Учебник - Введение в физику плазмы - Чен Ф. (1239320), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Поскольку величина дг моделирует эффекты, обусловленные кривизной силовых линий магнитного поли, устойчивость системы зависит от знака этой кривизны. Если силовые линии выгнуты в сторону плазмы, то такая конфигурация устойчива. И наоборот, когда силовые линии охватывают плазму, система оказывается неустойчивой. При достаточно малых й (больших длинах волн) инкремент неустойчивости дается выражением 2!3 8.8. Резистивные дрейфовые волны 6.8.
Резистивные дрейфовые волны тйо — — чрз — — (КТ~!еВо) (по~по) у, т„= то, = — (КТ,)еВо) (по)по) у. (6.56) (6.57) По аналогии с желобковой неустойчивостью можно ожидать, что фазовая скорость дрейфовых волн должна быть порядка оо; или од,. Мы покажем, что о>/йз действительно приближенно равна оо,. В дрейфовых волнах величина й, ~ О, поэтому электроны могут двигаться вдоль В,, в результате чего оии должны прийти в состояние термодинамического равновесия (ср.
обсуждение этого вопроса при анализе нижнегибридных колебаний в равд. 4.!0). Рис. 8.14. Физический механизм дрейфовой неустойчивости. Простой пример универсальной неустойчивости дает возбуждение резистивной дрейфовой волны. В отличие от связанных с силой тяжести желобковых мод в дрейфовых колебаниях волновой вектор к имеет малую, но конечную составляющую вдоль магнитного поля В,, Поэтому поверхности постоянной плотности в этих осцилляциях напоминают слегка закрученные желоба (рис. 6.!3).
Если увеличить участок поверхности, обведенный на этом рисунке прямоугольником, и выпрямить его, то он будет выглядеть так, как показано на рис. 6. !4. Единственная сила, которая может вызвать неустойчивость,— это градиент давления КТчпо (для простоты предполагаем, что КТ = сопз!). В этом случае скорости дрейфовых движений в нулевом приближении по амплитуде волн записываются (при Е„== 0) в виде 214 Гл, 6.
Равновесие и устойчивость Следовательно, электроны должны удовлетворять уравнению Больц- мана (см. равд. 3.5); и,!по =- ефт) КТ,. (6.58) Обратимся к рис. 6.14. В точке А плотность плазмы будет выше, чем в состоянии равновесия, величина п, ) 0 и, следовательно, ф, )О. По той же причине в точке Б п, и ф, отрицательны. Раз между точками А и Б имеется разность потенциалов, должно существовать и электрическое поле Е,. Как и в случае желобковой неустойчивости, поле Е, вызывает дрейф частиц вдоль оси х со скоростью чт =- Е, х Во!Во.
В процессе распространения волны вдоль оси у наблюдатель, находящийся в точке А, будет видеть, что и, и ф, со временем осциллируют. Скорость дрейфа и, также будет осциллировать со временем; фактически именно движение со знакопеременной скоростью и, и вызывает колебания плотности. Поскольку градиент плотности тупо направлен в сторону отрицательных х, из-за дрейфа со скоростью чт через точку А будет проходить плазма разной плотности. Следовательно, плазма в дрейфовой волне совершает колебания вдоль оси х, хотя сама волна распространяется в направлении у. Перейдем к количественным оценкам.
Запишем величину отв в виде (6.59) Ев)Во = ! Йвфи Вв Будем предполагать, что о,„не зависит от х, а й, сс, й„, т. е. что жидкость является несжимаемой и колеблется вдоль осй х. Вычислим, какое число ведущих центров частиц и, вносится в единицу времени в 1 м' плазмы, расположенный вблизи точки А. Очевидно, дпт/д1 = — о,„дпо1дх. (6.60) Это условие представляет собой уравнение непрерывности для ведущих центров, а они, естественно, не совершают дрейфа со скоростью ио. Член поЧ и, обращается в нуль из-за сделанных нами ранее предположений.
Разница между плотностью ведущих центров и плотностью частиц и,, вообще говоря, должна приводить к появленив поправок в уравнении (6.60), однако эти поправки имеют более высокий порядок и ими можно пренебречь. Используя соотношения (6.58) и (6.59), запишем уравнение (6.60) в виде (6.61) — ! свит = ! йвф,по!Во = — (топе(еф,УКТ,).
Таким образом, со1й„= — (К Т,)еВа) (поЧпо) =- оо,. (6.62) Следовательно, рассматриваемые нами волны движутся со скоростью, равной скорости диамагнитного дрейфа электронов. Именно поэтому они называются дрейфовыми волнами. Скорость этих волн направлена вдоль оси у или (в цилиндрическом случае) по азимуту. б.б, Релнетнвные дрейфовые волны Кроме Ав волновой вектор к имеет и составляющую й,. По причинам, которые здесь не рассматриваются, величина й, должна удовлетворять условиям йе(( нв Оыпл, ~ (( ыА ((Е'депп,е (6,63) (6.64) где ! <е„ = Йвор„ а (6.65) о~ = Й,(/г,!Й„) ео,ты.
