Учебник - Введение в физику плазмы - Чен Ф. (1239320), страница 45
Текст из файла (страница 45)
(7.36) Поскольку среднее значение какой-либо величины равно взвешен- ному интегралу этой величины по», деленному на п, мы имеем Ч Г~~ччйч= Ч пчч. (7.37) Скорость ч можно представить теперь в виде суммы средней (гидродинамической) скорости п и тепловой скорости чч: ч=п+хч. (7.38) Поскольку и уже средняя величина, можно написать следующее выражение: Ч (пчч) =-Ч (ппп)+Ч.(пчгчг)+2Ч (ппчг). (7.39) Очевидно, среднее значение хч равно нулю.
Величина тпчгчг есть не что иное, как тензор напряжений Р: Р— = пгп ичч. (7.40) Оставшийся первый член в правой части уравнения (7.39) можно записать в виде (7.41) Ч (ппп)=пЧ (пп)+п(п Ч)п. Объединяя полученные нами результаты, а именно выражения (7.33), (7.35), (7.40) и (7.41), уравнение (7.32) можно переписать в виде д и — (пп)+тпЧ (пп)+ тп(п Ч)п+Ч Р вЂ” г)п(Е+п Х В)=Р0. дг (7.42) Преобразовывая первые два члена с помощью уравнения непре- !'л.
7. Кинетическая теория 230 глп ~ — т (и Ч) и1 = с)п (Е + и х В) — Р. Р + Ро. (7. 43) Г ди 1 д! Это уравнение описывает поток импульса. Чтобы вычислить поток энергии, необходимо найти следующий момент уравнения Больцмана, умножив его на (1Р2) тсгч и проинтегрировав по и, При этом мы получим уравнение теплового потока, в которое входит коэффициент теплопроводности х так же, как в гидродинамическое уравнение тензор напряжений Р. Простейшей формой уравнения теплового потока при х= О является уравнение состояния 7.4.
Плазменные колебания и затухание Ландау В качестве элементарной иллюстрации использования уравнения Власова выведем дисперсиониое уравнение для плазменных колебаний, которые мы рассматривали с гидродинамической точки зрения в разд. 4.3. Для этого нам потребуется контурное интегрирование. Те, кто не знаком с иим, могут сразу перейти к разд. 7.5. В разд. 7.6 мы дадим более простой, хотя и более длинный, вывод без применения теории функций комплексного переменного.
Предположим, что в нулевом порядке плазма однородна и имеет функцию распределения 7а (и), и положим В, Е, .— -- О. Обозначим возмущение функции 7 (г, и, !) в первом порядке как 7, (г, и, !): )'(г, ч, !) =)а(т)+), (г, ч, 1). (7.44) Так как ъ теперь независимая переменная и ее не следует линеаризовывать, уравнение Власова для электронов в первом порядке запишется в виде — -[-и р),— — Е, — == О. а[с е а) (7.45) д! нс дт Как и прежде, предположим, что ионы тяжелые и неподвижные, а волны являются плоскими и распространяются вдоль оси к: ехр [! ()ех — ся!)1.
(7.46) При этом уравнение (7.45) принимает вид — 1 со)с+[ко„!,= — ń—, с а[ ис дос (7.47) с ! ена д)ос'дос а (7.48) рывности (7.31), окончательно получаем следующее гидродинами- ческое уравнение: 23! 7Л. Плазменные колебания и затухание Ландау Уравнение Пуассона дает еоу Е, — 1йеоЕ„ = †, = — е'))(),е(О. (7.49) Подставляя сюда выражение (7.48) для Г, и сокращая на 1кеоЕ„, получаем (7.50) Множитель и, можно факторизовать, если заменить 7о нормирован- ной функцией 7о: » и — »о» Если )о является распределением Максвелла нли другой факторизуемой функцией, то интегрирование по о, и о„легко выполняется и остается одномерное распределение ~о (о,).
Например, одномерное распределение Максвелла имеет вид 1 (с») =(т(2иКТ)»~ ехр ( — то»~2КТ). (7.52) Следовательно, дисперсионное уравнение запишется в виде мр ' Д) о ("»))бо» о» вЂ” ре(а) Поскольку мы имеем здесь дело с одномерной задачей, можно опу- стить индекс х; при этом следует быть внимательным и не путать о (которое есть на самом деле а») с полной скоростью о, используе- мой выше: Э) о~бе »» ) и (ео)Л) (7.
