Учебник - Введение в физику плазмы - Чен Ф. (1239320), страница 41
Текст из файла (страница 41)
В действительности всякая плазма имеет конечную температуру, и при ее анализе в рамках кинетической теории нужно учитывать тепловые эффекты. При этом оказывается, что для скоростей ов ( о„„имеет место явление, которое называется затуханием Ландау (см.
гл. 7), и если оа становится слишком малой, то из кинетического рассмотрения следует, что неустойчивости не будет. Из физических соображений такую неустойчивость (ее называют бунемановской неустойчивостью) можно объяснить следующим образом. Собственные частоты колебаний электронной и ионной жидкостей равны соответственно ьз и ьг =- (пт!М)их аз,.
При некотором значении лое из-за доплеровского сдвига, вызванного движением электронной жидкости, в лабораторной системе отсчета эти две частоты могут совпасть. При этом в плазме возникнет волна потенциала, связанного с флуктуациями плотности ионов и электронов уравнением Пуассона. Пожно показать, что электронные колебания в этом случае обладают отрицательной энергией, т.
е. полная кинетическая энергия электронов при наличии волны меньше, чем в том случае, когда волна отсутствует. Действительно, в невозмущенном потоке электронов плотность кинетической энергии равна (1)2) птпаоо. Если же в плазме имеются колебания, то плотность кинетической энергии будет равна (1)2) т (па + Гл. 6. Равновесие и устойчивость 208 + и„) (со + п,)з. После усреднения этого выражения по пространственным координатам его значение оказывается меньше (1/2) тпцпц~, поскольку из уравнения непрерывности следует, что и, и о, определенным образом связаны между собой. Следовательно, электронные колебания обладают запасом отрицательной энергии, а ионные волны — положительной энергией, так что оба типа волн могут раскачиваться одновременно, причем полная энергия системы будет при этом сохраняться.
Подобная неустойчивость используется для генерации СВЧ-колебаний в клистронах. Модуляция скорости в поле волны Е, заставляет электроны группироваться в сгустки. Проходя через резонатор, эти сгустки могут возбудить его собственные моды и, таким образом, вызвать генерацию энергии в СВЧ-диапазоне. Задачи 6.6.
а) Выведите дисперсионное уравнение для двухпотоковой неустойчивости, возникающей в том случае, когда два холодных электронных потока плотностью (1/2) пц каждый движутся в противоположных направлениях с равиымн скоростямн чц на фоне неподвижных ионов. б) Вычислите максимальный инкремент неустойчивости. 6.7. Протонная компонента плазмы состоит из двух однородных потоков, скорости которых равны + оцх и — оцх, а плотности — соответственно (2!3) лц и (!/3) лц, Нейтрализующая заряд протонов электронная жидкость имеет плотность лц и оц, = О. Обе компоненты холодные, магнитное поле в плазме отсутствует.
Выведите дисперсионное уравнение для потоковых неустойчивостей а такой системе. 6.8. В покоящуюся плазму плотностью лц падает пучок холодных электронов плотностью лцб (б — числовой параметр), движущийся со скоростью и. а) Выведите дисперсионное уравнение для возникающей в такой системе высокочастотной плазменно-пучковой неустойчивости. б) Максимальный инкремент неустойчивости ую в общем случае вычислить трудно, однако если б « 1, то по аналогии с бунемановской электрон-ионной неустойчивостью можно сделать приближенную оценку этой величины.
Воспользовавшись приведенной без доказательства формулой (6.35), выразите уцц через б. 6.9. Пусть в магнитном поле Вцх на фоне нейтрализующей холодной электронной жидкости имеются два потока ионов плотностью (1/2) пц каждый, один из которых движется со скоростью+ оцу, а другой — со скоростью — ецУ. Поле Вц достаточно велико дла того, чтобы УДеРживать электРоны (считается, что они совершают только одномерное движение), но не влияет на траектории ионов.
