Учебник - Введение в физику плазмы - Чен Ф. (1239320), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Диамагнитная петля представляет собой устройство, которое применяется для измерения давления плазмы путем регистрации диамагнитного эффекта (рис. 36.5). Такая петля действует следующим образом; при возникновении плазмы а ней нарастает диамагнитиый ток и уменьшается В; как следствие уменьшается магнитный поток Ф через поверхность петли. В результате этого в контуре индуцируется ЭДС, которая затем усредняется по времени с помощью ВС-цепочки (рис. 36.5).
а) Покажите, что ) )гс((=- — Л'5Ф = — Л'~ Ва 55, Ва =  — В . По петле г( аилтно Индуиироаа нное нинуанжение ы Рис, 36,5. 203 6.5. Классификация неустойчивостей б) Пользуясь методом, применявшимся в предыдущей задаче, и полагая, что л (г) =- прехр [ — (г'гз)'], найдвте Ва (г). При вычислении интеграла считайте, что Р « 1, и поэтомУ в интегРале величинУ В можно заменить на Вз. в) покажите, что ) ]глг =- — Упг йво, где и определяется выражением (6.8), 1 О 6.5.
Классификация неустойчивостей При исследовании волн в плазме мы предполагали, что она находится в невозмущенном состоянии полного термодинамического равновесия, т. е. что частицы имеют максвелловское распределение по скоростям, а плотность и магнитное поле являются однородными. В этом состоянии энтропия системы максимальна, в ней нет источника свободной энергии, который мог бы возбуждать волны, и поэтому нам пришлось рассматривать колебания, генерируемые в плазме внешними источниками.
Исследуем теперь такое состояние плазмы, в котором она не является полностью термодинамически равновесной, но находится в равновесии в том смысле, что все действующие на нее силы компенсируют друг друга, а уравнения движения могут иметь стационарное решение. Свободная энергия, имеющаяся в системе, может привести к самовозбуждению волн; при этом равновесие плазмы является неустойчивым.
Неустойчивость всегда представляет собой такое движение, которое уменьшает свободную энергию плазмы и переводит ее в состояние, более близкое к термодинамическому равновесию. Неустойчивости можно классифицировать в соответствии с видом свободной энергии, приводящей к их раскачке. Существует четыре основных типа неустойчивостей.
1. Потоковые неустойчивости. В этом случае через плазму либо движется пучок частиц высокой энергии, либо протекает ток, вследствие чего частицы разных сортов движутся относительно друг друга. Энергия этого движения и используется для возбуждения волн; колебания усиливаются за счет запаса кинетической энергии, который имеется в начальном невозмущенном состоянии. 2. Неустойчивости Релея — Тейлора. В этом случае в плазме существует резкая граница или градиент плотности; иными словами, плазму нельзя считать однородной.
Кроме того, к плазме должна быть приложена внешняя сила неэлектромагнитного характера, которая и вызывает неустойчивость. Аналогию с неустойчивостями такого типа можно провести на примере перевернутого стакана с водой (рис. 6.7). Хотя плоская поверхность раздела между водой и воздухом находится в состоянии равновесия в том смысле, что вес воды уравновешивается силой атмосферного давления, это равновесие является неустойчивым. Любой пузырек, появившийся на поверхности, будет стремиться вырасти за счет потенциальной энергии поля силы тяжести. Как хорошо известно 204 Гл. 6, Равновесие и устойчивость Рнс. 6.7.
Гидродинамическая неустойчивость Релея — Тейлора возникает в том случае, когда тяжелая жидкость покоится на легкой. из гидродинамики, это явление всегда имеет место в том случае, когда слой тяжелой жидкости лежит на более легкой. 3. Универсальные неустойчивости. Когда плазма тем или иным способом удерживается в ловушке, то даже при отсутствии сил, вызывающих ее движение, например электрических или гравитационных, плазма все равно не находится в полном термодинамическом равновесии. Давление плазмы стремится ее расширить, а связанная с этим процессом энергия может высвободиться в виде неустойчивости. Такого рода свободная энергия всегда присутствует в любой ограниченной плазме, поэтому подобные неустойчивости называются универсальными.
4. Кинетические неустойчивоспш. В гидродинамической теории предполагается, что распределения частиц по скоростям являются максвелловскими. Если же функции распределения отличны от максвелловских, то в плазме существует отклонение от термодинамического равновесия и вследствие анизотропии распределений по скоростям в ней могут раскачиваться неустойчивости. Например, если Та эь Т, то может возникнуть неустойчивость, которая называетси модифицированной неустойчивостью Харриса. В пробкотронах из-за наличия конуса потерь существует дефицит частиц с большим отношением ойУо,; эта анизотропия приводит к так называемой «конусной» неустойчивости.
В последующих разделах будут приведены простые примеры каждого из упомянутых выше типов неустойчивостей. Отметим, что неустойчивости, раскачиваемые вследствие анизотропии„нельзя описать с помощью гидродинамической теории и их детальный анализ выходит за рамки этой книги. Не все неустойчивости одинаково опасны с точки зрения удержания плазмы. Скажем, высокочастотные неустойчивости, в которых раскачиваются волны с частотами, близкими к от», не могут влиять на движение тяжелых ионов.
А вот низкочастотнйе неустойчивости с го с( ьа, могут привести к аномальным амбиполярным потерям из-за Е Р,' В-дрейфа. Неустойчивости с ьз ж ьа, не приводят к эффективному переносу частиц поперек магнитного поля, однако являются опасными в пробкотронах, где убыль частиц происходит из-за их диффузии в конус потерь в пространстве скоростеи. 6.6. Двукиотоковвя неустойчивость 6.6. Двухпотоковая неустойчивость 265 Поскольку все скорости частиц ч,, направлены вдоль оси х, мы опу- стили в уравнениях индекс х. Уравнение непрерывности для ионов дает дпо,(д(+ пор чп = О, и г, = (й(а) попп = ((еп,ЫМа') Е.
