Учебник - Введение в физику плазмы - Чен Ф. (1239320), страница 51
Текст из файла (страница 51)
В однократно ионизованной плазме из ксенона (А=!31) с Т, =1 эВ и Т; = О,! эВ возбуждается ионно-звуковая волна с длиной 1 см. Сколько времени понадобится на то, чтобы после отключения генератора амплитуда волны благодаря затуханию Ландау уменьшилась в е раз по сравнению со своим начальным значением? 7.8. В однократно ионизованной аргоновой плазме с и, ††.10'з и — з, Т,=2 эВ, Т; = 0,2 эВ возбуждается ионная волна с длиной Х =- 5 см н измеряется ее декремент затухания Ландау. Затем в плазму вводят примесь водорода с плотностью лн = апе Вычислите значение а, при котором декремент зату- хания увеличится в два раза. 7.9. В экспериментах по лазерному термоядерному синтезу кроме основного распределения электронов с плотностью и, и температурой Т, нередко встречается группа горячих электронов с плотностью па и температурой Ть.
Го- 261 7 !О. Кинетические эффекты в магнитном поле рячие электроны могут изменить затухание ионных воли н, следовательно, повлиять на такие процессы, как вынужденное брггллюэновское рассеяние. Предполагая, что л = ! для ионов с и; и Ть определите О, = Тг(7'г, Оь = = Ть!Т» гх = лаlпг, 1 — сг = пг(пг, е = т(М и /гго; = и;енегКТь а) Запишите дисперсионное уравнение для конно-звуковых волн в трехкомпонентной плазме, раскладывая в ряд электронные Я-функции.
б) Покажите, что с ростом па электронное затухание Ландау не увелнчивается заметно, если Ть » Тг. в) Покажите, что с ростом пэ ионное затухание Ландау уменьшается и что это явление можно представпть как увеличение эффективного отношения тем. ператур Тгуть 7.10. Дисперсионное уравнение для электронных плазменных волн, распростраияющнхся вдоль Вга, можно получить из диэлектрического тензора е (см. приложение Б) и уравнения Пуассона, и (е.Е) = О, где Е = — гргз. Прн этом для однородной плазмы — — ~е — ) = де=о д г' дгз гг ) ггг илн з,г =- О.
Для холодной плазмы задача 4.4 и уравнение (Б.!8) дают е,=-1 — га !ы илн ю =-ы . з з з 2 Для горячей плазмы из (7.124) имеем г = О. Испочьауя разложение 2-функции в соответствующем пределе, покажите, что это уравнение дает частоту волны нома — Гросса (выражение (4.30)1 и декремент затухания Ландау (выражение (7.70)1.
7.10. Кинетические эффекты в магнитном поле Если имеется конечное постоянное магнитное поле В, или осциллирующее магнитное поле В„то в уравнение Власова для бесстолкновительной плазмы (7.23) следует включить член и х В. Прн этом линеаризованное уравнение (7.45) заменяется уравнением — + ъ' )гтг+ — (ч Х Во) — = — — (Ег + У Х Вг) д)г д д(, д д1в д! т ду гч дт (7. 135) Движущиеся вдоль В, резонансные частицы по-прежнему вызывают затухание Ландау, если ш!й — о„„„, но теперь появляются два новых кинетических эффекта, которые связаны с компонентой скорости о„ перпендикулярной В . Один нз них в это цнклотронное затухание, которое мы рассмотрим ниже, другой — генерация циклотронных гармоник, приводящая к возбуждению колебаний, называемых обычно модами Бернштейна. 2б2 Гл. 7.
Кинетическая теория х+ в,х= — Е,е с) ! (ах — ии) гл (7.137) Если йг„не мало, то экспонента имеет различные значения на раз- ных сторонах орбиты. В соответствии с (2.7) величину х в экспо- ненте можно приближенно заменить невозмущенной траекторией х = г,д)п в,): 2 ч г !(е! г!лисс — !) т (7.138) Для функции Бесселя У„(х) производящая функция записывается в виде ег и — И)!2 2 (л 7 (7.139) Полагая х = Ьь и ) === ехр () в,(), получаем ) лг) с!и с!с! ~ 7 (лс ) ! лис) (7.140) х+о)',х-г ~ Е, Я /„(Ьь)е '(~ ""с)'. (7.141) Следующее решение можно проверить прямой подстановкой: ()гс ) е '(и ""с)) в„.