54) Под 7о здесь понимается одномерная функция распределения, причем мы считаем, что интегрирование по си и о, выполнено. Соотношение (7.54) справедливо для любой равйовесной функции распре- делениЯ го (о); в частности, если )о максвелловскаЯ, то следУет использовать выражение (7.52). Интеграл в (7.54) нельзя вычислить непосредственно, поскольку при и = ео!й имеется сингулярность. Эта сингулярность, однако, не дает повода для беспокойства, поскольку на практике ео почти никогда не бывает вещественной; обычно волны слабо затухают вследствие столкновений или усиливаются благодаря некоторому механизму неустойчивости. Поскольку скорость о является вещественной, знаменатель в (7.54) никогда не обращается в нуль.
гз2 Гл. 7. Кинетическая теория (о) Рис. 7.14. Контуры интегрирования в задаче Ландау при 1гп (ы) )О (а) и 1пз (ы) (О (6). Первым, кто правильно исследовал это уравнение, был Ландау. Он обнаружил, что даже если сннгулярность лежит вне пути интегрирования, ее наличие приводит к существенному изменению дисперсионного уравнения плазменных волн — этот эффект не предсказывается гидродинамической теорией. Рассмотрим начальную задачу, когда задано синусоидальное возмущение плазмы и, следовательно, величина й вещественна.
Если возмущение нарастает или затухает, то частота са будет комплексной. Интеграл в (7.54) следует рассматривать как контурный интеграл в комплексной и-плоскости. Возможные контуры интегрирования показаны на рис. 7.14 для неустойчивой волны с )гп (ез) ) 0 и для затухающей волны с 1т (оз) (О. Обычно интеграл вдоль вещественной оси и вычисляют с помощью теоремы вычетов: ) 6г(п+ ) 6гЬ.= 2п()7 (оз()г), с, с, (7.55) где 6 — подынтегральное выражение, С, — путь вдоль вещественной оси, Са — полуокружность с радиусом, стремящимся к бесконечности, а Я (<о!А) — вычет при и — соЯ. Такое вычисление справедливо, если интеграл по пути С, обращается в нуль. К сожалению, это не имеет места в случае максвелловского распределения, которое содержит множитель ехр ( — о 1п„„„).
ЭтОт МНОжИтЕЛЬ СтаНОВИтСя бОЛЬШИМ Прн П-з- -~- 1 оо, И ВКЛадОМ от С, нельзя пренебречь. Ландау показал, что если задача рассматривается последовательно как начальная задача, то правильный контур интегрирования следует выбрать так, чтобы кривая С, проходила ниже сингулярности. В общем случае этот интеграл приходится вычислять численно.
Фрид и Конте составили таблицы численных значений этого интеграла для случая, когда функция 7а является максвелловской, 7Л. Плазменные колебания н затухание Ландау 233 и) Рнс. 7.!б. Контур интегрирования в комплексной плоскости о для случая малых 1гп (ы). Рнс. 7.1б. Нормированное максвелловское распределение для случая, когда иф )) отвал Несмотря на то что точное рассмотрение этой задачи сложно, можно получить приближенное дисперсионное уравнение для случая больших фазовых скоростей и слабого затухания. В этом случае полюс при оз/А находится вблизи вещественной оси и (рис. 7.15).
При этом контур интегрирования, предписанный Ландау, состоит из прямой линии вдоль оси це (о) и из небольшой полуокружности вокруг полюса. Обход вокруг полюса дает величину, равную произведению 2п1 на половину вычета в этой точке, Таким образом, уравнение (7.54) принимает вид й(е(бо 1= — ~ Р ' гЬ+)п — ', (7.56) й' о — (го Я) дс о=вы где Р означает, что интеграл вычисляется в смысле главного значения Коши. Чтобы вычислить это выражение, начнем интегрирование вдоль вещественной оси и остановимся перед самым полюсом. Если фазовая скорость оф — — гоЯ достаточно велика, как мы и предполагаем, то вклад от пренебрегаемой части контура будет мал, поскольку как (га, так и д7е!ди на нем очень малы (рис. 7.!6).
Интеграл в выражении (7.56) можно вычислить интегрированием по частям: до о — оф ~ о — оф !,) (о — оф)а ) (о — оф)' (7.57) (7.58) Поскольку последнее выражение равно среднему от (и — иф) ' по функции распределения, вещественную часть дисперсионного урав- нения можно записать в виде Гл. 7. Кинетическая теория Мы предположили, что оф )) о, поэтому величину (о — оф)-' можно разложить следующим образом: — — о к — г гг 2о Зо 4оа (о — оф) = оф 1 — — = оф 1+ — -1- — -~- — +... а оф оф ар оф (7.59) При усреднении нечетные члеиы обращаются в нуль, и мы имеем — г — гт Зое + г оф Вычислим о' при условии, что функция )е является максвелловской.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
