Учебник - Введение в физику плазмы - Чен Ф. (1239320), страница 39
Текст из файла (страница 39)
В других случаях правая часть уравнения (6.6) отлична от нуля, но мала. В этом приближении из (6.6) следует, что р+ (Вз12ро) = сопз1. (6.7) Поскольку величина Вз~2рз равна давлению магнитного поля, отсюда видно, что в состоянии равновесия сумма кинетического давления частиц и давления магнитного поля должна быть постоянной. Иными словами, если в плазме есть градиент плотности (рис.
6.6), то там, где концентрация частиц велика, магнитное поле должно быть мало, и наоборот. Ослабление магнитного поля в плазме, естественно, вызывается диамагнитным током. О величине диамагнитного эффекта можно судить по отношению двух слагаемых, входящих в (6.7). Это отношение обычно обозначается греческой буквой 1): 2.
пКТ Давление частиц (6.8) ВЧ2р„ Давление магнитного поля 199 64 Диффузия магнитного поля в плазму ного поля в вакууме или для поля в присутствии плазмы. Если же параметр 6 велик, то из-за наличия плазмы локальное магнитное поле В может сильно уменьшиться. В этом случае в определение 6 обычно включают значение магнитного поля в вакууме. Плазма с болыпими 11 характерна для космического пространства и для исследований по МГД-преобразованию энергии. Для того чтобы термоядерный реактор был экономичным, значение 6 в нем должно существенно превышать 1 %, поскольку энергетический выход реактора пропорционален квадрату плотности плазмы и', а стоимость реактора растет с увеличением В по степенному закону. В принципе может существовать и плазма с 6 = 1, в которой диамагнитный ток создает поле, в точности равное по величине и противоположное по направлению внешнему магнитному полю.
В этом случае система должна разделиться на две части: область плазмы без магнитного поля и область, в которой имеется лишь магнитное поле, а плазма отсутствует. Если силовые линии магнитного поля являются прямыми, то равновесие в этой системе будет неустойчивым, поскольку такая конфигурация напоминает желе, которое удерживают на натянутых резиновых лентах. Поэтому надо еще доказать, можно ли вообще создать подобную плазму с ~1: — — 1. В некоторых магнитных конфигурациях поле В внутри плазмы обращается в нуль, и локальное значение 11 в таком случае должно равняться бесконечности.
Это происходит, в частности, в том случае, когда магнитное поле прикладывается вблизи поверхности большого объема плазмы. Вследствие этого р обычно определяют как отношение максимального давления частиц к максимальному магнитному давлению, и в этом смысле у плазмы, удерживаемой магнитным полем, величина 11 не может быть больше единицы, 6.4. Диффузия магнитного поля в плазму В астрофизике часто возникает задача о проникновении магнитного поля в плазму. Пусть между областью, в которой есть плазма, но нет поля, и областью, в которой есть магнитное поле, но нет плазмы, существует резкая граница (рис.
6.6). Если электрическое Талано магнитное лане В е е е е е е е ее е е о е е е о о е е е е е е 7аоьно ллалиа Рис. 6.6. Между идеально проводящей плазмой и магнитным полем может существовать резкая граница. Поверхноствые токи выталкивают поле из плазмы, 200 Гл. 6, Риииоиесие и устойчивость сопротивление плазмы равно нулю, то эта граница будет оставаться неизменной по той же причине, по которой магнитное поле не может проникнуть в сверхпроводник: всякая ЗДС, создаваемая движущимися силовыми линиями, генерировала бы в плазме бесконечный ток, а это невозможно.
Следовательно, и плазма при своем движении будет выталкивать из себя силовые линии, а также изгибать и скручивать их. Возможно, этот эффект является причиной образования нитевидных структур газа, которые наблюдаются в Крабовидной туманности. Если же проводимость плазмы отлична от нуля, то плазма может двигаться сквозь силовые линии магнитного поля и, наоборот, магнитное поле может проникать в плазму.
Такая диффузия требует определенного времени, и если движение происходит достаточно медленно, то силовые линии за время этого процесса не успевают сильно исказиться. Время диффузии нетрудно вычислить из уравнений ЧХЕ= — В, Е+ч х В=у)1. [ср, с уравнением (5.91)!.
