Учебник - Введение в физику плазмы - Чен Ф. (1239320), страница 50
Текст из файла (страница 50)
7.9. Затухание Ландау на ионах Резонансными частицами могут быть не только электроны. Если фазовая скорость волны достаточно мала и оказывается сравнимой с тепловой скоростью ионов, то становится возможным затухание Ландау на ионах. В частности, сильно подвержены затуханию Ландау ионно-звуковые волны. Напомним, что в соответствии с (4.41) дисперсионное уравнение для ионных волн имеет вид ы 1 Кт,+у,хт; У (7.
112) Если Т, ( Т» то фазовая скорость попадает в область, в которой наклон функции распределения уэ; (о) отрицательный (рис. 7.30, а). Следовательно, в этом случае ионные волны испытывают сильное 255 7хп Затухание Ландау на ионах 0 Т,тат; Те=те Рис. 7.30. К объяснению затухания Ландау ионно-звуковых волн. о— Т, яе Тп фазовая скорость волн лежит внутри ионной функции распределе. ния; б — Т, Р ТП очень немногие ионы имеют скорость, близкую к фазовой; добавление легких ионов (штриховая кривая) приводит к увеличению затухания Ландау.
затухание Ландау. Их можно наблюдать лишь в случае Т, )) Тг (рис. 7.30, б), когда фазовая скорость лежит далеко в хвосте распределения ионов по скоростям. Алексеев, Джонс и Монтгомери использовали хитроумный способ введения затухания Ландау контролируемым образом. В плазме с тяжелыми ионами (такими, как ксенон) при Т, )) Т~ создавалась слабозатухающая ионно-звуковая волна. Затем к плазме добавлялось небольшое количество легких атомов (гелия). Поскольку образовавшиеся ионы гелия имели почти ту же самую температуру, что и ионы ксенона, но значительно меньшую массу, функция распределения атомов гелия была более широкой (на рис. 7.30, б это распределение показано штриховой кривой). При этом волна испытывала затухание на резонансных ионах гелия. 7.9.1.
Дисперсионная функция плазмы Рассмотрим теперь ионное затухание Ландау ионно-звуковых волн в отсутствие магнитного поля; это позволит нам познакомить читателя с некоторыми общепринятыми понятиями кинетической теории. Ионы и электроны подчиняются уравнению Власова (7.23), а нх возмущения описываются выражением (7.46), определяющим распространение этих возмущений в виде плоской волны вдоль оси х. Решение для 7, дается выражением (7.48) с соответствующими изменениями: = — — Е (7. 1 13) ту ы — йсу где Е„и о„; мы обозначили просто через Е и он причем 1'-й сорт частиц имеет заряд дн массу гп~ и скорость ин Возмущение плотности частиц /-го сорта можно записать в виде Ю пм= ~ ~м(и;)г(и; = — 1 ~~ Е ~ м о1 с(о;.
(7.114) д)ег7дсу ш; О до~ Гл. 7. Кинетическая теория Пусть равновесные функции распределения Ге/ являются одномерными максвелловскими распределениями: "й степа, / //2 /и е ' 1 т/тппл / = — (2К7 'I/и/) тепл,/ (7.115) Вводя немую переменную интегрирования з =- о//отела, /, возмущение плотности и,/ можно записать в виде / тепл, / где гп/: те 7/еотепл, / ° Определим дисперспонную функ/(ию плазмы и. (ь): Я(ь) =, ~ с/з, 1/п(ь))О. (7.117) (7.118) л,' (ь) = ~ с/з. (а- ь)' Интегрирование по частям дает Как и для любой регулярной функции распределения, первый член обращается в нуль. При этом выражение (7.116) можно переписать в виде п =- р/ " у'К) / и///оте пл. / (7.119) В равд. 7.4 мы показали, что этот интеграл является контурным и что, если 1пт (ь) (О, следует использовать его аналитическое продолжение на нижнюю полуплоскость.
Величина Е (ь) — это комплексная функция комплексного аргумента (поскольку «т или /е имеет, как правило, мнимую часть), В тех случаях, когда 2(ь) не может быть аппроксимирована какой-либо аналитической формулой, можно воспользоваться таблицами фрида н Конте или стандартной подпрограммой для компьютера.
Чтобы выразить п„через Л (/,), вычислим производную от л. по ь: 7.9. Затухание Ландау на ионах 257 (7. 121) которое есть не что иное, как соотношение (7.54), полученное для случая максвелловского распределения 7„. 7.9.2. Ионные волны и их затухание Для того чтобы получить ионные волны, вернемся к соотношению (7.122) и воспользуемся тем обстоятельством, что их фазовые скорости ы77а много меньше, чем и„„,,; следовательно, ь, мало и можно разложить Я (с,) в степенной ряд: У(~,)=1~7л е ' — 2~,(1 — — с,'+...
). (7.125) 3 Мнимый член возникает благодаря вычету в полюсе, расположенному вблизи вещественной оси з (см. (7.56)1, и представляет электронное затухание Ландау. В случае ь, (< 1 производная выражения (7.125) запишется в виде ~2 Г(ь,) = — 21 ~/и ь,е ' — 2+... ж — 2. (7.126) Электронным затуханием Ландау обычно можно пренебречь, поскольку наклон функции 7", (о) вблизи ее максимума мал. Заменяя в дисперсионном уравнении (7.122) 2'(ь,) на — 2, получаем дисперсионное уравнение для ионно-звуковых волн: Ло ~ ~т 2' (~ ) 1+)а Лоо ж 1. (7.!27) 1 тепл,/ а 2 Здесь член й Ло представляет отклонение от квазинейтральности.
