Учебник - Введение в физику плазмы - Чен Ф. (1239320), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Каждое из этих уравнений описывает определенный тип нелинейности. В случае когда большой амплитуды достигает ионно-звуковая волна, главный нелинейный эффект состоит в укрученин фронта волны, физический смысл которого мы объясняли в равд. 8.3.3. Этот эффект возникает из-за наличия в уравнении движения ионов члена (и ту) и и описывается уравнением Кортевега — де Вриза. Это уравнение предсказывает также существование решений в виде нелинейных волн и солитонов (см. рис.
8.5 и 8.7). 8~8 Гл. 8. Нелинейные явления В.В.!. Уравнение Кортевега — де Вриза Это уравнение возникает при решении различных физических за- дач, в частности при анализе эволюции слабо нелинейной ионно- звуковой волны. Оно имеет следующий вид: дУ!дт -)- (г' (д(г','дй) -)- — дв(/~ д",' = О.
2 (8.92) Здесь (г — амплитуда, а т и л — соответственно временная и пространственная переменные. Для приведения исходного уравнения к подобному виду обычно требуется провести несколько процедур замены переменных, однако физический смысл двух последних членов в левой части (8.92) ясен и из такой простой формы записи. Второе слагаемое в (8.92) соответствует конвективному члену (и р) ч, который описывает укручение волнового фронта. Происхождение третьего слагаемого связано с дисперсией волны, т.
е. с зависимостью ее фазовой скорости от волнового числа и. Напомним, что при Т~ — — — О частота ионна-звуковой волны определяется соотношением ((4.48)! г йг г(, йг)г) — ~ (8.93) Дисперсионный член и ЕВ возникает из-за отклонений от нейтральг г ности плазмы. Производя разложение в ряд Тейлора при малых нло, находим, что еэ = Йо» вЂ” — й о~Хо, (8.94) 2 т. е. дисперсионный член пропорционален нв. Именно поэтому последнее слагаемое в левой части (8.92) содержит третью производную. Учет дисперсии позволяет предотвратить появление решений с очень крутыми волновыми фронтами (им соответствуют очень болыпие lг). В случае когда нелинейной становится электронная плазменная волна, преобладающим оказывается новый эффект, состоящий в том, что сила ВЧ-давления волны приводит к выталкиванию фоновой плазмы из области больших напряженностей поля, В результате в плазме возникают области пониженной плотности, называемые кавитонагяи, Запертые в такой области плазменные волны образуют изолированную структуру, называемую солитоном огибающей, или уединенной волной огибающей.
Такие солитоны описываются нелинейным уравнением Шредингера. Вызывает удивление тот факт, что хотя физические модели и уравнения, описывающие солитоны и солитоны огибающих, различны, эти образования по форме похожи друг на друга. 319 Уравнение Кортевега — де Вриза допускает решение в виде солитона, т. е, одиночного импульса, который движется с некоторой скоростью с (не равной скорости света!) и при этом сохраняет свою форму. Это значит, что решение (/ зависит от переменной ь = $ — ст, а не от величин 9 и т в отдельности.
Вводя переменную ь = й — ст и пользуясь тем, что д/дт = — сд/е(ь, а д/д$ = дЩ, мы можем записать уравнение (8.92) в виде —.д(ИЦ+ (/д(//др,+ ~ д и/жР— О. 2 (8.95) Проинтегрируем (8.95) от ь до ео: Если (/ (ь) и ее производные на больших расстояниях от центра солитона ()~! — з. оо) обращаются в нуль, то мы имеем следующее уравнение: (8.97) 2 2 Л~з Умножим обе части этого уравнения на Ж//оь и еще раз выпол- ним интегрирование: 2б4каг/ (8. 98) или (Л/щ)з —.= — (/е (Зс — (/).
3 (8.99) Этому уравнению удовлетворяет решение в виде солитона; и(Р=З й ((с/2)1 Ц, (8.100) что можно проверить непосредственной подстановкой, если воспользоваться тождествами (о/дх) зспх.=: — зсЬ х 114 х (8.101) н зс(азх+1)ззх = 1. (8.102) Выражение (8.100) описывает структуру, похожую на ту, что изображена на рис. 8.7: решение (/ (9) достигает максимума при = 0 и обращается в нуль при 9-е ~ оо, Скорость солитона 8.8. Нелинейные уравнения физики плазмы Ю (8.96) 820 Гл.