(6.24) Заметим, что другие члены вида ту(пч!) обращаются в нуль, поскольку Чио = чон = О. Уравнение непрерывности для электронов можно записать в виде дп оlд! + иор 'и оь + (чо ' 7) и ! = 0 ( ! а + ! иоо) !1м + 1 ипопл = О" (6.26) (6.26) таким образом, им —.— Йпопп1(а — Йпо) = — (еппоЕ1т(а — кпо)о. (6.27) Поскольку неустойчивые волны представляют собой высокочастотные плазменные колебания, мы должны пользоваться не плазменным приближением, а уравнением Пуассона: во ч'. Е, = е (пи — и,,), 1 ! ! 'кеоЕ = е (1 еп,йЕ) ! — ! ..,1.
(6.28) (6.29) В качестве простого примера потоковой неустойчивости рассмотрим однородную плазму, в которой ионы неподвижны, а электроны движутся относительно них со скоростью ч,. Иными словами, наблюдатель находится в системе отсчета, движущейся вместе с ионами. Пусть плазма холодная (КТ, = КЧ', = 0), а магнитное поле отсутствует (В, = 0). Линеаризованные уравнения движения частиц запишутся в этом случае в виде Мпо'(дчп!д1) = еп,Е„ (6.19) тпо (дч„)д1+ (чо ту) ч,!) =. — еп, Е,.
(6.20) В уравнении (6.20) мы пренебрегли членом (ч„ту) и,, полагая, что скорость чо постоянна во всем объеме плазмы. Слагаемое (чо ч) ч, в уравнении (6.19) отсутствует потому, что мы считаем ча = О. Будем рассматривать электростатические волны в виде Е, = Ех ехр" (! (их — а!)), (6.21) где х — единичный вектор, направленный вдоль ч, и к.
Уравнения (6.19) и (6.20) можно переписать следующим образом: — 1 аМп чп = еп,Е„чп = (! е!Ма) Ех, (6 22) тио( — 1 а+1йоо) ч„= — -еп„Е;, ч„= — (! ест) Ех((а — йио). (6.23) Гл. 6, Равновесие и уетойчивоеть Разделив обе части последнего выражения на !йеоЕ, приходим к следующему дисперсионному уравнению: 2~ Л2 ! (6.30) Выясним, устойчивы или неустойчивы колебания с вещественными значениями 22.
Умножая предыдущее уравнение на общий знаменатель, можно получить уравнение четвертого порядка относительно от. Если все его корни то; вещественны, то каждый из них отвечает колебанию Е, = Ех ехр И (йх — от;1) ). Если же некоторые из корней комплексиы, то они появляются в виде пар комплексно-сопряженных величин. Запишем зти комплексные корни как о2! — ет, +!тп (6.31) где а; — Ке (оту), у! —— 1т (от|).
Таким образом, зависимость поля от времени имеет вид Е,.—.= Ех ехр (у,д) ехр [!(йх — и24)). (6.32) Если 1ш(о2;) )О, то амплитуда волны экспоненциально нарастает со временем. Отрицательное значение 1ш (ы;) соответствует затухающей волне. Поскольку оту появляются в виде пары комплексно- сопряженных корней, один корень из этой пары обязательно отвечает неустойчивой волне (если только оба корня не являются вещественными).
Корни с отрицательными мнимыми частями не описывают самовозбуждающиеся волны и потому не представляют интереса. Анализ дисперсиоиного уравнения (6.30) можно провести, и не решая уравнения четвертого порядка. Определим величины от2 тор У )тво(о>р (6.33) Подставляя эти величины в уравнение (6.30), его можно переписать в виде ! =- -1- = — г (х, у). (6.34) Мхе (х — у)2 Для любого у можно построить график Е (х, у) в виде функции от х. Эта функция имеет сингулярности при х =- 0 и при х — у (рис. 6.8). Точки пересечения этой кривой с прямой Р (х, у) .= — 1 дают значения х, которые удовлетворяют дисперсионному уравнению.
На примере рис. 6.8 видно, что таких точек четыре, и поэтому дисперсионное уравнение имеет четыре вещественных корня о2;. Если, однако, взять меньшее значение у, то зависимость Е (х, у) будет выглядеть так, как показано на рис. 6.9. Теперь имеются лишь две точки пересечения и, следовательно, два вещественных корня. Другие два корня должны быть комплексными, и один из них будет обязательно соответствовать неустойчивой волне. Таким образом, при 6.6. Двухпотоковая неустойчивость о о о у л о у л Рис. 6.8.
Функция с (х, у) для двух- Рис. 6як Функция с" (х, у) для двух- потоковой неустойчивости. Плазма потоковой неустойчивости. Плазма Устойчива. неустойчива. достаточно малых мое плазма становится неустойчивой, а если скорость па задана, плазма всегда неустойчива относительно длинноволновых колебаний.
Если тп!М (( 1, то максимальный инкремент неустойчивости, определяемый из (6.30), равен 1ш (оз/ьз. ) ж (и/М)' (6.35) Для реализации неустойчивости необходимо, чтобы величина лп была достаточно мала. Иными словами, чтобы при данном волновом числе й имела место неустойчивость, скорость ое должна быть достаточно мала. Это положение противоречит физическому смыслу: ведь именно движение со скоростью ор является источником энергии для неустойчивости. Парадокс возник потому, что для описания плазмы мы использовали гидродинамические уравнения в пределе КТ = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