Запишем уравнение Пуассона еоУ. Е =1неоЕ = ~„дунув (7.120) Объединяя последние два уравнения, выписывая явно электронный член и определяя величину ОИ = (пот тте'теоМ;) получаем следующее дисперсионное уравнение оа й~ — г (~,)+ ~ " 2 (Р. (7.122) о „2 Птепл.е 1 тепл 1 Отсюда, полагая Й~у = О (для бесконечно тяжелых ионов), можно получить электронйые плазменные волны. Определим величину (7.123) Тогда мы можем написать соотношение й'а4=- 1 2'(ь,), (7.124) 2 258 Гл. 7. Кинетическая теория Рассмотрим случай, когда имеется один сорт ионов.
Так как и„= Х,па, коэффициент при Л'(с;) в (7.127) запишется в виде а', еоКт, не,.г'ет И, гт, л', В случае 7е ) о с(; 1 днсперсионное уравнение принимает вид а 2 (7.128) Решение этого уравнения не простая задача. Предположим, что для изучения затухания во времени мы выбрали величину л вещественной, а еа комплексной. При этом вещественную и мнимую части величины со мы должны подобрать таким образом, чтобы выполнялись условия 1гп (Т) = О и )(е (Г) =- 2Т;7УТ,.
В общем случае имеется множество корней со, удовлетворяющих этим условиям, причем все они имеют 1т со (О. Главным из этих корней является тот, который дает наименьшее затухание, т. е, имеет наименьшую величину ) 1тп (со) !. Затухание в пространстве обычно исследуют, полагая частоту со вещественной, а волновое число й комплексным. Снова мы получаем ряд корней й с 1шй )О, которые определяют затухание в координатном пространстве. Однако главный корень здесь не соответствует тому же значению ьь что и в случае комплексной величины со. Оказывается, при решении пространственной задачи следует относиться с особым вниманием к механизму возбуждения на границе и более аккуратно обращаться с членом Г(ь,) для электронной компоненты.
Чтобы получить аналитические выражения, рассмотрим предельный случай Гс )) 1, соответствующий большому отношению температур 0 = ХТ,)Т,. Асимптотическое выражение для Г (~,) записывается в виде ~'©== — 21 /и ~' '+-~ '-1- 3 ~='+ (7120) Если затухание мало, то в первом приближении можно пренебречь членом, отвечающим затуханию Ландау. При этом выражение (7.128) принимает вид —,', ("+ '.)-+ Поскольку мы предположили, что 0 ве.иико, величина ь; также ве- 2 лика; поэтому во втором члене ~'; можно заменить на 012.
Таким образом, мы имеем 8 (7 ИО) 2 2 252 7.Я. Затухание Ландау на ионах или се' 2КТ; ( 3 2Т, ') ХКТ, + 3КТс 1 ) Ае М С,2 2Тс/ М Это есть не что иное, как дисперсионное уравнение (4.41) для ионнозвуковых волн при ус = 3, обобщенное на случай произвольных Е. Подставим затем выражения (7.129) и (7.130) в (7.128), сохранив член, отвечающий затуханию Ландау: 1 ( 3 '~ . — сс 2 2 — (1+ — 1 — 21У'и с.се е,) е 1 ( 3 ') 2 2'с — (1+ — -1 = — 11+ 1 ~/я Ос",се су', ь;=( )(1+(~ссп Ос,се 'У' Раскладывая квадратный корень в ряд, мы имеем — — ~, ес„, С).
о.ое Используя в мнимом члене выражение (7.130), мы находим приближенное выражение для декремента затухания: 1т ьс 1сн м ( и ')п~ 0(3+0)ссее се+оке (7 133) кейс кеес 1, 8 / где О == ХТг| Рс, а ссе со определяется формулой (7.131). Выражение (7.133) является асимптотическим; оно справедливсу при больших О и показывает, что с ростом О затухание уменьшается по экспоненте.
В случае когда 9 <1О, выражение (7.133) становитси неточным и затухание следует вычислять с помощью формулы (7.128), в которой сохраняется Е-функция. Для экспериментально интересной области 1 <9 <1О достаточную точность дает следующая простая аналитическая формула: 1ш сосссе со = 1,10и' ехр ( — О'). (7. 134) На рис. 7.31 сравниваются результаты расчетов по приближенным формулам (7.133) и (7.134) с точным расчетом по формуле (7.128).' Что произойдет, если к ионному затуханию Ландау добавить столкновения? Оказывается, удивительно немного.
Столкновения ионов с электронами малоэффективны, так как ионная и электронная жидкости днижутся почти совместно и трение между ними небольшое. Ион-ионные столкновения (ионная вязкость) могут привести к затуханию ионно-звуковых волн, но известно, что, несмотря на столкновения, звуковые волны хорошо распространяются в воздухе. 260 Гл. 7. Кинетическая теория !О 10-з 00! 07 7 Тг /ЕТе Рнс. 7.31. Затухание Ландау ионно-звуковых волн на ионах. Кривая А— точное решение с помощью формулы (7.!28); кривая Б — асимптотическая формула (7.133); кривая  — эмпирическая формула (7.134), справедливая в области ! <О <10.
Действительно, столкновения нарушают резонансы частиц с волной, которые обусловливают затухание Ландау, и полное затухание оказывается даже меньше затухания Ландау, если только частота столкновений не слишком велика. Таким образом, ионное затухание Ландау почти всегда является доминирующим процессом для ионных волн и зкспоненциально зависит от отношения ХТ,(Тг, Задачи 7.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
