Учебник - Введение в физику плазмы - Чен Ф. (1239320), страница 44
Текст из файла (страница 44)
При наличии столкновений с нейтральными атомами столкновительный член в уравнении (7.19) можно приближенно записать в виде (дГ/д1), = (Ä— 1')/т, (7.24) где 7'„— функция распределения нейтральных атомов, а т — характерное время между столкновениями. Это выражение называют столкнювительным членом Крука. Оно является кинетическим обобщением столкновительного члена в уравнении (5.5). Для случая видим, что в (7.21) последние три члена записываются как (Г!т) (д~!дч). В разд.
3.3 мы показали, что полную производную с()'!Ж можно интерпретировать как скорость изменения 7 в системе отсчета, движущейся с частицами. Отличие состоит в том, что теперь мы должны рассматривать частицы, движущиеся в шестимерном (г, ч)-пространстве; с()7Ж в данном случае представляет собой конвективную производную в фазовом пространстве. Согласно уравнению Больцмана (7,19), до тех пор пока отсутствуют столкновения, фЫг =- О. То, что это утверждение справедливо, можно видеть из рис. 7.8 для одномерного случая.
Все частицы, попадающие в элемент дх до„, обозначенный на рис. 7.8 через А, имеют скорость о„и координату х. Плотность частиц в фазовом пространстве х, о„равна ) (х, о,). С течением времени эти частипы благодаря наличию у них скорости о„переместятся в другую точку х, и их скорость изменится под действием приложенных к ним сил, Поскольку силы зависят лишь от х и о„ все частицы в элементе А ускорятся на одну и ту же величину. Через время г все частицы окажутся в элементе В фазового пространства. Поскольку все частицы движутся вместе, плотность в элементе В будет такая же, как и в А. Однако если в системе имеются столкновения, то частицы могут рассеиваться и Г' может измениться благодаря наличию члена (д)тдг),. В достаточно горячей плазме столкновениями можно пренебречь.
Если, кроме того, сила Г полностью электромагнитная, то уравнение (7.19) принимает часткый вид: 225 7,2. Уравнения кинетической теории Рис. 7.12. Траектории электронов и линии постоянных 7 в системе отсчета, связанной с волной. В этой системе нартина неподвижна. Лиаграммы такого типа, типичные для конечных распределений 1, представить себе легче, чем распределения в виде б-функции, показанные на рис. 7.10. Рис.
7.8. Группа точек в фазовом пространстве, описывающая положения и скорости группы частиц, сохраняет плотность в фазовом пространстве по мере своего,перемещения со временем, Рис. 7.10. Изменение траектории пучка, показанной на рис. 7.9, когда в электронном пучке возникает плазменная волна, Картина движется вправо с фазовой скоростью волны. Для наблюдателя, находящегося в системе отсчета, связанной с волной, картина будет неподвижна, а электроны будут двигаться вдоль кривой со скоростью аз †.
Рис. 7.9. Представление траектории пучка электронов с одинаковыми скоростями пз в одномерном фазовом пространстве. Функция распределения 7'(х, оз) бесконечна иа линии о = иэ и равна нулю вне ее. Линия о = оз является также траекторией отдельных электронов. Направление их движения показано стрелкой. Рис. 7.11, Распределение потепциата плазменной волны, каким его видит электрон. Распределение движется со скоростью оф. Электрон, имеющий малую скорость относительно волны, будет захвачен в потенциальную яму и начнет двигаться вместе с волной.
Гл. 7. Кинетическая теория 226 Рис. 7.13. Линии уровня в фазовом пространстве для электронов в случае двухпотоковой неустойчивости. Заштрихованная область, которая первоначально представляла собой в лабораторной системе область малых скоростей, не содержит электронов. По мере того как развивающаяся неустойчивость выходит за линейную стадию, эта область фазового пространства закручивается н принимает вид, напоминающий «водяной мешокю [Из работы: Вега Н.
й., 7Ч«е!зоп С. Е„[«одет[э К, 1'., Рйуз. Р!пЫз, 13, 986 (1970).1 кулоновских столкновений уравнение (7.19) можно записать в виде — — .(~(Лч)): Ябч бч)). (7.25) дГ дч 2 дчдч Это уравнение называется уравнением Фоккера — Планка; оно учитывает только парные кулоновские столкновения (бч — изменение скорости при столкновении) и представляет собой более короткую форму записи достаточно сложного выражения.
Тот факт, что в отсутствие столкновений г[ПЖ = О, означает, что при своем движении в фазовом пространстве частицы следуют вдоль линий постоянных 7'. В качестве примера того, как могут быть использованы зти контуры, рассмотрим неустойчивость в системе плазма — пучок, рассмотренную в равд. 6.6. В невозмущен- 227 7.3. Вывод гидродинамических уравнений 7.3.
