение для электростатических электронных плазменных волн. в) Вычислите интеграл н получите днсперсиониую зависимость ы (Ь) с точ- ностью до членов третьего порядка относительно малой величины Ьомйэ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
