Учебник - Введение в физику плазмы - Чен Ф. (1239320), страница 48
Текст из файла (страница 48)
7.6. Физический вывод затухания Ландау Теперь мы в состоянии вывести формулу для декремента затухания Ландау без использования контурного интегрирования. Как и прежде, разделим плазму на пучки со скоростями и и плотностями а„и будем исследовать нх движение в волне Е = Е, з1 п (йх — в(). ,'(7.85) Из выражения (7.77) следует, что скорость каждого пучка равна еЕ, соя (ех — ея) (7.
86) 1= и в — 'яи Это решение удовлетворяет уравнению движения (7.76), но не удовлетворяет начальному условию о, = О при т = О. Ясно, что это условие должно быть наложено обязательно, иначе в окрестности и = м)й о, будет очень велико и плазма будет находиться в специ- 245 7.6. Физический вывод затухания Ландау ально приготовленном начальном состоянии. Добавляя произвольную функцию величины йх — йит'„ выражение (7.86) можно подправить так, чтобы оно удовлетворяло начальному условию. Результирующее выражение по-прежнему будет удовлетворять уравнению (7.76), поскольку оператор в левой части выражения (7.76), действуя на произвольную функцию 7 (их — йи(), дает нуль. Для того чтобы получить и, = 0 при е = О, функция 7 (йх — йи!) должна быть выбрана в виде — соз (йх — йи!).
Таким образом, вместо выражения (7.86) мы имеем — еЕ, соз (йх — вб — соз (Йх — (еиб о<в еп в — йи Затем нужно найти п„решая уравнение непрерывности (7.78) при начальном условии и, = — 0 прн ! = О. Поскольку мы стали теперь умнее„попробуем искать решение в виде (7.88) и„=- и, (соз(их — в() — сов(йх — ии()). Подставляя это выражение в (7.78) и используя формулу (7.87) для о,, находим еЕ,х Мн (йх — вб — Мп (йх — йиб л, зйп (Йх — в() — — и„— кч (в — йи)' (7.89) По-видимому, мы были недостаточно умны, так как множитель з(п (йх — ве) не сократился. Для того чтобы получить член вида з(п (йх — йи~), который возникает из-за добавленного к и, члена, к и, можно добавить член вида Аг з!п (йх — йиу).
Этот член, очевидно, обращается в нуль при г = О, а при действии на него оператора, стоящего в левой части уравнения (7.78), мы будем иметь з(п (их — ии!). Этот же оператор, действуя на з(п (йх — йие), дает нуль. Коэффициент А должен быть пропорционален величине (в — йи)-', чтобы производная до,)<тх имела этот же коэффициент. Таким образом, мы имеем и, =- — ии еЕ,/г 1 (соз (йх — в() — соз (йх — йи()— еп (в — йи)' — (в — йи) ! з(п (йх — йи()). (7.90) Мы видим, что при т = 0 это выражение обращается в нуль, и нетрудно проверить, что оно удовлетворяет уравнению (7.78).
Записанные выше выражения для о, и и, позволяют вычислить работу, производимую волной над каждым пучком. Сила, действующая на единичный объем каждого пучка, дается выражением (7.91) Е„= — еЕ, з1п (йх — в() (и„+ и,); 246 Га. 7. Кинетическая теория следовательно, скорость изменения энергии этого объема можно записать в виде и'Ю вЂ” = Р„(и+о,) = — еЕ, сйп(йх — в() (п„и+ п„о„+ п,и+ п,о,). й| (7.92) Вычислим теперь среднее этой величины по длине волны. Первый член исчезает, поскольку произведение п„и = сопз(. Четвертым членом можно пренебречь, как числом второго порядка малости, причем можно показать, что в любом случае среднее от него по времени равно нулю.
Второй и третий члены можно вычислить с помощью выражений (7.87) н (7.90), используя выражения (5|п (йх — Ы) соз (йх Ы.)) = — — 5)п (в1 — йи(), 1 2 (7.93) (5|п (йх — в() 5(п (их — йи1)) =- — соя|,в1 — ии(). 1 2 Нетрудно показать, что среднее значение скорости изменения энергии дается выражением +ки Мп (в1 — йи)) — (в — /ги) 1 соа (в| — йи1) 1 (7.94) (в — ии)е Следует заметить, что в процессе усреднения уцелели лишь члены, определяемые начальными условиями.
Полную работу, производимую над частицами, получаем суммированием по всем пучкам: ( ) =~ ' ( — ) — поР~ ' ( — ) с(и. (7.98) и Подставляя сюда выражение (7.94) и используя определение величины в„находим скорость изменения кинетической энергии: й )Р'Е еОЕ|~ Мп (в) ии)) )-'() /= во(о(и) би+ й) / 2 в — еи + )о(и) а|п (в) — йи1) — (в — йи) 1 соа (в) — )си)) йи|(и~ = (7.98) (в — йи) и' Г а|п (вс — йи)) 1) йи в — йи (7.
