Учебник - Введение в физику плазмы - Чен Ф. (1239320), страница 31

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 31)

Однако в цилиндрическом слое (случай б на рисунке) при неизменном расстоянии между его стенками движение слоя в область больших г приводит к уменьшению плотности вещества в нем пропорционально 11г. Это уменьшение и описывает средний член уравнения (5.34). Отсюда, в частности, следует, что решение (5.34) должно напоминать затухающий косинус (рис. 5.6), Такая функция называется функцией Бесселя нулевого порядка, а уравнение (5.34) — уравнением Бесселя нулевого порядка. В цилиндрической геометрии в решение уравнения диффузии вместо соз всюду будет входить 1о, и точно так же, как функция соз (х)(Рт)ьа) представляет собой решение уравнения (5.26), функция /а (г/[Рт)' з) является решением уравнения (5.34).

Как соз йх, так и л'е (лг) можно представить в виде бесконечных рядов. Значения этих функций можно также найти в таблицах. К сожалению, микрокалькуляторы не содержат функций Бесселя. Для того чтобы удовлетворить граничному условию и = О при г = а, мы должны положить а/(Рт)' ' равной первому нулю функции Бесселя, т. е. 2,4. Это условие определяет постоянную времени т. Рис. 5.5. Движение плазменного слоя в плоской и цилиндрической геометрияк, иллюстрирующее разницу между косинусом и функцией Бесселя. 162 Гл. 5. Диффузия и сопротивление Рис, 5.6. Функция Бесселя нулсеого порядка. Вследствие того что временная часть уравнения диффузии (5.23) осталась неизменной, уменьшение концентрации плазмы со временем по-прежнему будет происходить по экспоненциальному закону. В этом разделе мы рассмотрели только наинизшую диффузионную моду в цилиндре. По аналогии со случаем плоской геометрии в цилиндрических системах существуют диффузионные моды и более высоких порядков, имеющие внутри пилиндра несколько максимумов.

Эти моды можно выразить через функции Бесселя более высоких порядков. 5.3. Стационарные решения Во многих экспериментах плазма поддерживается в стационарном состоянии путем непрерывной дополнительной ионизации или инжекции плазмы, которые компенсируют ее потери. Чтобы рассчитать плотность плазмы в этом случае, нужно добавить в уравнение диффузии дополнительный член, описывающий источник: дп,'д1 — Ртуеп =- Я (г). (5.35) Знак величины Я в этом уравнении выбран так, что при Я )О дополнительный член описывает именно источник, т.

е, приводит к росту концентрации со временем. В стационарном состоянии дп!дг = О, и для определения п Я) остается решить уравнение типа уравнения Пуассона. 5.3.1. сузункция постоянной ионизаиии Во многих случаях ионизация слабоионнзованных газов происходит под действием высокоэнергетических электронов из хвоста максвелловского распределения. В такой ситуации вклад от источника Я пропорционален плотности электронов и. Полагая Я = Уп, где У вЂ” так называемая функция ионизации, получаем в стационарном случае следующее уравнение: ре =.— (г)Р) . (5.36) 163 5.3.

Стационарные решения 5.5.2. Плоский источник Рассгиотрим теперь вопрос о том, каким будет профиль плазмы в случае плоской геометрии, если источник локализован в плоскости х = О. Таким источником может быть, например, коллимированный с помощью щели пучок ультрафиолетового излучения, если его интенсивность достаточно высока для того, чтобы ионизовать нейтральный газ. В этом случае стационарное уравнение диффузии принимает вид йап7йхз = — (ЯЮ) б (О)а (5.37) Всюду, кроме точки х = О, плотность плазмы должна удовлетво- рять уравнению дап7дхз = О, решение которого, очевидно, имеет вид (рис. 5.7) и=па(1 — ~к~ П.). Таким образом, по обе стороны от плоскости х = О, в которой на- ходится источник, профиль плотности плазмы линейный.

Скачок производной в точке, где находится источник, представляет собой характерную особенность источников типа б-функции. а 0 а Рис. 5.8. Логарифмический профиль плотности плазмы, возникающий при диффузии от линейного источника. Рис. 5.7. Треугольный профиль плот- ности плазмы, возникающий при диф- фузии от плоского источника.

Это уравнение аналогично соотношению (5.25) для пространственной части распределения плотности о. Следовательно, как и прн распаде плазмы, профиль плотности описывается косинусоидальным распределением или функцией Бесселя с той только разницей, что в стационарном случае плотность плазмы не меняется со временем. Несмотря на диффузионные потери, плазма находится в стационарном состоянии благодаря тому, что источник тепла поддерживает в ней постоянную температуру электронов, а малый поток нейтральных частиц заменяет те атомы, которые были ионизованы за время эксперимента.