Вывод гидродинамических уравнений Гидродинамические уравнения, которые мы использовали выше, являются просто моментами уравнения Больцмана. Низший мо- мент получается посредством интегрирования уравнения (7.19), когда Г представляет собой силу Лоренца: д), à — г(ч+ ~ ч 7)с(ч+ — ~ (Е+ ч х В) — г(ч= ~ ~ — ) г(ч о дг* г ' д) дГ иг дч д дг с (7.26) Первый член можно записать в виде д) д г дп — г(ч=- — 1)г(ч= — ° сЧ дг д1 (7.27) ной плазме все электроны имеют скорость пв и линия постоянных Г является прямой (рис. 7.9). На рисунке функция 7" (х, н,) представляет собой стенку, поднимающуюся от плоскости бумаги вдоль линии о„== о,. Электроны движутся вдоль этой прямой. При возникновении волны ее электрическое поле Е, вынуждает электроны изменять свою скорость н„ при движении их вдоль траектории.
При этом на траектории развивается синусоидальная рябь (рис. 7,10). Эта рябь перемещается с фазовой скоростью волны, а не со скоростью частиц. При своем движении относительно волны частицы остаются на кривой. Если при увеличении амплитуды волны напряженность Е, становится очень большой, а столкновения при этом происходят редко, то некоторые электроны будут захвачены в электростатический потенциал волны. В координатном пространстве потенциал волны имеет вид, показанный на рис. 7.11. Функция 7 (х, о,) будет максимальной в тех областях фазового пространства, в которых имеется потенциальная яма (рис. 7.!2). Поскольку кривые постоянной Г являются также траекториями электронов, видно, что некоторые электроны в фазовом пространстве движутся по замкнутым орбитам; именно эти электроны оказываются захваченными.
Захват электронов — это нелинейное явление, которое не удается исследовать с помощью непосредственного решения уравнения Власова. Однако расчеты с помощью ЭВМ позволяют рассчитать траектории электронов, причем результаты их расчетов нередко имеют вид кривых, аналогичных изображенным на рис, 7.12. Пример'получаемых при этом численных результатов показан в виде графиков на рис. 7.13. Данный пример относится к случаю двухпотоковой неустойчивости, когда линии постоянных Г' первоначально имели щель вблизи н„= О, которая разделяла электроны, движущиеся в противоположных направлениях. Эволюция этой незаполненной щели во времени показана на рис.
7.13 в виде заштрихованных областей. Мы видим, что неустойчивость искажает 7" (ч) столь сложным образом, что едва ли все это можно описать аналитически. 228 Гл. 7. Кинетическая теория Поскольку ч — независимая переменная и, следовательно, на нее не действует оператор ~, второй член дается выражением ) ч е//с/ч =-т/ ) /»с(ч =г/~(п») =г/ (пи), (7.28) где средняя скорость ц по определению есть скорость жидкости.
Член, в который входит Е, обращается в нуль, в силу того что Š— дч = ~ — . (/Е) Г(ч = ~ /Е Ж = О. (7.Ю) д/ Г д дч в дч а Интегрирование полной дивергенции дает среднее значение величины/Е на поверхности при о = оо, которое равно нулю, если 7' — а 0 быстрее, чем о ' при 1-а оо, поскольку это необходимое условие для любого распределения с конечной энергией. Член с ч х В можно записать следующим образом: (» х В) — й = ~ — ()ч х В)с(»вЂ ~ / — х (ч х В) бч = О.
д/ Г д д дч 3 дч дч (7.30) Первый интеграл снова может быть преобразован в поверхностный интеграл. Максвелловская функция распределения / при о — а- оо спадает быстрее, чем любая степень величины о; следовательно, этот интеграл ранен нулю. Второй интеграл обращается в нуль, поскольку вектор ч Х В перпендикулярен д/дч. Наконец, четвертый член в уравнении (7.26) оказывается тоже равным нулю, поскольку столкновения не могут изменить полное число частиц (рекомбинация здесь не рассматривается). Таким образом, уравнения (7.27) — (7.30) сводятся к уравнению непрерывности — +р (пп)=0.
(7.31) дс Следующий момент уравнения Больцмана получается умножением уравнения (7.19) на тч и интегрированием уравнения по с/ч. Мы имеем т ~ ч — с/ч+) тч(ч ц)/с(ч+с/)»(Е+» х В) — й = д/ Г Г д/ де дч = т ~ ч ( — ) й. (7.32) Правая часть этого уравнения представляет собой изменение импульса вследствие столкновений и приводит к члену РО в уравнении (5.58). Первый член в левой части уравнения (7,32) записывается в виде т ~ » — с(» = т — ~ »~с(ч= — т(пп). (7.33) д/ д Г д дс дГ де 229 7.3. Вывод гидроиинаничесних уравнений Третий интеграл в (7.32) можно представить следующим образом: ч(Е+'и х В) — с(ч==- ~ — Яч(Е+ч х В)) г(»в д( г д дч з дч — ~Ь вЂ” (Е+ч х В)с(ч — ~)(Е+ч х В) — чс(ч.
(7.34) д г д дч дч Здесь в правой части первые два интеграла обращаются в нуль по тем же причинам, что и выше, а дч,'дч является единичным тензором !. Следовательно, д ~ ч (Е+ ч х В) с(» = — д ~ (Е+ ч х В) ) г1» =- — с)п (Е + » х В). д) дч (7.35) Окончательно, чтобы вычислить второй интеграл в уравнении (7.32), используем сначала тот факт, что ч — независимая переменная, не связанная с Ч, и запишем ) ч(».Ч)'1 г1»=) Ч (гхгч) с1»=Ч г~1ччг(ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
