Учебник - Введение в физику плазмы - Чен Ф. (1239320), страница 38
Текст из файла (страница 38)
а) Покажите, что шз/ЛЯ = стао Ивет/ре) — 1 ют(1. б) Выпишите явное выражение для 1гп (й) в случае вещественных ш в пре- деле малых ть 5.!8. Плазменный цилиндр размывается под действием бомовской диффузии. Рассчитайте радиальное распределение плотности л (г), пренебрегая тем фактом, что оно может быть неустойчивым. Для этого предположите, что при г =- со плотность и = О, а при г = гз она равна ар. 5.19. В цилиндрическом столбе плазмы, помещенном в однородное магнитное поле В = Вхв, течет постоянный ток плотностью ) .= )зх, где х — единичный вектор, параллельный оси цилиндра. а) Рассчитайте распределение магнитного поля В (г), создаваемое этим током. б) Выразите скорость градиентного дрейфа заряженной частицы с о,( — — 0 чеРез величины Вю )„г, о, д и т.
Можно пРедположить, что напРЯженность поля, рассчитанная в п. а данной задачи, мала по сравневию с В„но ве равна нулю. в) Если сопротивление плазмы отлично от нуля, то в ней должно также сушествовать элеитрическое поле Е = Е,х. Вычислите скорость азимутального дрейфа электронов, вызванного наличием этого поля, учитывая, что силовые линии магнитного поля В представляют собой спирали. г) Нарисуйте диаграмму направлений скоростей дрейфов ионов и электронов, вычисленных в пп. б и в данной задачи, в плоскости гО.
Глава 6 РАВНОВЕСИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ 6.1. Введение Если бы поведение плазмы определялось лишь движениями составляющих ее отдельных частиц, то создать магнитное поле для удержания плазмы было бы довольно просто. Для этого нужно только убедиться, что его силовые линии не упираются в стенки вакуумной камеры, и обеспечить такую степень симметрии установки, чтобы все скорости дрейфовых движений частиц (чю чэв и т. п.) были направлены параллельно стенкам. Однако с макроскопнческой точки зрения не очевидно, что магнитное поле, созданное таким образом, чтобы удерживать отдельные частицы, будет удерживать плазму как целое.
Дело в том, что независимо от конфигурации внешних полей в плазме могут возникать внутренние поля, которые также будут влиять на ее движение. В частности, из-за группирования частиц в сгустки в плазме может возникнуть электрическое поле Е, которое вызовет Е х В-дрейф частиц к стенкам установки. Токи, текущие в плазме, могут генерировать магнитное поле, которое приведет к выносу частиц из-за градиентного дрейфа. Проблему удержания плазмы можно произвольным образом разделить на две, а именно на задачу о равновесии и задачу об устойчивости. Разницу между равновесием и устойчивостью лучше всего проиллюстрировать с помощью механической аналогии. На рис. 6.1 показаны различные случаи равновесия шарика на твердой поверхности. Равновесие представляет собой состояние, когда все действующие на систему силы взаимно компенсируют друг друга и возможно не зависящее от времени решение уравнений движения.
Равновесие является устойчивым или неустойчивым в зависимости от того, затухают или нарастают в системе малые возмущения. В частности, на рис. 6.1 в состоянии Е шарик находится в положении устойчивого равновесия (если только его не отклонять из этого положения слишком сильно). Если же сдвинуть шарик за показанный на рисунке порог, то система становится неустойчивой. Такое поведение называется взрывной неустойчивостью.
В случае Ж равновесие шарика неустойчиво, но он не может сильно отклоняться от положения равновесия. Такая неустойчивость не 195 6.1. Введение условное равновесие Безразличное равновесие Равновесие отсутствует Леустой чиеое равновесие устойчивое равновесие Равковесие, неусгпойчивое в линеикам прийпижении, но устойчивое в нелинейном режее Ф'7е Равновесие, устой . ивсе в линейном приоличсении, но неустойчивое е нелинеином режиме Рис.
6.1. Механическая аналогия различных типов равновесия. очень опасна, если нелинейная амплитуда колебаний достаточно мала. В случае плазмы ситуация, естественно, гораздо сложнее показанной на рис. 6.1, поскольку для достижения полного равновесия плазмы нужно, чтобы уравновешивались силы, действующие иа каждый элемент ее объема. Из двух проблем — равновесия и устойчивости — легче решать последнюю.
Для этого можно считать отклонения от состояния равновесия малыми и провести линеаризацию уравнений движения. При этом, как и в случае анализа волн в плазме, мы придем к линейным уравнениям. Проблема равновесия, напротив, сводится к нелинейной задаче, похожей на задачу о диффузии. При наличии магнитных полей сложной конфигурации исследование равновесия представляет собой весьма непростую задачу.
!96 Гл. 6. Равновесие и устойчивость 6.2. Равновесие в МГД-приближении Хотя в целом проблема исследования равновесия достаточно сложна, некоторые полезные с физической точки зрения сведения можно довольно просто получить из МГД-уравнений. Пусть ускорение свободного падения д = О, тогда в стационарном случае, д!д! = О плазма должна описываться уравнением (ср. с (5.86)) чр=! х В (6.1) р сопя! Рис. 6.3. Векторы ! и В лежат на поверхностях постоянного давления.