— (в — лв,) (7.142) Отсюда следует, что в движении присутствуют компоненты, частоты которых отличаются от ведущей на величину, кратную в„ и что амплитуды этих компонент пропорциональны l„(Ь, ))'Гв, — (в — пв,) 1. В случае когда знаменатель обрац(ается в нуль, амплитуда стано- Гармоники циклотронной частоты возбуждаются, когда круговое движение частицы по ларморовской орбите возмущается полями Е, и В,. В обычной гидродинамической теории пренебрегают этими эффектами, связанными с конечным и„, но они могут быть учтены до членов порядка (е гь, если ввести тензор вязкости ае. Кинетический подход является аккуратным даже при А'и'„= О (1).
Для того чтобы понять, как возникают гармоники, рассмотрим движение частицы в электрическом поле: (7.136) Прн этом уравнение движения [ср. с уравнением (2.10) ) запишется в виде 2аз 7.10. Кинетические эффекты в магнитном поле вится очень большой. Это имеет место при ит — пы, =- + го„или оэ = (и ~1) ог„где п .= О, ~ 1, ~ 2,...; иными словами, когда поле Е (х, 1) резонирует с какой-либо гармоникой основной часстоты от„амплитуда резко возрастает. В гидродинамическом пределе /тг„-э- О функцию 1„(йг„) можно аппроксимировать выражением (йг„/2)"/п1, которое стремится к нулю при всех п, кроме и = О.
При и = О коэффициент в разложении (7.142) равен т тт — г (го,— го /, что совпадает с результатом, полученным в рамках гидродинамической теории (ср. с (4.57) ) и содержащим только основную циклотронную частоту. 7.10.1. Диэлектрический тензор горячей плазмы Проведя анализ Фурье для /г (г, ч, 1) в координатном пространстве н во времени, уравнение (7.135) можно решить в случае максвелловского распределения /е (ч) и затем использовать полученные решения для /г (й, ч, го), чтобы вычислить плотность и ток, создаваемые каждым сортом частиц. Результат такого вычисления обычно выражают в виде эквивалентного диэлектрического тензора е, так что при получении дисперсионных уравнений для различных волн (см.
приложение Б) в уравнениях Максвелла 17.0 == О и т/ к В .= = рн0 можно использовать вектор смещения 0 = е Е. Алгебраические выкладки имеют устрашающие размеры, и поэтому мы их не приводим. Приведем здесь лишь частный результат, справедливый для нерелятивистской плазмы с изотропным давлением (Т, = Т1) в отсутствие дрейфа чм в нулевом порядке; этих ограничений легко избежать, но для наших целей общие формулы слишком необозримы. Таким образом, положим й =- й,х+ /г,г, причем единичный вектор г направим вдоль вектора В„; поскольку в плоскости, перпендикулярной В,, плазма изотропна, то, полагая йэ равным нулю, мы нисколько не теряем общности рассмотрения. Теперь выпишем компоненты тензора е„= е/е,: гот е ь е„„=1+ ~ — ~ Ьо ~ пв1„(Ь)2(г",„), 5 — Х гьт е — ь .„„=1+ ) —; — ', ~, ~ (п'1„(Ь)+25'[1„(Ь) — 1„'(Ьф г(~„), + В „2 — — (г.и~ — г„'оягк.э Я (7.
