Учебник - Введение в физику плазмы - Чен Ф. (1239320), страница 36
Текст из файла (страница 36)
В-третьих, диффузия в полностью ионизованной плазме автоматически является амбиполярной (если не учитывать столкновений частиц одного сорта). В такой плазме частицы обоих сортов дрейфуют с одинаковыми скоростями, разделения зарядов не происходит, электрические поля не возникают, поэтому плазма диффундирует как единое целое с коэффициентом диффузии Р, определяемым формулой (5.99). Такое поведение плазмы является следствием закона сохранения импульса при электрон-ионных столкновениях.
Это положение станет более ясным, если проанализировать задачу о диффузии в рамках двухжидкостных уравнений (см. задачу (5.15)). Наконец, хотелось бы отметить, что в полностью ионизованном газе отсутствует поперечная подвижность. В выражении (5.96), определяющем и,, нет составляющей, зависящей от электрического поля Е и направленной вдоль него. Если приложить к однородной плазме электрическое поле Е ~ В, то ионы обоих сортов будут дрейфовать вместе со скоростью (Е Х В),'В'. Поскольку относительная скорость ионов разных сортов равна нулю, они не будут сталкиваться между собой и поэтому движения в направлении Е не будет. Разумеется, в плазме происходят столкновения, вызванные тепловым движением частиц, так что вывод об отсутствии поперечной подвижности является приближенным.
Он обусловлен тем, что при анализе задачи мы пренебрегли: а) столкновениями между частицами одного сорта, б) массой электрона по сравнению с массой иона и в) последними двумя членами в правой части выражения (5.90), представляющего собой обобщенный закон Ома. 5.9. Решения уравнения диффузии Поскольку в полностью ионизованном газе коэффициент диффузии Р не является постоянным, введем величину А, которая представляет собой константу; А = з1КТ)Вя.
(5.100) 184 Гл. 8. Диффузия и сопротивление Здесь мы предположили, что КТ и В однородны, а слабой зависимостью удельного сопротивления т! от плотности и через !п Л можно пренебречь. В таком случае при Т, = Т, имеем ,(У, = 2пА. (5. 101) Уравнение непрерывности (5.92) можно теперь записать в виде дп/д1=Ч (0,Чп)=АЧ (2пЧп) или дп/д/ = АЧ'и'. (5.102) Уравнение для и является нелинейным, и простых решений у него очень мало.
5.9./. Зависимость решений от времени Если разделить переменные, полагая, что и = Т (/) Я (г), то урав- нение (5.102) можно записать в виде (1/Т') (йТ/й!) =(А/Б) ЧвЗв = — 1/ч, (5.103) где — 1!т — константа разделения. Зависящую от пространственных координат часть этого уравнения решить трудно. Что касается его временнбй части, то она аналогична уравнению (5А1), с которым мы встречались прн анализе процесса рекомбинации в плазме, и решение Т(/) можно выписать сразу: (5.104) При больших /, как и в случае рекомбинации, плотность убывает как !//. Выражение (5.104) описывает классическую диффузию в полностью ионизованном газе.
Напомним, что в слабоионизованном газе диффузия протекает совершенно иначе: там плотность убывает со временем экспоненциально. 5.9.2. Стационарные решения Есть один случай, когда уравнение диффузии в полностью ионизованном газе можно решить довольно просто. Рассмотрим длинный столб плазмы, на оси которого расположен источник (рис.
5.19). Этот источник компенсирует потери плазмы из-за рекомбинации и диффузии в радиальном направлении и поддерживает плазму в стационарном состоянии. Вне области источника профиль плотности плазмы будет определяться тем, какой из двух механизмов †диффуз или рекомбинация — является преобладающим. Если диффузия мала, а рекомбинация велика, то плотность плазмы будет быстро уменьшаться с расстоянием от источника. В против- 5.9. Решения уравнения диффузии !8Ь ном случае ее уменьшение будет медленным.
Из уравнения непре рывности следует, что в области вне источника — А!/зиз = — аив (5.105) В г 111 ° Ее ° ° «Ф ° ° ° ° ° ° ° ° ° Е ° е ° ° ° ее ° е ° ° ° ° 11 е ° ° е ° ° ееее ее ° Рис. б.!9. Диффузия поперек магнитного поля в цилиндрическом столбе пол постыл ионизованной плазмы. ция Бесселя.
В плоской геометрии уравнение (5.105) принимает вид дзлв/дхз = (а/А) лв, (5.106) а его решение записывается следующим образом: и =леюехр~ — (а!А)"х1. Характерный масштаб убывания плотности равен (5.107) 1= (А/а)' '. (5.108) Поскольку А зависит от напряженности магнитного поля, а константа рекомбинации а сохраняется постоянной, измерение зависимости / (В) позволяет проверить справедливость классической теории диффузии. Такой эксперимент действительно пытались поставить на Я-машине в полностью ионизованной плазме. К сожалению, из-за наличия асимметричного Е х В-дрейфа в системе возникли потери еще одного типа, а именно за счет конвекции, так что однозначного вывода из эксперимента сделать не удалось. В заключение следует заметить, что существует закон подобия, справедливый для любой равновесной плазмы, поддерживаемой постоянным источником Я в однородном магнитном поле В.
