Учебник - Введение в физику плазмы - Чен Ф. (1239320), страница 30
Текст из файла (страница 30)
(5.3) Гл. о. Диффузия и сопротивяеиие Если теперь усреднить это соотношение по всем скоростяи максвелловского распределения, то получим величину ч.=.—. п„оп, (5.4) которую обычно и называют частотой столкновений. 5.1.2. Параметра диффузии Рассмотрим гидродинамическое уравнение, справедливое для любого сорта частиц с учетом столкновений: тп(Ыд1) =-тп(дч'д(+(» р) ч) = ~ епŠ— »р — тп»ч, (5.5) где — снова относится к знаку заряда.
Здесь предполагается, что для вычисления ч использовался процесс усреднения. Нам нет необходимости вникать в детали этих вычислений, достаточно считать, что они приводят к корректному уравнению (5.5). Это уравнение будет полезно только в том случае, если считать, что и =— =- сопя(. Рассмотрим стационарное состояние, в котором д»7д1 = — О.
Пусть ч достаточно мала (или ч достаточно велика), тогда за время между столкновениями элемент жидкости не успеет сместиться в области, в которых Е и Чр сильно отличаются от исходных и конвективная производная дч~г(1 тоже будет мала. Приравнивая нулю правую часть уравнения (5.5), для случая изотермической плазмы (Т = сопз() получаем ч - (~ епŠ— КТ»п)тп» =- +.
(е''тч) Š— (КТ1тч) (Чп1п). (5.6) Множители перед Е и цп,'и в этом соотношении называются соот- ветственно подвижностью и коэффициентом диффузии: (5.7) р —. (д Пэпч (подвижвость), О = КТ(тч (коэффицисит диффузии). (5.8) Эти величины для разных сортов частиц различны. Заметим, что 1) измеряется в единицах м'с. Коэффициенты переноса )ь и П связаны соотношением Эйнштейна: (5.9) Используя эти выражения, формулу для потока частиц1-го сорта Г; можно представить в виде Г;=-.пч; =- ~ р;пŠ— Врп, ~ 157 5.2.
Распад плазмы вследствие диффузии Частным случаем этого соотношения является закон диффузии Фика, который имеет место в том случае, если Е = 0 или же если частицы не заряжены, и р =- 0: Г = — Щп (закон Фида). (5. 11) Это уравнение отражает тот простой факт, что диффузия представляет собой процесс случайного блуждания.
При этом поток частиц из области большей их концентрации в область меньшей концентрации возникает благодаря лишь тому, что из объема с более высокой плотностью начинает свое движение болынее число частиц. Очевидно, поток частиц должен быть пропорционален градиенту их плотности. В плазме закон Фика выполняется не всегда, поскольку в ней могут существовать согласованные движения (плазменные волны), под действием которых плазма уже не будет расширяться чисто хаотическим образом. 5.2. Распад плазмы вследствие диффузии 5.2.1. Амбиполяряая диффузия Рассмотрим, как распадается плазма, созданная в контейнере, из-за диффузии на его стенки. Когда ионы или электроны достигают стенки, они у нее рекомбннируют. Следовательно, плотность плазмы у стенок почти равна нулю.
Поведение плазмы описывается гидродинамическими уравнениями и уравнениями непрерывности. Пусть распад идет медленно, тогда в уравнении непрерывности можно удержать только временную производную. В уравнении движения (5.5), наоборот, при достаточно высокой частоте столкновений временнбй производной можно пренебречь. Поступая таким образом, мы приходим к уравнению (дп1д1)+т7 Г; =О, (5.12) где Г; определяется формулой (5.10).
Ясно, что если бы выполнялось неравенство ГзФ Г„то очень скоро в плазме возникло бы сильное разделение зарядов. Однако если размеры плазмы много больше дебаевского радиуса, то плазма должна оставаться квази- нейтральной, поэтому следует ожидать, что скорости диффузии ионов и электронов будут как-то подстраиваться друг к другу, так чтобы потоки этих частиц были одинаковы. Нетрудно понять, как это происходит.
У более легких электронов тепловая скорость выше, поэтому они первыми стремятся покинуть плазму. В плазме остается положительный заряд, вследствие чего в ней возникает электрическое поле такой поляризации, что оно стремится замедлить вынос электронов и увеличить потери ионов. Напряженность такого поля Е можно найти, положив Г, = Г, = Г. Как следует из уравнения (5.10), 188 Гл. 8. Диффузия и сопротивление Г =- Р;пŠ— Репп = — Р,пŠ— Р,рп, Е = ((Ре — Р,ЯР~+ Р,)! (тутпп). Таким образом, поток Г можно записать в виде Ре !(Ре Ре)йрт+ Ре)! туп Ре''оп == т7п (РеРе РеРе РРе Ре~ ~е)'(Рс -г Ре) == еп (РеРе+ Ре е)е(Ре+ Ре) (5 15 Это соотношение представляет собой закон Фнка с новым коэф- фициентом (5.13) (5. 14) ! Р.—= (РеР.+РЮ~(Рт+Р.) (5.