8. Нелинейные явления Рис, 8.28. Цепочка солитонов, движущихся вправо, с течением времени выстраивается по порядку, соответствующему их скорости, высоте и ширине. равна с, амплитуда — 3 с и полуширина — (2/с)''. Все три величины связаны между собой, поэтому скорость с определяет также и полную энергию солитона; чем больше энергия, тем выше скорость и амплитуда солитона и тем меньше его ширина. Солитоны могут возникать только из определенных начальных распределений поля. Для возникновения солитона энергия начального возмущения должна быть достаточно велика, а фазы составляющих его колебаний распределены заданным образом. Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, то в системе возникает не солитон, а нелинейная волна большой амплитуды. Если же энергия начального возмущения столь велика, что ее хватит на несколько соли- тонов, и фазы имеют необходимое распределение, то могут возникнуть Л' солитонов.
Поскольку скорость солитонов пропорциональна их амплитуде, спустя некоторое время после возникновения они обязательно выстроятся по росту, как показано на рис. 8.25. Докажем теперь, что уравнение Кортевега — де Вриза описывает ионно-звуковые волны большой амплитуды. Рассмотрим простой случай одномерных волн, распространяющихся в плазме с холодными ионами. Уравнение движения ионов и уравнение непрерывности запишутся соответственно в виде др;/д/+ ос до;/дх =- — (е/М) дф/дх, (8.103) дп~/д/ -1- (д/дх) (а;о;) == О.
(8.104) Предположим, что плотность электронов удовлетворяет уравнению Больцмана 1(3.73)); при этом уравнение Пуассона принимает вид е„д'ф/дх' = е [па ехр (еф/лТ,) — пд. (8.105) 32! 8.8. Нелинейные уравнения физики плазмы Чтобы все коэффициенты уравнений сделать равными единице, перейдем к следующим безразмерным переменным: х' = х/) о = х (паев(еаКТ,)'з, Р= ()а! =1(лзез/езм)1гз, Х = еф/КТ„п' = лг/л„ (8.106) о =о/о,=-о(М/КТ,)1з. При этом рассматриваемая нами система уравнений запишется следующим образом: до'/дй + о'до'/дх' = — дй/дх', (8Д07) дп'/д('+ (д/дх') (л'о') = О, дзХ/дх" = ех и'.
(8. 108) (8.109) Если теперь перейти в систему отсчета, которая движется со скоростью о' =- лг, то мы придем к аналогу уравнения (8.27). Опираясь на анализ уравнения (8.27), выполненный в равд. 8.3, можно сделать вывод, что и система (8.107) — (8.109) при определенных значениях числа Маха // допускает решения в виде солитонов. Задача 8.17. Предполагая, что Х, и' и о' зависят только от комбинации $'= и' —.4'Г', сведите систему (8.107) — (8.109) к аналогу уравнения (8 27). Дважды проин- тегрируйте результат, как при выводе уравнений (8,90) — (8.98), и получите уравнение — (г(ХЩ)з = ех — 1+ .)1 ((лез — 2Х)"' —.Ж].
2 Покажите, что решения в виде солитонов могут существовать только при 1 < ЛГ<1,0 и 0 < Хмакс <1 3 6= :)г — 1. (8.110) Таким образом, можем написать п'= 1+бп,+бал,+ Х= 6Хз+бауе+ о'=:бог+двое+ (8.111) Для вывода уравнения Кортевега — де Вриза нужно произвести разложение функций л', о' и Х по амплитуде волны и удержать в этом разложении члены более высоких порядков (на единицу выше, чем в линейной теории). Поскольку в солитонах амплитуда и скорость связаны между собой, в качестве параметра разложения можно взять величину 6, равную превышению числа Маха над единицей: 322 Гл. 8.
Нелинейные явления Произведем также масштабирование, т. е. перейдем к новым переменным ') 8 = 6!~',(х' — Г), т = 6а '!'. (8.112) Таким образом, имеем дд' дт д$ д !в д (8.113) !в дх' д$ Подставляя разложение (8.111) в уравнение (8.109) и пользуясь формулами (8.113), приходим к выводу, что члены наинизшего порядка пропорциональны 6, а ул = пд. (8.114) (8.116) Таким образом, наша нормировка оказалась настолько удачной, что все линейные возмущения оказались равными и любое из них можно выбрать в качестве (/. Соберем в уравнении (8.109) члены пропорциональные 6', а в уравнениях (8.107) и (8.108) — члены, пропорциональные бв".
В результате мы получим систему двд .2 = Ха — па+ — ~Х! (8.117) до„до, до, дх, — — — + од —. = — —.'* ° (8.! 18) дс - д$ дя дй дп, дпд д дт д$ д8 — — -1- — (оа+ пдод)=0. (8.119) Подставляя в уравнение (8.119) значение и, из (8.117) и величину доа/65 из соотношения (8.118), имеем дл! двХ! дта ! дта! ди,! до! дкв де д$а д5 2 д$ дт д2 д$ д + — — (пдод) = О. дй (8.120) д) Беа объяснения причины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