97) 247 7.6. Физический вывод затухания Ландау о( г Мп(ы( — йиб = — еоЕцоо ~г /о(и)г(и — ~и (7.98) 2 Еи ~ ы — еи Это выражение следует положить равным скорости потери плотности энергии волны Ю' . Энергия волны состоит из двух частей. Первая — это энергия электростатического поля с плотностью ((й"а) = ео (Е )/2 = еоЕ! /4 (7 99) Вторая часть представляет собой энергию колебаний частиц в волне. Если снова разделить плазму на пучки, то выражение (7.84) дает энергию одного пучка: по е~Е~~ Г 24~ (ЛВ'а)„= — —" ~1+ 1 (7 100) 4 и (со — /еи)о со — /ои 1 Из формулы (7.79) для а, имеем /„(и) ои еоя ~, (ы — йи)а сот 3 (ы — еи)о о (7.103) Сравнивая это соотношение с (7.101), находим Таким образом, (7.104) уй' ==а,Е1/2. Скорость изменения энергии (Р' дается выражением (7.98), с отрицательным знаком: (7.105) взятым Ж 3 ии ( ы — /ои При выводе этой формулы мы не использовали истинные начальные условия, которые существенны только для резонансных частиц; однако последние дают очень небольшой вклад в полную энергию волны.
Суммируя по пучкам, имеем зЕ2 4 оо 3 (со — /ги)о 1 ы — еи Д Здесь вторым слагаемым в квадратных скобках можно пренебречь в пределе со/й )) о„„, который мы используем, чтобы провести сравнение с нашими предыдущими результатами. Дисперсионное уравнение мы получим, используя уравнение Пуассона: яеоЕ, сон(их — оо() = — е Я и,.
248 Гл. 7. Кинетическая теория Интегрирование по частям дает й~'в (р о Г т,, Мп(в — ьи)( 1' ~й ! в — еи ! — и— Щ Мп (в — (ои) 1 о(а ои со — еи В слУчае РегУлЯРной фУнкции 7о (и) пРоинтегРиРованнаЯ часть равна нулю, и мы имеем ит Й 1 в — Ди где и положено равным в/й (постояиной), поскольку в интеграл дают вклад только скорости, очень близкие к этой величине. Действительно, при больших 7 квадратную скобку в (7.107) можно приближенно заменить дельта-функцией б (и — —" ) = — 1(ш ~ ""( " ~, (7.108) Таким образом, (У' вр 1о = (г нсо ~о (7.100) Поскольку 1гп в — это скорость нарастания (инкремент) величины Е„а энергия Я7 пропорциональна Еь мы имеем 2 й(Р„,Н(1 = 2 (1ш (в)) Ф' .
(7.110) Следовательно, !т(в) = (я'2) в(сор(и')7о(в(й), (7. 111) что при оо =- вр согласуется с полученным ранее выражением (7.67). 7.6.7. Резонансные частицы Теперь мы можем точно определить, какие частицы являются резонансными, т.
е. какие частицы дают вклад в линейное затухание Ландау. На рис. 7.25 показана функции )', (и), которая в (7.107) стоит множителем в подынтегральном выражении. Мы видим, что наибольший вклад дают частицы, у которых 1в — ни(е и!7, или ! о — ое! (л~'й = Х(2; иными словами, это те частицы в начальном распределении, которые не успели пройти половину длины волны 249 7.6. Физический вывод затухания Ландау 7.б.2. Разрешение двух парадоксов На рис. 7.25 видно, что подыитегральное выражение в уравнении (7.107) является четной функцией переменной щ — йи; это означает, что в затухание Ландау дают вклад как частицы, движущиеся быстрее волны, так и частицы, движущиеся медленнее волны.
Именно так и происходит согласно физической картине, представленной на рис. 7.24. Однако наклон кривой на рис. 7.25, который входит сомножителем в подынтегральное выражение в (7.106), представляет собой нечетную функцию переменной Ф вЂ” ни; это означает, что частицы, движущиеся быстрее волны, отдают ей энергию, в то время как частицы, движущиеся медленнее волны, отбирают от нее энергию. Оба этих случая отличаются способом интегрирования по частям.
Рассмотрение в обоих случаях является правильным; которое из них должно быть выбрано, зависит от того, что мы хотим иметь под интегралом: 7'о (и) илико (и). Другой парадокс связан с галилеевской инвариантиостью. Если встать иа точку зрения, что для затухания число частиц, движущихся быстрее волны, должно быть меньше, чем более медленных частиц, то до тех пор, пока мы находимся в системе отсчета, в которой плазма покоится, никаких проблем не возникает. Однако Рис. 7.26. Функция, определяющая относительный вклад частиц с различными скоростями в затухание Ландау. Рис.
7.26. Максвелловское распределевие, в котором с точки зрения движущейся системы отсчета может быть область, приводящая к неустойчивости. относительно волны. Как и ожидалось, ширина центрального максимума с течением времени уменьшается. Дополнительные максимумы в «дифракционной картинев на рис. 7.25 обусловливаются теми частицами, которые прошли приблизительно одну половину длины волны.
Поскольку у этих частиц быстро нарастает разброс по фазе, их вклад в среднем оказывается малым; начальное распределение забывается. Заметим, что ширина центрального пика не зависит от начальной амплитуды волны; следовательно, в группу резонансных частиц могут входить как захваченные, так и незахваченные частицы. Это явление не связано с захватом частиц. Гл. 7. Кинетическая теория 250 если перейти в систему отсчета, движущуюся со скоростью 1' (рис. 7.26), то частиц, движущихся быстрее волны, окажется больше, чем тех, которые движутся медленнее ее, и волна на первый взгляд будет не затухать, а нарастать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
