Учебник - Введение в физику плазмы - Чен Ф. (1239320), страница 35
Текст из файла (страница 35)
5.6.4. Численные значения т) Точное вычисление удельного сопротивления т1, в котором учитывается отдача ионов в каждом столкновении и выполняется усреднение по функции распределения электронов, было впервые выпол- 179 5.7. Уравнения одножидкостной магнитогидродинамнкн нено Спитцером; поэтому величину т1 часто, особенно для случая водородной плазмы, называют удельным сопротивлением Спитцера.
Полученная им формула имеет следующий вид: т111 = 5,2 10 — а21пЛ)Тат(эВ) Ом м. (5.76) Здесь х — заряд ионов, который всюду в этой книге мы считали равным единице. Поскольку в приведенном соотношении все величины слабо зависят от массы ионов М, то эту формулу можно использовать при анализе плазмы других газов. Индекс ~~ у величины т1 означает, что определяемое формулой (5.76) удельное сопротивление можно применять только для анализа движений, параллельных магнитному полю В. Для описания движения поперек В нужно пользоваться величиной т1, =2,0т111.
(5.77) Отсюда, разумеется, не следует, что продольная проводимость только в два раза выше, чем поперечная; при вычислении последней нужно еще учитывать множители типа го,'т~. Коэффициент 2,0 в формуле (5.77) возник из-за того, что при вычислении удельного сопротивления разные компоненты скорости электронов учитываются по-разному, В частности, медленные электроны, у которых ларморовские радиусы малы, дают болыпий вклад в поперечное удельное сопротивление, нежели в продольное. При КТ, = 100 эВ из формулы (5.76) получаем = 5 !О ' Ом м.
Сравним эту величину с удельными сопротивлениями различных металлов; медь т1 =- 2 1О-в Ом м нержавеющая сталь Ч= 7 19-т Ом и ртуть т1 =- 1Π— ' Ом м. Таким образом, мы видим, что проводимость плазмы, нагретой до 100 эВ, примерно такая же, как у нержавеющей стали. 5.7. Уравнения одножидкостной магнитогидродинамики Перейдем теперь к задаче о диффузии в полностью ионизованной плазме. Поскольку диссипативное слагаемое Рм содержит разность СКОРОСТЕЙ Уà — Мм ПРОЩЕ СЧИтатЬ, ЧтО НЕИЗВЕСТНЫМИ ВЕЛИЧИНаМИ в заДаче ЯвлЯютсЯ не сами скоРости У, и У„ а их Разность Уг — т„ и иметь дело с линейной комбинацией уравнений движения ионов и электронов. До сих пор мы считали, что плазма состоит из двух несмешивающихся жидкостей.
Линейная комбинация гидродннамнческих уравнений, к которой мы собираемся перейти, будет описывать плазму как одну жидкость, аналогичную жидкой ртути. Массовую плотность этой жидкости обозначим через р, а удельную проводимость — через 101. Получающиеся в результате такого шо Гл.
5. Диффузия и сопротивление перехода уравнения называются уравнениями одножидкостной магнитогидродинамики (МГД). Для квазинейтральной плазмы с однозарядными ионами массовую плотность р, массовую скорость ч и плотность тока ) можно определить следующим образом: р= — пзМ+птж п(М+т), (5.78) ч = (пзМ«;+п,тч,)~р = (Мчз+тч,)~(М+т), (5.79) )=е(п;ч; — п,ч,) пе(чз — «,). (5.80) В уравнение движения мы добавим слагаемое Мпя, отвечающее силе тяжести.
Этот член можно использовать для описания любой силы неэлектромагнитного характера, действующей на плазму. Уравнения движения ионов и электронов запишем в виде Мп (дчт,'д1) = еп (Е+ ч; Х В) — РР;+ Мпй+ Ркп (5.81) тп(дч,!дС)= — еп(Е+ч,х В) — «7Р,+тпа+Рм.
(582) Для простоты, как и прежде, мы пренебрегли тензором вязких напряжений и. Это можно сделать только в том случае, если ларморовский радиус частиц много меньше характерных масштабов, на которых меняются все параметры плазмы. Мы также пренебрегли членами (ч ч) «, поскольку в противном случае вывод уравнений очень усложняется. Последнее упрощение обосновать труднее. Не вдаваясь в длительное обсуждение, скажем просто, что ч считается настолько малой, что квадратичным членом можно пренебречь. Теперь сложим уравнения (5.81) и (5.82): и (д1д1)( М «; + тч,) = еп (ч; — ч,) х  — Чр + и (М + т) й. (5 83) В полученном уравнении через р обозначено полное давление в плазме: Р=Р~+Р' (5.84) Электрические поля и столкновительные члены Р,е и Рм — — — Рм при сложении уравнений (5.81) н (5.82) взаимно уничтожаются.
Используя соотношения (5.78) — (5.80), уравнение (5.83) можно записать в простом виде: р(дЫд1) =1 х  — Чр+рй. (5.85) Это есть уравнение одиожидкостной гидродинамики, описывающее перенос массы. В его правую часть включены выражения для снл, которые можно было ожидать из общих соображений. Электрическое поле Е в силу общей нейтральности жидкости в явном виде в уравнение не входит. Менее очевидное уравнение получается в том случае, если из уравнений для ионной и электронной жидкостей составить другую линейную комбинацию. Умиожим уравнение (5.81) на т, а урав- 8 7.