В самом деле, уравнение непрерывности для этого случая имеет вид — Агу'из = — т1КТча(иа/Вз) = 1~. (5.109) Поскольку плотность и и магнитное поле В входят в это уравнение только в виде комбинации и/В, профиль плотности прн изменении Это уравнение линейно относительно и', и найти его решение нетрудно. В цилиндрической геометрии его решением является функ- 186 Гл. 8. Диффузия и сопротивление В будет оставаться неизменным, а величина плотности будет ли- нейно зависеть от В; и ° В.
(5.110) Казалось бы, в состоянии равновесия плотность и должна быть пропорциональна В', поскольку О В ', однако коэффициент диффузии 0 сам пропорционален п и потому и В. 5.10. Диффузия Бома и неоклассическая диффузия Хотя теория диффузии под действием кулоновских столкновений была разработана довольно давно, до начала 1960-х гг.
зависимость .0„В ' не удавалось подтвердить в эксперименте. В большинстве выполненных до этого экспериментов коэффициент В, оказывался пропорционален не В ', а  — ' и концентрация плазмы уменьшалась со временем не по закону И, а экспоненциальным образом. Кроме того, абсолютная ве.пичина коэффициента диффузии О была выше, чем предсказывала формула (5.99). Впервые на аномально слабое магнитное удержание обратили внимание в 1946 г. Бом, Бархоп и Месси, которые разрабатывали магнитную дугу для разделения изотопов урана. Бом предложил для коэффициента диффузии следующую полуэмпирическую формулу; О, =-КТ,!16еВ = Вв.
(5.111) Эта формула неожиданно была подтверждена в большом числе различных экспериментов. Диффузия такого типа называется бомовской диффузией. Поскольку Вв не зависит от плотности, концентрация плазмы со временем в режиме бомовской диффузии будет уменьшаться по экспоненциальному закону. В цилиндрическом столбе плазмы длиной Л и радиусом Й постоянную времени этого процесса можно оценить следующим образом: т ж ~Ч1(ЖУЯ = пийЧ.УГ,2пК(. = пВ12Г„ где М вЂ” полное число электрон-ионных пар в плазме, а Г, — радиальная компонента потока частиц.
Если Г, найти из закона Фика с бомовским коэффициентом диффузии, то окажется, что т пН20вдп~дг ж пйЦ20впУК) —.= ИЯУ2Ов — = тв. (5 112) Величину тв часто называют боиовекил временелс Возможно, самая значительная серия экспериментов, подтверждающих формулу Бома, была выполнена в Принстоне на шести установках, называемых стеллараторами. Стелларатор представляет собой тороидальный контейнер, помещенный в магнитное поле, 5.10.
Диффузия Бема и неоклассическая диффузия 187 % 3, 1,0 01 ОУ яхт 7,0 70 КТ,/В, произв. вУ. Рис. 5.20. Результаты измерений времени удержания т в зависимости от КТ,)В для различных типов разрядов на стеллараторак модели С, подтверждавшие справедливость бомовского закона диффузии. Данные нормированы к величине магнитного поля 12,3 кГс и радиусу г =- 5,0 см. (С любезного разрешения Д. Гроза пз лаборатории физики плазмы Принстонского университета. Работы выполнены при поддержке Комиссии по атомной энергии США.) силовые линии которого закручены таким образом, что в среднем градиентный и центробежный дрейфы компенсируют друг друга.
(Эти типы дрейфовых движений были рассмотрены в равд. 2.3). На рис. 5.20 приведена сводка данных, полученных за последнее десятилетие при различных видах разрядов на стеллараторах модели С. Измеренные значения т почти в точности лежат на линии, отвечающей бомовскому времени тв. Близкое соответствие наблюдаемых процессов и бомовской диффузии имеет серьезные следствия для проблемы управляемого термоядерного синтеза.
Из формулы (5.111) видно, что коэффициент бомовской диффузии с ростом температуры увеличивается. Что касается его зависимости от магнитного поля, то хотя Ов и уменьшается с В, но не так быстро, как ожидалось. Кроме того, по абсолютной величине 0в намного болыпе, чем Оа. Например, для плазмы с температурой 100 эВ, помещенной в магнитное поле 1 Тл, 1 (1Оз) (1,6 10 гэ) т)в'=— =5,25 мз/с. 16 (1,6 ! 0-аэ) (1) 188 Гл.
8. Диффузия н сопротивление Если плотность плазмы равна 10" м ', то классический коэффи- циент диффузии Т1 2 ((ГЧ (2) ((О»((а»(пе. (О- ) (З,З) (8,2. (О-» ((О) в (()' ((оо)вм =(1,06.10в)(5,2. 10 ') =:5,49 10 е мв(с. Расхождение составляет четыре порядка величины! Было предложено несколько объяснений бомовской диффузии, Первое из них связано с возможным искажением магнитного поля. Если установка, в частности термоядерный реактор, имеет сложную форму, то не очевидно, что все силовые линии магнитного поля являются замкнутыми. Они могут даже выходить из камеры, в которой находится плазма.
Поскольку длина свободного пробега может быть очень велика, то даже слабой асимметрии в магнитных обмотках будет достаточно для того, чтобы электроны без каких-бы то ни было соударений вылетели на стенки, а возникшее вследствие этого электрическое поле вытолкнуло бы на стенки и ионы. Второе объяснение связано с возможной асимметрией электрических полей. Она может быть обусловлена наличием в плазме каких-либо препятствий, асимметрией самой вакуумной камеры, наконец, тем, что плазма создается или нагревается асимметричными источниками. В этом случае скорость Е Х В-дрейфа в постоянном поле Е ие обязательно будет направлена параллельно стенкам, в результате чего на них будут одновременно выноситься и электроны и ионы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