143) 264 Гл. 7. Кинетическая теория ыг е ьаг (2Ь)' ь — чь г — = — ~ л — ', ( — ')'" -'Ь, ~ [ь.[ь[ — ь.'[ь>)ь'[О>, 5 + — ь в„== 1 — ~ — 'е ~с„7„(Ь) ~„Л'(Г„), ь где У (ь) — плазменная дисперсионная функция, определяемая выражением (7.118), 1„ (Ь) — функция Бесселя и-го порядка мнимого аргумента, а другие величины определяются следующим образом: г о>р, — - ле,Е, е ь'влт„ рель '= (е>+ По>ьь))вьотепл, ь Гаь = е>ьаьоьепл, ь е>м ==- ! У,еВе!т, ), птепл, ь == 2К7 ь[т„ (7.144) Задача 7.11. Понажите, что в пределе нулевой температуры компоненты тензора е в выражениях (7.143) сводятся к компонентам диэлектрического тензора для холодной плазмы, представленного в приложении Б.
Ь, = — )г'лг'„, = й'„КТ„/т,е>'„. 2 В выражениях (7.143) первая сумма берется по сортам частиц я, причем предполагается, что о>р, Ь, ье и ь„зависят от з и что знак -[- определяется зарядом частиц. Второе суммирование производится по номерам гармоник и. Штрих означает дифференцирование по аргументу. Как мы и предвидели, появились функции Бесселя от параметра Ь, связанного с конечным ларморовским радиусом гь. !Замена 1„ (Ь) на 7, (Ь) происходит прн интегрировании по скоростям. ) Компоненты тензора а, отвечающие составляющей движения вдоль х, содержат функцию Я' (Ь„), которая приводит к затуханию Ландау, когда п — — — О и о>[и, ж о„п . Наличие членов с и ~ О приводит к другому возможному механизму бесстолкновительного затухания, а именно к циклотронному затуханию, которое имеет место прн (о> .+- по>,)')е, — амачи 265 730.
Кинетические эффекты в магнитном поле 7.10.2. Циклотронное затухание При определенной скорости частица, движущаяся вдоль внешнего магнитного поля В, в волне с конечным й„будет «видеть» волну со сдвинутой вследствие эффекта Доплера частотой оз — й,о, =— = -~ поз, и поэтому под действием электрического поля волны Е она будет непрерывно ускоряться (замедляться). Энергия тех частиц, которые находятся в «правильиой» фазе относительно Е„ будет увеличиваться, а тех, что в <неправильной» фазе,— будет уменьшаться. Поскольку изменение энергии есть произведение силы на путь, более быстрые ускоряемые частицы приобретут за единицу времени больше энергии, чем потеряют медленные частицы, испытывающие торможение. Таким образом, в среднем происходит увеличение энергии частиц за счет энергии волны, и волна затухает. Этот механизм совсем не тот, что в случае затухания Ландау, поскольку усиление энергии происходит здесь в направлении, перпендикулярном В„ и, следовательно, перпендикулярно компоненте скорости частицы, дающей резонанс.
Такое явление, как захват, не может легко нарушить этот резонанс. Кроме того,для затухания достаточно лишь наличие резонансных частиц; нет необходимости иметь положительный наклон 1о(о,), как в слУчае затУханиЯ Ландау. Для того чтобы прояснить физический механизм 'циклотронного затухания, рассмотрим волну, у которой к = А,х + й,х, причем составляющая й, положительна. Электрическое поле Е, можно разложить на левую и правую циркулярно поляризованные компоненты, как изображено на рис. 7.32. На рис.
7.32, а показано расположение вектора Е, в точках А, В и С вдоль оси + г для левополяризованной компоненты. Так как волна распространяется в положительном направлении оси г, неподвижный электрон уви- Рис. 7.3з. Механизм Ииклотронного затухания. а — для левополяризованной компоненты; б — для правополяризованной компоненты. 266 Гл. 7. Кинетическая теория дит эти векторы сначала в точке С, потом в В, а затем уже в А; следовательно, он увидит поле Е, имеющее левое вращение. При этом электрон не будет ускоряться, поскольку его ларморово вращение является правосторонним (по часовой стрелке). Однако, если бы скорость электрона в направлении г была больше, чем у волны, то он увидел бы векторы в А, В и С, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