Уравнения одножидкостной иагнитогидродинаиики !8г пение (5.82) на М и вычтем их друг издруга. В результате получаем следующее уравнение: Мпт(д!д1)(чг — ч ) =-еп(М-)-т) Е+еп(тче+Мча) х  — тррг+ + Мт7ре (М + пг) Рм' (5.86) С помощью выражений (5.78), (5.80) и (5.61) это уравнение можно переписать в аиде (Мпт(е) (д1д1) ()уп) — ерŠ— (М + т) пату' — тт7ре+ Мрр, + + еп (тче+ Мч,) х В. (5.871 Последний член можно упростить следующим образом: т ч ~ -1- М ч, =- М че + тч, -'„- М (ч, — ч г) + т (ч е — ч) = = (р!и) ч — (М вЂ” гп) (17пе).
(5.88) Разделив уравненче (5.87) на ер, с учетом (5.88) получаем Е + ч х  — и) =- (1!ер) ((М пгп!е) (дпй) () !п) -~- (М вЂ” т) 1 х В + + твиде — МЧР,). (5.89) При описании медленных движений, когда эффекты, связанные с массами частиц (например, их циклотронное вращение), являются несущественными. членом д,'дг' можно пренебречь. В пределе т/М вЂ” и 0 уравнение (5.89) записывается в виде Е+ ч Х В =т))+())еп) () Х В вЂ” т7р,). (5.90) Это — второе уравнение одножидкостной магнитогидродинамики, которое называется обобщенным законом Ома и описывает электрические свойства проводящей жидкости.
Член 1 х В отвечает току Холла. Последние два члена в правой части (5.90) часто являются малыми, и имн можно пренебречь. В этом случае закон Ома загисывается в виде простого соотношения Е+ ч х В = т)). (5.91) Уравнения непрерывности для массовой плотности р и заряда о легко получить, складывая или вычитая уравнения непрерывности для ионов и электронов. В результате мы приходим к следующей системе МГД-уравнений: рдч~дГ =1 Х В вЂ” рр+ рй, (5.85) Е+.ч х В=т)), (5.91) (др!д()+ р. (рч) = О, (5.92) (до/дг)+тг 1=0. (5.93) Вместе с уравнениями Максвелла такая система уравнений нередко используется для описания равновесного состояния плазмы.
Ее можно применять и для анализа волн в плазме, однако нужно помнить, что точность этой системы уравнений значительно меньше, 182 Гл. 5. Лнффузнв н сопротивление чем у использовавшихся нами ранее двухжидкостных уравнений. Благодаря своей простоте МГД-уравнения весьма полезны при исследовании вопросов, связанных с сопротивлением плазмы. Их широко применяют астрофизики, работающие в области космической электродинамики, специалисты по проблеме МГД-преобразования энергии, а также теоретики — специалисты в области управляемого термоядерного синтеза, рассматривающие магнитные системы сложной конфигурации. 5.8. Диффузия в полностью ионизованной плазме В отсутствие силы тяжести для описания равновесного состояния плазмы можно воспользоваться уравнениями (5.85) и (5.91), кото- рые в стационарном случае принимают вид )х В=~р, (5.94) Е+ч х В=т)).
(5.95) Проекция последнего уравнения на направление магнитного поля имеет простой вид Е1 — — т1 ~~/ и и представляет собой запись обычного закона Ома. Перпендикулярную компоненту скорости можно найти, умножив уравнение (5.95) векторно на В: Е х В+ (ч, х В) х В = т) ) х В = т1 ЛР, Е х  — ч, Вв=т1 ЧР, ч, = Е Х В1Вв — (Че18')т7Р.
(5.96) Первый член в правой части последнего равенства описывает сов- местный Е х В-дрейф частиц обоих сортов. Второй член связан с диффузией против направления градиента давления ( — уР). Б ча- стности, в осесимметричном плазменном цилиндре, где Е и 7Р направлены по радиусу, ие = — Е,(В, о, = — (т), )Вв) (дР)дг). (5.97) Диффузионный поток частиц в полностью ионизованной плазме равен Г =пч, =- — (т1,л(КТ;+КТ,у~В')чп. (5.98) Это соотношение имеет форму закона Фика (см. (5.11)) с коэффициентом диффузии Р „= т1 „и 2; КТ/Вв, (5.99) который называется «классическим» коэффициентом диффузии в полностью ионизованном газе. Заметим, что, как и в случае слабоионизованного газа, Р пропорционален 1тВв.
Такая зависимость характерна для классиче- 183 а 9. Региеиия ураииеиия диффузии ской диффузии, которую в конечном счете можно свести к процессу случайного блуждания с шагом и„. Однако формула (5.99) имеет три существенных отличия от выражения (5.54), описывающего диффузию в слабоионизованном газе. Во-первых, в полностью ионизованном газе коэффициент диффузии Р не является константой; он пропорционален плотности плазмы п. Это связано с тем, что плотность рассеивающих центров определяется не плотностью нейтральных атомов, а плотностью плазмы в целом. Во-вторых, в полностью ионизованной плазме коэффициент диффузии Р уменьшается с ростом температуры, поскольку а1 пропорциональна (КТ) з~з. В слабоионизованном газе, наоборот, с ростом температуры диффузия усиливается. Это различие объясняется тем, что сечение кулоновского взаимодействия зависит от скорости частиц и, следовательно, от температуры плазмы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