Рис. 6.2. В стационарном состоянии сила Лоренца ! Х В, связанная с диамагнитным током, равна градиенту давления плазмы. и уравнением Максвелла ЧХВ=ре! (6.2) Некоторые выводы о характере равновесия можно сделать уже на основе простого уравнения (6.!). !. Из этого уравнения видно, что имеется равновесие сил между градиентом давления и силой Лоренца.
Как это обеспечивается? Рассмотрим плазменный цилиндр, в котором градиент давления Чр направлен к оси цилиндра (рис. 6.2). Для того чтобы противодействовать силе давления, направленной к внешней границе плазмы, в ней должен существовать ток, текущий в азимутальном направлении, как показано на рисунке. Плотность тока, необходимого для уравновешивания давления плазмы, можно найти, если умножить векторно уравнение (6.1) на В: !.
=(В х Чр)~Вз= (КТ~+ КТ ) (В х Чп)?Вз. (6 3) Это выражение в точности совпадает с полученной ранее формулой (3.69) для диамагнитного тока! Таким образом, с точки зрения теории движения отдельных частиц диамагнитный ток возникает из-за того, что при наличии градиента плотности средние скорости частиц, совершающих ларморовское вращение, не обращаются !97 6.3. Полячке а величине р в нуль.
С точки зрения магнитогидродинамики диамагнитиый ток генерируется потому, что поперек магнитного поля В действует сила, связанная с градиентом давления чр, Возникающий при этом ток достаточен для того, чтобы уравновесить силы, действующие на каждый элемент обьема плазмы, и таким образом остановить ее движение. 2. Из уравнения 6.! очевидно, что в равновесии и вектор 1, и вектор В перпендикулярны чр. Это не тривиальное утверждение, если учесть, что конфигурация системы может быть очень сложной. Представим себе плазменный тор, в котором существует плавный радиальный градиент плотности, так что поверхности постоянной плотности (на самом деле — постоянного давления) представляют собой вложенные друг в друга торы (рис.
6.3). Поскольку векторы 1 и В перпендикулярны Чр, они должны лежать на поверхностях постоянных р (изобарических поверхностях). Вообще говоря, силовые линии магнитного поля и ток могут быть закручены как угодно, но все равно в состоянии равновесия они не должны пересекать поверхности постоянных р. 3. Рассмотрим проекцию уравнения (6.!) на направление В. Ее можно записать в виде др!дз = О, (6.4) где з — координата, отсчитываемая вдоль силовой линии. Отсюда следует, что при КТ = сопя! в состоянии равновесия плотность плазмы вдоль каждой силовой линии должна быть постоянна.
На первый взгляд этот вывод может показаться ошибочным. В самом деле, рассмотрим стационарный поток плазмы, который инжектируется в область между двумя магнитными пробками (рис. 6.4). При движении плазмы вдоль силовых линий она сначала расширяется, а затем сжимается, поэтому ясно, что плотность на силовой линии не является константой.
Однако парадокса здесь нет. Все дело в том, что в этой ситуации в системе нет статического равновесия. Производная дч~дг действительно равна нулю, но член (ч Ч) ч, которым мы пренебрегли, в нуль не обращается. Мы же должны рассматривать неподвижную плазму, в которой о = О. Если плазма покоится, то частицы оказываются запертыми в ловушке, причем болыпинство из них группируется в центральной плоскости системы, а не у ее краев, поскольку у торцов пробочное отношение больше. Этот эффект компенсирует уширение ловушки в ее центральной части, и в результате плотность вдоль силовой линии магнитного поля оказывается постоянной.
6.3. Понятие о величине () Подставляя выражение для тока ! из (6.2) в уравнение (6.1), получаем ЧР= и (ЧХ В) Х В= )ее ~ [(В Ч)  — — ЧВв (6 б) 2 Гл. 6. Равновесие и устойчивость 198 Рис. 6.5. В плазме с 6 т- 0 диамагнитный ток уменьшает магнитное поле таким образом, что сумма давления частиц и давления магнитного поля со- Рис. 6.4. Расширение потока плазмы при его инжекции в пробкотрон.
До сих пор, не оговаривая этого, мы рассматривали плазму только с малыми р, когда величина (4 заключена в диапазоне 1О ' — 1О Следовательно, в рассматриваемых нами случаях диамагнитный эффект был очень мал. Именно поэтому при анализе волн в плазме мы могли считать поле В„однородным. При малых Р все равно, вычислять ли знаменатель в выражении (6.8) для случая магнит- или храняется постоянной. ! — обзу [р+(Вз)2ре)) =(В гу) В1ре. пасть слабого магнитного поля В и высокого давления р, 2— (6 6) область сильного поля В и низкого давления р. Во многих интересных для практики конфигурациях плазмы, например в виде прямого цилиндра, помещенного в магнитное поле, параллельное оси цилиндра, правая часть этого уравнения обращается в нуль, поскольку величина магнитного поля не меняется вдоль В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
