Учебник - Введение в физику плазмы - Чен Ф. (1239320), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Существуют, однако, некоторые явления, которые гидродинамическая теория нс может описать адекватным образом. Для них мы должны рассматривать функцию распределения 7 (ч) частиц каждого сорта по скоростям; такой подход называется кинетической теорией. В гидродинамике все зависимые переменные являются функциями лишь четырех независимых величин: х, у, г и у. Это возможно потому, что распределение по скоростям для каждого сорта частиц всюду предполагается максвелловским и может быть единственным образом задано с помощью одного параметра, а именно температуры Т. Поскольку столкновения частиц в высокотемпературной плазме происходят редко, отклонение от теплового равновесия может в этом случае поддерживаться в течение относительно длительного времени.
В качестве примера рассмотрим две функции распределения: 7, (и„) и 7е (о„) для одномерной системы (рис. 7.1). Эти две функции могут вести себя совершенно по-разному, но если площади под кривыми 7, и 7а одинаковы, гидРодинамическаЯ теоРиЯ не обнаРУжит Различия между ними. Плотность частиц есть функция четырех скалярных переменных: и = и (г, г). Когда мы рассматриваем функцию распределения, то Рис.
7Л. Примеры немакснелловскик функций распределения. 7.!. Функция распределения ! (е) 2!9 имеем семь независимых переменных: 7' =1 (г, и, г). Функция )' (г, т, Г) означает, что число частиц в кубическом метре в точке г в момент времени Г с компонентами скорости между о„ и о„ + + е(о„ о и оа + Пп„, се и ое + сЬ, равно 1(х, у, г, о„, и„, о„1)Ы„Ы„с)и,. Интеграл от этого выражения записывается несколькими эквива- лентными способами: е п(г, 1)=- ~ !(п„~ !(оа )с !(о,((г, ч, 1)==. ( ((г, т, 1)с(ао= = ) 1(г, ч, 1)с(у. (7. 1) Следует заметить, что здесь е(» не вектор, а трехмерный элемент объема в фазовом пространстве. Если 1 нормирована следующим образом: ) !г(г, тц 1с(т=-1, О (7.2) то 1 представляет собой распределение вероятности, которое мы обозначаем через ~.
Таким образом, 1(г, т, 1)= п(г, 1))(г, т, 1). (7.3) Заметим, что 1 — по-прежнему функция семи переменных, поскольку форма функции распределения, как и плотность частиц, может меняться во времени и пространстве. Из выражения (7.2) ясно, что ) имеет размерность с"м'! следовательно, размерность г', как видно из (7.3), равна с' м Особенно важную роль играет функция распределения Макс- велла =- (т'2пКТ) е~ ехр ( — оЪ„и,) о= (пх+пд+ог) ' а оп.ал — (2КТ)т) (7.4) (7.5) где Используя определенный интеграл )" ехр( — хе)дх.=~/и, (7.6) легко проверить, что интегрирование !' по е(п„Ноа е(о, дает единицу.
Обычно используют несколько средних скоростей по максвелловскому распределению. В разд. 1.3 мы видели, что среднеквадратичная скорость дается выражением (пе) '== (ЗКТ!т) ' . (7.7) 220 Гл. 7. Кинетическая теория Среднее значение скорости ( о), или просто среднюю скорость о, определяют следующим образом: оД~,) (зо Поскольку 7'„нзотропна, интеграл вычисляется наиболее просто в сферической системе координат о-пространства (рис. 7.2). Так как элемент объема каждой сферической оболочки равен 4позс(о, имеем о = (пт(2пКТ) ) о [ехР ( — о 7отепп)) 4поз с(о = (7.9) о =(поз„п ) а~а4по~ „,~ )ехр( — у)]у~с(у.
(7.10) Определенный интеграл равен 1/2, что можно найти интегрированием по частям. Таким образом, о= 2п и'о,„— 2(2КТ~пгп)и~. (7. 11) Компонента скорости в одном выделенном направлении, скажем о„, имеет другое среднее. В случае изотропного распределения о„, разумеется, равно нулю, но ! о,! не равно нулю: (,) дзо (7.12) -(.„,)ь ',-~.") ',-.(.") (7.13) птепп l Из соотношения (7.6) видно, что каждый из первых двух интегра- Рис. 7,2. Трехмерное пространство скоростей.
7.1. Функция распределения 7 (к) 221 лов равен инго„„. Последний интеграл простой; его значение равно и „,. Таким образом, имеем г (о„1=(по~,„„) гипо„„,=п о„„л=(2КТ!ит) ~~ (7.14) Случайный поток частиц через некоторую воображаемую плоскость дается выражением Г г„=(1/2) п1~,~ =(1!4) по (7.15) Здесь мы использовали соотношение (7.11) и тот факт, что лишь половина частиц пересекает плоскость в каком-то одном направлении.
