Учебник - Введение в физику плазмы - Чен Ф. (1239320), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Вспоминая, что о на самом деле есть о„мы можем записать (7.60) 1 г 1 — то~ = — КТ„ 2 2 (7.61) при условии что рассматривается только одна степень свободы. При этом дисперсионное уравнение (7.58) принимает вид 1 о 1+3 (7.62) мг ЗКТ, + о айг и' lл (7.63) Если тепловая поправка мала, то во втором члене еаг можно замет нить на ото, и мы имеем (7. 64) Это соотношение совпадает с дисперсионным уравнением (4.30), полученным из гидродинамических уравнений при у = — 3. Теперь вернемся к мнимому члену в соотношении (7.56).
При вычислении этого члева можно с достаточной точностью пренебречь г тепловой поправкой к вещественной части еа и положить етг ж его. Из соотношений (7.57) и (7.60) мы видим, что главная часть интеграла в (7.56) приблизительно равна йг,'огг. Дисперсионное уравнение (7.56) при этом принимает вид мг г (7.65) ща /Р до ги=оф 1 и о ~~" = ет-'. (7.66) Считая мнимые члены малыми, их можно перенести в правую часть и взять квадратный корень, используя разложение в ряд Тейлора. 75, физический смысл затухания Ландау В результате мы имеем следующее дисперсионное уравнение; (7.67) Если /е — одномерное максвелловское распределение, то можно написать — "' -'"'--""( " )'"'(- " )- — — ехр(— (7.68) "т' я тепл те ил l Здесь можно заменить приближенно пф на аз /й, но в экспоненте необходимо учесть тепловую поправку, включенную в (7.64). При этом затухание определяется выражениями я ы 2 се 1 / з Ю / 2 ! пт (ат) — — —— п ехр(х— 2 з т — з 2,2 й 'т~ н "тепл С тепл — -"(')-(- ')-(-') (7.69) ( ")= — е,ттт~,( " ) р( ).
(7.70) 7.5. Физический смысл затухания Ландау Теоретическое открытие затухания волн в отсутствие столкновнтельной днссипации энергии явилось, возможно, наиболее выдающимся результатом исследований в области физики плазмы. То, что этот эффект вполне реален, было продемонстрировано лабораторными исследованиями. Хотя в настоящее время имеется простое физическое объяснение затухания Ландау, этот неожиданный эффект был первоначально обнаружен чисто математически, а именно в результате анализа контурного интеграла, что явилось подлинным триумфом прикладной математики.
Затухание Ландау харак- Поскольку 1пт (сз) отрицательна, существует бесстолкновительное затухание плазменных волн; оно называется затуханием Ландау. Из уравнения (7.70) очевидно, что при малых Мо затухание чрезвычайно мало, но при Ыо = 0(1) оно становится существенным. Этот эффект связан с /т, т.
е. с возмущением функции распределения, вызываемым волной. Гл. 7. Кинетическая теория Частица полупоетп энергию Волна получает энергию Рис. 7.!7. Физичесная модель, иллюстрирующая затухание Ландау. терно для бесстолкновительной плазмы, но оно имеет приложение и в других областях. Например, при кинетическом рассмотрении образования галактик звезды можно считать как бы атомами плазмы, взаимодействующими через гравитационные силы, а ие посредством электромагнитных сил.
Неустойчивости в газе звезд могут вызвать образование спиральных рукавов галактик, но этот процесс лимитируется затуханием Ландау. Чтобы понять, чем обусловлено затухание Ландау, заметим сначала, что 1ш (со) определяется полюсом при о =- пф. Следовательно, эффект вызван теми частицами, которые имеют скорости, почти равные фазовой скорости волны, т. е. «резонансными частицами». Эти частицы движутся вместе с волной и не видят быстро флуктуирующего электрического поля; следовательно, они могут эффективно обмениваться энергией с волной.
Простейший способ понять этот обмен энергией — это представить спортсмена, занимающегося серфингом, который пытается оседлать океанскую волну (рис. 7.17). (Предупреждаем, что эта картина служит лишь для того, чтобы направить наши мысли в нужную сторону; правильного объяснения уравнения (7.70) она не дает. ) Если доска стоит на месте, то при прохождении волны она только болтается вверхвниз и в среднем не приобретает никакой энергии. Аналогично доска, движущаяся много быстрее волны, не может получить сколько-нибудь заметную энергию от волны. Однако если доска имеет почти ту же скорость, что и волна, она может быть подхвачена и унесена волной; именно это и есть главная цель спортсмена. В этом случае доска приобретает энергию и, следовательно, волна должна терять энергию и затухать.
С другой стороны, если бы доска двигалась чуточку быстрее волны, она подталкивала бы волну, взбираясь на нее; тогда волна приобретала бы энергию. В плазме одни электроны движутся быстрее, другие медленнее, чем волна. Однако если распределение максвелловское, то медленных электро- 7.5. Физический смысл затухания Ландау 237 Рис. 7.18. Искажение максвеллов- ского распределения в окрестности о оф, вызванное затуханием Ландау.