Для простоты будем считать, что силовые линии проникают в покоящуюся плазму. Тогда ч = О и дВГдГ = — Ч х т)1. (6. П) Вспоминая, что 1 определяется выражением (6.2), уравнение (6. П) можно переписать в виде дВ!дГ = — (ч)!ре) р х (Ч х В) =- — (т)Г)се) [Ч (Ч В) — ЧеВ!. (6.12) Вследствие того что 1у В == О, мы приходим к уравнению диффузии, с которым уже встречались в гл. 5: дВ,дГ=-()ГР,) 1у В. (6.13) (6.9) (6.[О) Его можно решить с помощью разделения переменных, однако мы ограничимся здесь грубой оценкой времени диффузии.
Пусть Е— характерный масштаб пространственного изменения магнитного поля В; тогда дВГдГ =- (т)Г)с,(.е) В, В= Веехр(~ Гут), (6.14) (6.!5) где т= р [.и/т) (6.16) Зто и есть характерное время проникновения магнитного поля в плазму. Величину т можно также интерпретировать как время аннигиляции магнитного поля.
Дело в том, что при движении силовых линий сквозь плазму наводимые ими токи вызывают ее нагрев. На этот нагрев тратится энергия магнитного поля. Потери энергии 20! 6.4. Лнффузия магнитного поля в плазму в единице объема (м') плазмы за время т равны т))вт. Если прене- бречь током смещения, то из уравнения Максвелла (3.4) следует, что р )=Ч?4 В В,'7.. Отсюда можно найти диссипацию энергии: (6.)7) щьт=т)(В)(ьо()з(ро(-'Iз))=В'!Ро.=-2(В'!2ро) (6 !8) Задачи 6.!. Предположите, что в дейтериево-дейтериевом реакторе из-за электромагнитаой неустойчивости величина () не может превышать (т(34) 'з.
Пусть также из-за свойств материалов конструкции реактора магнитное поле ограничено величиной В = 20 Тл. Найдите максимальную плотность плазмы, которую можно удержать в этом реакторе, если КТг = КТ, = 20 кэВ. 6.2. В экспериментах по лазерному синтезу у поверхности мишени вследствие поглощения излучения лазера создается плазма плотностью л яз 10от м-о с температурой КТ, яз КТ! 104 эВ. Возникающие при этом термоэлектрические токи могут спонтанно генерировать магнитные поля до 1О' Тл.
а) Покажите, что в такой плазме ю,тм»1, и, следовательно, магнитное поле сильно влияет на движение электронов. б) Покажите, что ()»1, и поэтому такую плазму невозможно надежно удержать с помощью магнитного поля. в) Каким образом должны двигаться плазма и силовые линии магнитного поля, чтобы одновременно удовлетворялись условия, сформулированные в п, а и б, которые на первый взгляд противоречат друг другу? 6.3. Цилиндрический столб плазмы радиусом а помещен в магнитное поле В == Вох, параллельное его оси.
Профиль давления плазмы имеет вид р = = росоз' (пг(2а). а) Вычислите максимальное давление ро. б) Используя это значение ро, найдите распределение диамагнитиого тока 1 (г) и полного магнитного поля В (г), в) Постройте зависимости 1 (г), Вв (г) и р (г). г) Если этот цилиндр свернуть в тор таким образом, что силовые ливии, совершив один оборот, замкнутся сами на себя, то равновесие, при котором макроскопические силы повсюду компенсируют друг друга, очевидно, бу- дет нарушено. Можво ли так перераспределить давление р (г, О), чтобы рав- новесие в системе восстановилось? 6.4. Рассмотрите бесконечный прямой плазменный цилиндр, помещенный в магнитное поле Во, считая что профиль плотности плазмы имеет форму прямоугольника (рис. 36.4). Покажите, что при р .= 1 магнитное поле на оси цилиндра обращается в нуль.
Для этого проделайте следующие операции: а) Используя МГД-уравнения и считая, что КТ .= сопз1, найдите в стационарном состоянии ток 1 Таким образом, величина т приближенно равна времени, которое требуется для того, чтобы энергия магнитного поля рассеялась на джоулев нагрев. 202 Гл. 6.
Равновесие и устойчивость п[а) г а Рис. 36,4. б) Проинтегрируйте уравнение Максвелла (Г Х В вЂ” -- ра ) по площади петли, изображенной на рисунке. Используя теорему Стокса, покажите, что Вал — Ва = ра ~ К Т ) ((дп(дг)(В (г)) Нг, 5 Вал — = Вг=з в) Вычислите интеграл, считая, что производная дп(дг равна 6-функции и потому В (г) при г =- а есть среднее арифметическое величин Ва„ и Ва. 6.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