Таким образом, в случае распределения Максвелла мы имеем следующие выражения: оса. кв = (3КТlт) (7.7) )о) =-2(2КТ(ит) ', (7.11) / о„! =. (2КТ/лт)!~г (7.14) пк =- О. (7.16) Для изотропной функции распределения типа максвелловской мы можем определить другую функцию а (о), которая представляет собой функцию скалярной величины о, такую, что ,(о),(, 1" г(,) с(а, (7.17) 'а Для распределения Максвелла из уравнения (7.9) видно, что д(о).=- 4пп (т)2иКТ))пгекр ( — о'!охаял) (7.
18) Рис. 7.3 показывает различие между д (о) и одномерным максвелловским распределением 7 (с„). В отличие от 7 (г„), которая при о„= О максимальна, д (о) прн о = О равна нулю. Это есть следствие обращения в нуль элемента объема фазового простран- О Ул О сх Рнс. 7.3, Одно- н трехмерные максвелловскне функции распределення по схоростнм. Гл. 7. Кинетическая теория 222 Рис. 7.4. Неоднородная одномерная Рис.
7.5, Линии постоянных 1 для функция распределения 1 (х, о„). двумерного анизотропного распределения. Рис. 7.6. Линии постоянных 1 в двух измерениях для максвелловского рас- пределения с дреафоьг и «пучкаа. Рис. 7.7, Линии постоянных 1 для распределения с конусом потерь. Здесь о н о — компоненты т соответственно вдоль и поперек магнитного поля. ства (рис. 7.2) при о =- О.
Иногда функцию д (о) небрежно записывают как 7" (о), чтобы отличить ее от 7 (н); но дг(и) совсем по иному зависит от своего аргумента, чем функция 7 (у) от своего аргумента. Из соотношения (7.18) ясно, что д (о) имеет размерность с м4. До тех пор пока мы ие уменьшим число измерений, невозможно построить график функции 7(г, и) в данный момент времени 1. В одномерном случае 7 (х, и„) можно изобразить в виде поверхности (рис. 7.4). Сечения этой поверхности плоскостями х — сопя! представляют собой распределения 7'(ох), а сечения ее плоскостями и, = сопз1 дают профили плотности частиц, имеющих данную скорость о„. Если форма всех распределений 7" (о,) одинакова, то кривая, проходящая через максимумы этих распределений, представляет собой профиль плотности.
Штриховые кривые иа рис. 7.4 показывают сечения плоскостями 7 =- сопз1, которые образуют ли- 223 7.2. Уравнения кинетической теории 7.2. Уравнения кинетической теории Фундаментальным уравнением, которому должна удовлетворять функция 7'(г, и, й), является уравнение Больцмана (7.19) Здесь г — сила, действующая на частицы, а (д7Уд~), — скорость изменения г во времени вследствие столкновений.
Символом Ъ' обозначен, как обычно, градиент в координатном пространстве х, у, г. Символ д..'ди или Ч, обозначает градиент в пространстве скоростей; д д д д — =-х — +у — +г до до„доя дог (7. 20) Смысл уравнения Больцмана становится ясным, если вспомнить, что 7 есть функция семи независимых переменных. Следовательно, полную производную от 7' по времени можно записать в виде и) д) д) ах . д) ду д) дх 3- + —. а дй ' дх й ' ду Ш да дС д) дох д) дед д) дох (7.2!) дон й до, й дох Ж Здесь д)1д~ представляет собой производную по времени при явной нин уровня, или кривые постоянных 7'. Проецируя эти линии на плоскость хп„получаем топографическую карту значений 7. Такие карты оказываются очень полезными для получения предварительных представлений о поведении плазмы; в следующем разделе мы приведем соответствующий пример.
Другой тнп контурной карты для 7 можно построить, если рассмотреть 7(н) в данной точке пространства. Например, если движение является двумерным, а 7' в переменных ох и о„изотропна, то контуры 7 (п„оо) будут представлять собой окружности. Анизотропное распределение должно описываться эллиптическими контурами (рис. 7.5). Максвелловское распределение с дрейфом будет иметь контуры в виде окружностей, смещенных относительно начала координат, а пучок частиц, летящих вдоль оси х, проявится как отдельный пнк (рис. 7.6). Функция распределения с конусом потерь для плазмы, удерживаемой в зеркальной ловушке, может быть представлена контурами 7 в (и , о~~)-пространстве.
На рис. 7.7 показано, как выглядят этн контуры. Гл. 7. Кинетическая теория 224 временной зависимости. Следующие три слагаемых можно записать в виде ч т7~. С помощью второго закона Ньютона т =Г дч Лт (7.22) — +ч. 77 + — (Е+ ч х В) — .= О. д) д) дт т дч (7.23) Это уравнение называется уравнением Власова. Благодаря своей относительной простоте это уравнение наиболее часто применяется в кинетической теории.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
