Учебник - Введение в физику плазмы - Чен Ф. (1239320), страница 59
Текст из файла (страница 59)
О. (8. 55) соЕо (ао — а) — юоо 2 2 О (озо+ а) аг 2 2 соЕо Если среди корней этого уравнения есть решение с !т (а) )О, то это свидетельствует о неустойчивости системы связанных осцилляторов. 8.5. Параметрические иеустойчиаасти В случае когда сдвиги частот или инкременты неустойчивостей малы, частоты со и со' можно приближенно считать равными невозмущенным частотам ы, н соо. В этом случае из уравнения (8.52) получаем следующее резонансное условие для частот: СОО Соо ~ ОО1 (8.56) Если осцилляторы представляют собой волны в плазме, то в предыдущих выкладках величину Отт' нужно заменить на сот' — (с г.
Кроме упомянутого условия, связывающего между собой частоты взаимодействующих волн, в последнем случае должно также выполняться следующее условие для волновых векторов (условие пространственного резонанса): "о "о~ йм (8.57) Физический смысл условий (8.56) и (8.57) легко понять из квантовомеханнческой аналогии. Умножим равенство (8.56) на постоянную Планка й: (8.58) Дсао йсаа ~ йеом Пусть Е, и х, представляют собой, например, электромагнитные волны, а осцилляторух, отвечает ленгмюровская волна.
Тогда величины Ды, и Лсоа соответствУют энеРгипм фотонов, а Дсо, — это энергия ленгмюровского плазмона. Таким образом, формула (8.56) выражает просто закон сохранения энергии, а условие (8.57) является аналогом закона сохранения импульса М. Одновременное выполнение условий (8.56) н (8.57) для волн в плазме в одномерном случае возможно лишь при определенных комбинациях волн. Необходимые соотношения лучше всего уяснить с помощью диаграмм со (й), представленных на рис. 8.14. На рис. 8.14, а приведены дисперсионные кривые для электронной плазменной волны (волны Бома — Гросса) н ионно-звуковой волны (ср, с рис.
4.!3). Плазменная волна (соо, 'ко) большой амплитуды может испытать распад на движущуюся в обратном направлении плазменную волну (соо, (ст) и на ионно-звуковую волну (со,, 1с,). Нз построенного на рисунке параллелограмма следует, что соо = =-. со, + сое, а (со = (с, + йа. ДлЯ выполнениЯ этих соотношений положения точек (соо, 1со) и (Ооа, 1са) на дисперсионной кривой электронных волн нужно выбрать таким образом, чтобы вектор й„ равный разности векторов )со и ко, лежал надисперсионной кривой иоино-звуковых волн. Заметим, что ленгмюровская волна не может распадаться на две ленгмюровские, поскольку конец разностного вектора (йо — )ст) не может лежать на днсперсионной кривой электронных плазменных волн.
На рис. 8.14, б построен параллелограмм волновых векторов для так называемой параметрической распадной неустойчивости. В этом случае (ыо, (со) представляет собой электромагнитную волну бо.тымой амплитуды с высокой фазовой скоростью (Ооойо — с). Она 300 Гл. 8. Нелинейные явления о /г Уг Рис. 8.!4. Распадиые условия для частот ы и волновых чисел й при различных типах параметрических неустойчивостей: а — неустойчивость относительно распада электронной плазменной (ленгмюровской) волны; б — параметрическая распадная неустойчивостгн з — вынужденное бриллюэновское рассеяние, г — неустойчивость относительно распада на даа плазмона.
В каждом из примеров ыз — частота первичной волны, ы, и юз — частоты волн, возникающих в результате распада, Прямые линии — дисперсионные зависимости для ионно-звуковых волн; узкие параболы — для электромагнитных волн; широкие параболы — для этектронных плазменных (ленгмюровских) колебаний. возбуждает электронную и ионно-звуковую волны, распространяющиеся в противоположных направлениях. Поскольку величина )кз) мала, для этой неустойчивости мы имеем 114,) ж — 1'кз) и соз юг + шз' На рис. 8.14, в представлена диаграмма ю (й) для так называемого обратного параметрического рассеяния, когда электромагнитная волна возбуждает ионно-звуковую волну н другую электромагнитную волну, распространяющуюся противоположно первичной волне.
Заметим, что в этом процессе вместо конно-звуковой волны может возбуждаться плазменная волна, По аналогии с похожими явлениями в физике твердого тела эти процессы называются соответственно «вынужденным бриллюэновским рассеянием» и <вынужденным комбинационным рассеянием». На рис. 8.14, г изображен распад электромагнитной волны иа два плазмоиа. Поскольку обе волны, получающиеся в результате распада, представляют собой электронные плазменные колебания, 301 8.8. Параметрические неустойчивости распадное условие для частот можно выполнить только в том случае, если ота — 2ев„. Выразив частоты ева и ет, через плотность плазмы, приходим к выводу, что последнее условие эквивалентно условию п ж и,/4, где п, — критическая плотность, отвечающая частоте атв (см.