а) Считая, что частоты электростатических волн, распространяющихся в иаз э правлениях ос у, лежат в диапазоне Й, « ю < ю~„выведите для этих волн следующее дисперсионное уравнение: ()~ ()~ ю Р 1 Р Р 2 (ы йво) 2 (ы Ч- йоц) б) Получите закон дисперсии ы (й), а также инкречеит т (й) и выясните, в ка- ком диапазоне частот возбуждаются неустойчивые колебания.
209 6.7. Гравитационная неустойчивость б.7. Гравитационная неустойчивость Вследствие того что с точки зрения удержания плазмы магнитное поле действует как легкая жидкость, удерживающая тяжелую плазму, в ней может возникнуть неустойчивость Релея — Тейлора. В случае искривленных силовых линий магнитного поля роль эквивалентной силы тяжести играет центробежная сила, обусловленная движением частиц вдоль этих силовых линий. В качестве простейшего примера такой неустойчивости рассмотрим поведение границы плазмы, лежащей в плоскости уг (рис. 6.10). Пусть градиент плотности Чпа ориентирован в направлении — х, а поле силы тяжести д — по х. Для простоты будем считать, что КТ~ = КТ, .= О и рассмотрим случай малых р, когда магнитное поле однородно.
В стационарном состоянии уравнение движения ионов принимает вид Мпе(ио'Ч) Уа =елоче Х Во+Мнвк. (6.36) Ча /7лаглта О В ЛО Вамуум Рис. 6.10. Гравитационная неустойчивость поверхности плазмы. Если И = сопз(, то ие тоже постоянна, и потому член (ча Ч) уо обращается в нуль.
Умножив векторно уравнение (6.36) на В,, получим (как и в равд. 2.2) ие — — (М!еВа) д х В, = — (д((2,) у. (6.37) Электроны движутся в противоположном направлении; скорость этого движения в пределе т/М вЂ” е О пренебрежимо мала. Поскольку КТ = О, диамагнитный дрейф в плазме отсутствует; нет и Е, Х Ведрейфа, поскольку Еа = О. Если под действием случайной тепловой флуктуации на поверхности раздела возникнет рябь, то из-за того, что слой движется со скоростью и„ это возмущение будет нарастать (рис. 6.11). Физическая причина неустойчивости следующая. Дрейф ионов приводит к появлению зарядов на склонах изогнутой поверхности раздела.
Возникает электрическое поле, которое имеет неоднородный характер; если двигаться вдоль поверхности раздела, то при каждом переходе от горба к впадине электрическое поле меняет знак. Как видно из рис. 6.11, на тех участках, на которых поверхность сместилась вверх, скорость Е, х В,-дрейфа тоже направлена вверх, а на участках, сместившихся вниз, она всегда направлена рло Гл. 6. Равновесие и устойчивость Е,уВ Рис. 6.11. Физический механизм гравитационной неустойчивости.
вниз, поэтому в результате Е, х В,-дрейфа начальное возмущение будет расти. Чтобы найти инкремент неустойчивости, нужно, как обычно, рассмотреть уравнения движения в линейном приближении, считая, что волны распространяются вдоль оси у: (с = йу. Уравнение движения ионов с учетом поправок, связанных с волной, имеет вид М (по-1- пг) Ид)д!) (чо+ чз) тн(чо+ чт) Ч (чо+ чз)1=- е (по+ пз) Х х [Е + (чо+ чз) х Во1+ М (по+ пт) й. (6.38) Умножим уравнение (6.36) на 1 + (пзlпо).
В результате мы получим следующее соотношение: М(по+пг)(чо Ч) чо — — е(по+по) »ох ВотМ(по+по) я. (6,39) Вычитая это равенство из уравнения (6.38) и пренебрегая членами второго порядка, имеем МпМдчз[д!)+(ч, Ч) чт) ==еп,(Е,+ ч, х В,). (6.40) Заметим, что д в конечный результат не входит. Информация об этой величине, однако, содержится в выражении для чо. Рассматривая возмущения, пропорциональные ехр [! (йу — езг) 1, можно записать следующее уравнение: М (нз — йо,)»,= !е(В~+ чу х Во). (6.41) Оно аналогично уравнению (4.96), за исключением того что величина оз заменена в нем на оз — йоо и все величины относятся теперь не к электронам, а к ионам.