16) дп(д( = Рдея (5.17) Величину Р, легко оценить, если считать, что Р,,') Рь Из уравнения (5.7) видно, что это действительно так. Поскольку частота столкновений т пропорциональна тепловой скорости, а та в свою очередь пропорциональна тп '', то Р гп-и', следовательно, в приближении Р, )) Р; из уравнений (5.16) и (5.9) имеем Р.'= Р;+ (Р;~Р,)Р, = Р;+ (Т,)Т,) Рь (5.!8) При Т,= Те Р,ж2Рь (5.!9) Таким образом, нз-за наличия электрического поля, вызванного разделением зарядов, коэффициент диффузии ионов увеличивается в два раза, скорость же совместной диффузии определяется в основном менее подвижными ионами. 5.2.2. Диффузия в слое Уравнение диффузии (5.17) легко решается методом разделения переменных.
Положим п(г, 1)-= Т(1) 5(г). При этом уравнение (5.17) принимает внд 5 (с(Т1д() =- РТтт (5. 21) илн (УТ)(дт)д() =(Р(75) и'5 (5.22) (здесь индекс а мы опустили). Поскольку левая часть этого равенства зависит только от времени, а правая — от пространственных переменных, то обе они порознь должны быть равны некоторой который называется козффициентпом амбиполярной диффузии. Если он является постоявной величиной, то уравнение (5.12) принимает простой вид: 159 константе, которую мы обозначим через — !/т. Таким образом, функция Т удовлетворяет уравнению МТЫ1 = — Т/и, (5.23) решение которого имеет внд Т=Т,ехр( — 1/т).
(5.24) Функция пространственных переменных 5 удовлетворяет уравнению 1/з5 = — (1/Рт) 5, (5,25) которое в плоской геометрии принимает вид с(з5/с/хз = — (1/Рт) 5. (5.26) Решение этого уравнения записывается следующим образом: 5 ==- А соз [х/(Рт)") + В а(п (х/(Рт)' '1. (5.27) Мы вправе ожидать, что у стенок решение будет обращаться в нуль, а внутри слоя иметь один или несколько максимумов (рис. 5.3).
Простейший вид имеет решение с одним максимумом. В этом случае из соображений симметрии в формуле (5.27) нечетное слагаемое (синус) можно опустить. Тогда из граничных условий 5 ( — В) = = 5 (В) = О следует, что 1./(Рт)' ' = зт/2, или т =-. (21 /и)з/Р. (5.28) О +Ь Рис. 5.3. Профили плотности при различных временах в задаче о диффузии плазмы на стенки. 5.2.
Распад плазмы вследствие диффузии Рис. 5.4. Начальное неоднородное распределение плотности плазмы и его эволюция со временем Видна быстрое исчезновение диффузионных мод высоких порядков. 1бо Гл. б. Диффузия н сопротивление Используя соотношения (5.20), (5.24), (5.27) и (5.28)„имеем и = л, ехр ( — 11т) соз (лх121.). (5.29) Это решение называется маинизшей диффузионной модой. В этой моде плотность плазмы внутри слоя распределена по косинусу, а максимум плотности экспоненциально уменьшается со временем. Как и следовало ожидать, т увеличивается с ростом Е и обратно пропорционально коэффициенту диффузии .О.
Существуют, разумеется, диффузионные моды и более высоких порядков, имеющие несколько максимумов. Пусть начальное распределение плотности таково, как показано на рис. 5.4 (верхняя кривая). Функцию, описывающую это распределение, можно разложить в ряд Фурье: -~($з ((~~ ) ~с)-~- 1 ь ы ! з)), (530) 1 2 ~п При этой форме записи граничные условия при х =- -~ Ь удовлетворяются автоматически. Для анализа зависимости решения от времени будем искать его в виде п = и, (~ а, ехр ( — 1'т~) соз [(1 + — ) лх /1 ~ + 1 1 2 ) + ~. Ь ехр( — 11т„,) з1п (тлх'Ц~ . (5.31) Подставив это выражение в уравнение диффузии (5.17), мы увидим, что (5.31) является решением (5.17) только в том случае, если коэффициенты при синусах и косинусах в правой и левон частях получающегося уравнения равны между собой, т.
е. если (5.32) Таким образом, характерное время затухания 1-й моды можно записать в виде (5.33) Отсюда видно, что тонкая структура распределения плотности, которой соответствуют гармоники с большими номерами 1, затухает быстрее, с меньшими постоянными времени т,. Процесс распада плазмы будет происходить так, как показано на рис. 5.4.
Вначале диффузия смажет тонкую структуру распределения плотности, затем решение выйдет на наинизшую диффузионную моду, и плотность распределится по косинусу, как показано на рис. 5.3. Потом будет происходить уменьшение максимальной плотности плазмы, в то время как форма распределения будет оставаться неизменной. 161 5тй !'зспад плазмы вследствие диффузии 5.2. Распад плазмы вследствие диффузии В цилиндрической системе координат пространственную часть уравнения диффузии (5.25) можно записать в виде с(вБ/йга+ (1!г) оБп(г+ (1/Рт) 5 = О.
(5.34) Это выражение отличается от уравнения (5.26) только средним членом, появление которого связано со сменой системы координат. Из рнс. 5.5 видно, почему нужно добавить к уравнению (5.26) это слагаемое. В самом деле, рассмотрим вначале плоский слой плазмы неизменной толщины, который движется в направлении больших значений х (на рис. 5.5 случай а). Ясно, что плотность вещества в нем остается неизменной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