(6.66) Если а1 )) ы, то уравнению (6.64) можно удовлетворить только при ы ж в„. В этом случае в первом члене уравнения частоту ы можно заменить на «>„, и тогда (6. 67) Отсюда видно, что величина 1т (ы) всегда больше нуля н пропорциональна удельному сопротивлению т). Следовательно, дрейфовые волны неустойчивы в любой плазме, имеющей градиент плот- Чтобы понять, почему дрейфовые волны являются неустойчивыми, нужно учесть, что компонента скорости ионов о„не равна в точности Е„)Ве. Существуют поправки к этой величине, связанные с поляризационным дрейфом (2.66) и дрейфом из-за неоднородности электрического поля (2.59). Под их влиянием распределение потенциала ф, в дрейфовых колебаниях отстает по фазе от распределения плотности и, (задача 4.1). Из-за этого сдвига скорость ч, будет направлена нз плазмы на тех участках, где плазма уже сдвинута наружу (и наоборот); поэтому возмущения в дрейфовых колебаниях будут нарастать.
Если бы дополнительного фазового сдвига не было, то разность фаз между ч, и ф, составляла бы 90', как показано на рис. 6.!4, и дрейфовые волны были бы чисто осциллирующими. Роль электрического сопротивления в дрейфовых волнах состоит в том, что оно не позволяет электронам, движущимся вдоль В„ полностью экранировать электрическое поле волны Е,. Точнее, если расстояние между гребнем волны и впадиной (112) Х, достаточно велико, а частота электрон-ионных столкновении значительна, то в системе из-за сопротивления среды может возникнуть яма потенциала и, следовательно, отличное от нуля электрическое поле Е,. Дисперсионное уравнение для резистивной дрейфовой волны с учетом этих эффектов можно приближенно записать в виде 216 Гл.
б. Равновесие и устойчивость ности. К счастью, инкремент этой неустойчивости мал, а сделав поле В, неоднородным, ее развитие вообще можно остановить. Заметим, что уравнение (6.62), описывающее желобковую неустойчивость, и уравнение (6.64) для дрейфовой неустойчивости по своей структуре разные. В первом из них коэффициенты вещественны, и ю будет комплексной только в том случае, если дискриминант квадратного уравнения отрицателен. Это типичная реактивнал неустойчивость. Коэффициенты второго уравнения комплексны, поэтому ю будет комплексна всегда — это характерная особенность диееипативнай неустойчивости.
Задача а.!О. Водородная плазма помещена в тор, болыпой радиус которого и = = 50 см, а малый а == 2 см. Параметры плазмы следующие: Ве — — ! Тл, КТ, = 10 зВ, КТ; = — 1 зВ, пе =- 10гз м — '. Оцените инкременты для резистивной дрейфовой волны н гравитационной желобковой моды, считая, что по(л„=а!2, К=(КТ, +КТ;)уМЙ, а обе волны характеризуются азимутальным числом гл = 1. (Обычно формулы, полученные для систем плоской геометрии, можно применять к цилиндрическим системам, положив йк = = маг.) 6.9. Неустойчивость Вейбеля !) В качестве примера неустойчивости, раскачиваемой из-за анизотропии функции распределения, рассмотрим неустойчивость Вейбеля, физическая интерпретация которой предложена Б.
Фридом. Эта неустойчивость сопровождается ростом возмущений магнитного поля, поэтому она может также служить примером электро- Рис. 6.15. Физический механизм неустойчивости Вейбеля. ') Честь н слава старому другу Эрику Вейбелю (!925 — 1983). б 9. Неустойчяяость Вейбсля 2!7 магнитной неустойчивости. Пусть ионы покоятся, а температура электронов, движущихся вдоль оси у, выше, чем при движении в х- и г-направлениях.
В этом случае в плазме имеется избыток быстрых электронов, движущихся вдоль оси у, однако вследствие того, что вверх движется столько же частиц, сколько и вниз, полный ток равен нулю (рис. 6А5). Пусть из шумового фона спонтанно возникло распределение магнитного поля В = В,х соз ях. Тогда сила Лоренца — гч Х В искривит траектории электронов так, как это показано на рисунке штриховыми линиями, и в результате частицы, движущиеся вниз, будут собираться в слое А, а электроны, движущиеся вверх,— в слое Б.
Возникающие при этом токовые слои с ! = — епеч, будут сфазированы в точности таким образом, чтобы усилить возникшее вначале распределение магнитного поля, и возмущение В будет расти. Хотя в общем случае анализ этой неустойчивости требует кинетического рассмотрения, в пределе оя -= о„„, о„= о, =- О результат можно легко получить из этой физической картины. Инкремент при этом равен у = соя о тепл (с. Глава 7 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 7.1. Функция распределения 7(н) Гидродинамическая теория, используемая нами до сих пор, представляет собой простейшую теорию плазмы; нам действительно повезло, что для описания большинства наблюдаемых явлений это приближение является достаточно точным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