Гл, 5. Диффузия и сопротиилеиие 5.З.З. Линейный источник В заключение этого раздела рассмотрим источник, расположенный на оси плазменного цилиндра. Таким источником может быть, например, пучок энергичных электронов, который вызывает ионизацию при своем движении вдоль оси цилиндра. Плотность плазмы всюду, кроме оси г = О, должна удовлетворять уравнению (5.39) Решение этого уравнения, обращающееся в нуль при г = а, имеет вид и= — пю1п (а!г).

(5.40) При г = 0 плотность плазмы обращается в бесконечность (рис. 5.8). Таким образом, если считать источник бесконечно тонким, то вблизи оси симметрии плотность плазмы определить нельзя. 5.4. Рекомбинации Если электрон сталкивается с ионом, то они с большой вероятностью (особенно при малых относительных скоростях) могут рекомбинировать и образовать нейтральный атом. Для того чтобы обеспечить выполнение закона сохранения импульса, в этом процессе должна участвовать третья частица. Если этой частицей является излучаемый в результате взаимодействия фотон, то процесс называется излучательной река,ибинацией. Если же это частица плазмы, то рекомбинацию называют трехчаетичной. Уменыпение плотности плазмы из-за рекомбинации можно описать, введя отрицательный источник в уравнение непрерывности.

Ясно, что этот член будет пропорционален а„п; — — )гз, н тогда в отсутствие диффузионных членов уравнение непрерывности можно записать в виде дкйд( =- — ап'. (5.41) Постоянная а называется коэффициента,и рекомбинации, она имеет размерность и"с. Уравнение (5.41) нелинейно относительно а. Поэтому его решение нельзя получить как суперпозицию частных решений, удовлетворяющих граничным и начальным условиям. К счастью, это уравнение имеет настолько простой вид, что его решение можно сразу записать в явном виде: + а1, (5.42) и (т, О п„(г) где зг„(г) — начальное распределение плотности.

Легко проверить, что такое решение действительно удовлетворяет уравнению (5.41). Как видно из формулы (5,42), после того как плотность станет б.б. Диффузия поперек магнитного поля О 1 г г г, лес Рис. 5.9, Уменьшение плотности заряженной компоненты слабоионизоиан. ного газа н результате рекомбинации и диффузии. 1из работы: агошл 3. С., Ваыс Оа1а о1 Р!аяша Рйуз1сз, Лойп йГ11еу апб Зопз, М. т'., 1959.1 существенно меньше своего начального значения, она будет убывать обратно пропориионально времени: п 1'а1. 15.43) Эта зависимость радикальным образом отличается от поведения плазмы при диффузии, когда ее плотность уменьшается со временем экспоненциально.

На рис. 5.9 показаны результаты измерений плотности плазмы после окончания разряда в слабоионизированном водороде. Когда плотность велика, ведущую роль в уменьшении концентрации играет рекомбинапия, скорость которой пропорциональна пз.

Плотность при этом обратно пропорциональна времени. При низких плотностях плазмы главную роль начинает играть диффузия и уменьшение плотности плазмы идет по экспоненциальному закону. 5.5. Диффузия поперек магнитного поля Поместив плазму в магнитное поле, можно уменьшить скорость диффузионных потерь. Именно в реализации этой задачи и состоит проблема удержания плазмы при исследованиях по управляемому термоядерному синтезу.

Рассмотрим олабоионизированную плазму, помещенную в магнитное поле 1рнс. 5.10). Оно не влияет на движение заряженных частиц вдоль В, поэтому в продольном направ- 166 Гл. 5. Диффузия и сопротивление о' ' о о В о 'о'со о о о о о о о о о о Рис. 5.10. Заряженная частица вращается вокруг одной и той же силовой линии магнитного поля до тек пор, пока не столкнется с другой частицей. Рис. 5.11. Дрейф частицы в симметричном плазменном цилиндре не приводит к потерям плазмы.

Рнс. 5.12. Диффузия вращающейся заряженной частицы под действием столкновений с нейтральными атомами. ленин частицы будут диффундировать в соответствии с уравнением (5.10). Таким образом, для каждого сорта частиц Г, = ~ рпЕ,— Р (дп/дз). (5.44) Если бы в плазме не было столкновений, то в поперечном направлении частицы вообще бы не диффундировали, поскольку онн непрерывно вращались бы вокруг одних и тех же силовых линий магнитного поля.

Характеристики

Список файлов книги