Следовательно, решение уравнения (6А1) дается выражением (4.98), в котором сделаны соответствующие изменения. Если Е, = О, а ь), Э (оз — йоо) ° (6.42) то решение имеет вид "гу = Еу!Во, гпу — — ! (Еу/Во) (го — Ьоо)12' (6.43) 6.7. Гравитационная неустойчивость 211 ди!д!+Ч.(почв)-;-(чо Ч) и, +пЧ чо+(ч, Ч) и,+ поЧ ч,+ + Ч. (п,чь) =. О, (6.45) Член нулевого порядка Ч.(п,ч,) обращается в нуль, поскольку вектоР ч, пеРпенДикУлЯРен Чп;! пРи постоЯнном чо обРаЩаетса в нуль также слагаемое п,Ч ч„. Следовательно, уравнение первого порядка теории возмущений можно записать в виде — ! соп, + ! й оп, + о;„по + 1)тпоосу ==- О. (6.
46) где ло — — дпо!дх. Уравнение непрерывности для электронов проще, поскольку ото о у Π— ! сои, + о,„ло =- О. (6. 47) Заметим, что здесь мы воспользовались плазменным приближением и положили л;, .= п„. Это можно сделать только в том случае, если неустойчивые волны имеют низкие частоты (что можно подтвердить а розуег1ог1). Из уравнений (6.43) и (6.46) получаем (со — йоо) по + ! (ЕуУВо) по+ ! Ьго (Еу(Во)(со — Мо)1 йс — — О, (6.48) а из уравнений (6.44) и (6.47)— соп,+ !(Е„/В,) по= О, Е„1В =-! соп,'пр (6.49) Подставляя последнее выражение в уравнение (6.48), имеем (оу — йоо) л,— !по+ ила (м — йоо) Я] (сои!по) = — О, со — йоо — ~ )+ Яло<й) (са — йоо)1ло1 оа =- О, (6.50) со (от йоо) = — оо()тпоупо. (6.5!) Заменяя в последнем равенстве величину о, ее значением из формулы (6.37), получаем квадратное уравнение для частоты оп со — лаоса — К (по1по) = О Его решения имеют вид 1 1 1 2 2 со — 1~он .+ )с оо+ я (по~ по) 2 (6.52) (6.53) Последнее выражение представляет собой скорость поляризационного дрейфа в системе отсчета, движущейся вместе с ионами.
Соответствующая величина для электронов в пределе поМ -а- О пренебрежимо мала. Следовательно, у электронов оса Еу!Во ооу —— — О. (6.44) В первом приближении теории возмущений уравнение непрерывности для ионов имеет вид Гл. 6. Равновесие и устойчивость .-1 / / 'У Рис. 6.13. Лрейфовая неустойчивость в плазме цилиндрической конфигурации, Область, заключенная в прямоугольнике, изображена в увеличенном виде на рис. 6.14. Рис.
6.12. Желобковая неустойчивость. Неустойчивость существует в том случае, если оз комплексна, т, е. если — його!па) йЪа~ (6.54) 4 у=-1гп(оз) = [ — д(па/по)[ 1', (6.55) а вещественная часть частоты оз равна (112) йо„. Поскольку о„— это скорость ионов, колебания являются низкочастотными, как и предполагалось первоначально. Подобную неустойчивость колебаний границы плазмы с (с ( В, иногда называют желобковой, потому что в плазменном цилиндре, когда все силы направлены по радиусу, эти волны распространяются в направлении О, а поверхности постоянной плотности напоминают рифленые греческие колонны (рис. 6.12). Отсюда видно, что для реализации неустойчивости нужно, чтобы д и п,)по имели разные знаки. Это требование эквивалентно тому, что тяжелая жидкость должна лежать на легкой; в противном случае частота оз оказывается вещественной и плазма является устойчивой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