Рис. 7.!9. Двугорбое распределение и область, в которой будет развиваться неустойчивость. нов больше, чем быстрых (рис. 7.18). Следовательно, большее число частиц отбирает энергию от волны, чем отдает ей, и волна затухает. Как только частицы с о = пф захватятся волной, распределение 7 (о) становится плоским вблизи фазовой скорости.
Это искажение есть не что иное, как возмущение 7г (о), которое мы вычислили. Как видно на рис. 7.18, возмущенная функция распределения содержит то же число частиц, но их общая энергия стала больше (за счет энергии волны). Исходя из проведенного обсуждения, можно прийти к заключению, что если 7а (гг) содержит больше быстрых частиц, чем медленных, то возможна генерация волны. Действительно, из соотношения (7.67) очевидно, что 1т (га) положительна, если положительна пРоизвоДнаЯ д7з!ди пРи и = пф.
ТакаЯ фУнкциЯ РаспРеДеления показана на рис. 7.19. Волны с пф в области положительного гРаДиента фУнкции 7а становЯтсЯ неУстойчивыми, посколькУ они получили энергию за счет частиц. Этот процесс аналогичен двухпотоковой неустойчивости, но только при наличии конечной температуры.
Если рассматривать два холодных (КТ = 0) электронных потока в движении, то 7о (и) будет состоять из двух б-функций. В этом случае мы имеем неустойчивость, поскольку величина д1"з'дп ЯвлЯетсЯ бесконечной; в самом деле, гидРодннамическаЯ теория в этом случае предсказывает неустойчивость. Если потоки имеют конечную температуру, то, согласно кинетической теории, относительные плотности и температуры двух потоков должны быть такими, чтобы между ними имелась область положительной величины д7з/до; точнее говоря, в случае неустойчивости полная функция распределения должна иметь минимум.
Физическая модель, в которой рассматривается спортсмен, пытающийся оседлать волну, очень привлекательна, но она недостаточно точна, чтобы дать нам действительное понимание затухания Ландау. Фактически существуют два вида затухания Ландау; линейное и нелинейное. Оба этих затухания не зависят от механизмов столкновительной диссоциации. Если частица оказывается 238 Гл. 7. Кинетическая теория пойманной в потенциальной яме волны, то это явление называется «захватом».
Как и в примере с серфингом, захваченные частицы могут приобретать или терять энергию. Однако сам процесс захвата нельзя описать с помощью линейной теории. То, что это так, можно увидеть из уравнения движения т дех1й(е =-. с)Е (х). (7.71) Если вычислять Е (х), подставляя точное значение х, то уравнение будет нелинейным, поскольку Е (х) ведет себя примерно как з1п йх.
В линейной теории х представляет собой невозмущенную орбиту, т. е. х = х„ + о,1. При этом уравнение (7.71) является линейным. Однако приближение становится несправедливым, когда частица захватывается. Когда частица встречает потенциальный горб, достаточно высокий, чтобы отразить ее, то на ее скорость и положение оказывает сильное влияние волна, так что эти величины значительно отличаются от их невозмущенных значений. В гидродинамической теории уравнение движения имеет вид и) — +(ч Ч) ч] =-дЕ(х). 1. д~ Здесь Е (х) должно быть вычислено в лабораторной системе координат, что нетрудно выполнить; однако здесь имеется член (ч Ч) и. Пггнебргжгниг членом (и, Ч) и, в линейной теории означает то жг, что и использование невозмущенных орбит.
В кинетической теории нглингйный чигн, который нг учитывается в уравнении 17.45), имггт вид 9, ой до (7. 73) Если частицы захватываются, то направление их движения относитгльно волны становится обратным, так что функция распределения 1(о) сильно искажагтся вблизи о = от1л. Это означает, что д7',1дг .становится сравнимым с д7а1дг и величиной (7.73) нельзя пренебрегать. Следовательно, в рамках линейной теории захват описать нельзя. Когда волна нарастает до большой амплитуды, происходит ее бгсстолкновительное затухание, связанное с захватом. При этом волна не затухает монотонно; наоборот, ее амплитуда флуктуирует в процессе затухания, в то время как захваченные частицы скачут взад-вперед в потенциальных ямах.
Это и есть нелинейное затухание Ландау. Поскольку результирующее соотношение (7.67) выведено из линейной теории, оно должно быть связано с другим физическим механизмом. В связи с этим возникает вопрос: могут ли незахваченные электроны, движущиеся со скоростью, близкой к фазовой скорости волны, обмениваться с ней энергией? Прежде чем ответить на этот вопрос, рассмотрим энергию таких электронов.
239 7Ь. Физический смысл затухания Ландау 7.5.1. Кинетическая энергия пучка электронов Мы можем представить распределение электронов 7е (о) в виде большого числа моноэнергетических пучков (рис. 7.20). Рассмотрим один из таких пучков: пусть он имеет невозмущенную скорость и и плотность и„. Скорость и может быть близка к ое, так что этот пучок может состоять из резонансных электронов. Введем теперь плазменные колебания Е (х, 7) и рассмотрим кинетическую энергию пучка по мере того, как он проходит через гребни и ямы потенциала волны. Волна определяется самосогласованным движением сразу всех пучков.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