(4.88) ). Таким образом, можно ожидать, что в неоднородной плазме эта неустойчивость будет возникать только в том слое плазмы, где ее плотность равна четверти критической плотности. 8.5.3. Порог неуопюйчивости Если затухание волн в плазме отсутствует, то параметрические неустойчивости могут возникнуть при любой амплитуде колебаний. На практике, однако, всегда существует небольшое столкновительное затухание или затухание Ландау, и потому неустойчивость может развиваться только в том случае, когда амплитуда волны накачки достаточно велика.
Для того чтобы рассчитать порог неустойчивости, нужно ввести в рассмотрение декременты Г, и Г,, характеризующие затухание колебаний осцилляторов х, и х,. Уравнение (8.48) примет тогда вид цтхт/т(/т -1- втвхт -1- 2Г, (с(хт/сЦ) = О. (8.59) Если х, представляет собой, скажем, смещение груза под дейст вием пружины, то в уравнении (8.59) последнее слагаемое описы вает силу трения, которая пропорциональна скорости груза. Если х, отвечает плотности электронов в плазменной волне, затухающей из-за столкновений электронов с нейтральными атомами, то Г„ = = т,/2 (ср.
с задачей 4.5). Из соотношений (8.49) и (8.50) следует, что зависимость амплитуд волн от времени можно искать в виде экспоненциального множителя и, считая Е, вещественной величиной, а х, и х, — комплексными, заменить производную с(/Ж на — 1 еа. При этом уравнения (8.49) и (8.50) можно переписать в виде (ат~ — са — 21 втГт) хт (ат) = ',стхтЕе, т 2 11 тот — (ет — тва) — 21 (ет — вта),'ГД хв (ат — та а) = стхтЕо (8. 60) Сделаем еще одно упрощение: ограничимся случаем двухволнового взаимодействия, т. е. будем считать, что ат ж ат,, ата — ев ж ат„а частота еве + с» столь сильно отличается от ат„что соответствующая ей волна является нерезонансной.
В этом случае третью строку н третий столбец в детерминанте (8.55) можно не рассматривать. Если теперь выразить х,, х, и Е, через их максимальные значения, как это было сделано при выводе уравнения (8.53), то в правых частях уравнений (8.60) появится множитель 1/2. Пренебрегая 302 Гл. 8. Нелинейные явления нерезонансными членами и исключая х, и х, из уравнений (8.60), получаем 2 2 2 2 1 з (ю — ш!+ 21шГг) ь(ша ш) — шг — 21(ша ю) Гзз = — огсз Ею 4 (8.61) Можно считать, что на пороге неустойчивости 1гп (ш) = О.
Наинизший порог соответствует точному выполнению резонансного условия, он достигается при ш =- со,, шо — ш = шз. При этом из (8.61) следует, что зх стсз (Ео)еюр =- 1боггсагГгГз. (8. 62) Если хотя бы одна из волн не затухает, то порог неустойчивости равен нулю. Задачи 8.8. Докажите, что при плотностях и пс(4 не может быть вынужденного комбинационного рассеяния.
8.9. В эксперименте по облучению мишени нз твердого дейтерия (2=- 1, М= = 2Мн) лазером на неодимовом стекле (Л = 1,06 мкм) наблюдается вынужденное бриллюэновское рассеяние. Длина волны рассеянного света оказывается сдвинутой в красную сторону спектра на 21,9 А. Из измерения в рентгеновской части спектра известно, что температура электронов КТ, == =- 1 кэВ. С помощью формулы (4.41) при тг =- 3 оцените температуру попон, предполагая, что рассеяние идет в области частот ы (( ы . р 8.10.
Анализируя процесс вынужденного бриллюэновского рассеяния, будем считать, что в системе уравнений (8.60) величина к, равна и, — возмущению плотности в ионио-звуковой волне, а х, — зто электрическое поле отраженной волны Е,. Коэффициенты связи с, и с, определяются при этом выражениями с! — - вой!в 7~ ы М, г =. ю ~ (поы, а пороговую амплитуду 2 г 2 накачки в однородной плазме можно вычислить по формуче (8.62). Обычно квадрат амплитуды волны накачки выражают через (оосц), средний квадрат г скорости осциллнций электронов в волне о, .
Как известно [см. (8.37) ], з осц' оо,ц = еЕо юыо. Величину декремента Га в пределе тгы (( 1 можно найти в условия задачи 4.376. а) Покажите, что прн Т; (( Т, порог вынужденного бриллюэновского рассеяния определяется формулой г г (раса) )пе == 4Ггт/Шгю„ где ое =.= КТе(т, ы! — — а!не а Г! — декремент затухания Ландау, определяемый выражением (7.!33). 6) Излучение СОе-лазера падает на однородную водородную плазму (КТ, =- !00 эВ, КТ! = 1О эВ, ло — - 10ез и — ').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
