Учебник - Введение в физику плазмы - Чен Ф. (1239320), страница 65
Текст из файла (страница 65)
(Заметим, что все пространственные вариации плотности, как крупномасштабные, так и мелкомасштабные, включены в иь) Пусть 828 Гл. 8. Нелинейные явления ди 3 д'и р ! ! — + — — +~А — — бп)и=О. д! 2 дх« ~ 2 (8.136) Заметим, что в последнем соотношении производная (йд1 берется по «медленному» времени, хотя функция и содержит как быстроосциллирующий фактор ехр ( — !во!), так и медленно меняющийся сомножитель ир Таким образом, мы получили нелинейное уравнение Шредингера; осталось лишь выразить бп через (и!!'. Уравнение, описывающее движение электронов в низкочастотном пределе, можно получить из уравнения (4.28), если пренебречь в нем инерционным членом и добавить в правую часть этого уравнения выражение (8,44) для силы ВЧ-давления: 0= — епŠ— КТ,— — —" дл «1р д (еон ) дх о,о дх 2 о (Здесь мы положили у, = 1, поскольку низкочастотныедвижения являются не адиабатическими, а изотермическнми.) Если пренебречь тепловыми поправками, то из уравнения (8.126) следует: (Е 7 — (таво»/е ) (йр.
(8.!38) Положим Е = — Чф и введем обозначение т = еф~КТ;! тогда уравнение (8.!37) запишется в виде (д1дх) (у — 1п и) — — (т/КТ,) (д!дх) (и') = О. (8.139) 2 Проинтегрировав это уравнение, положив п =- по + бп и перейдя к безразмерным переменным, определяемым выражениями (8.134), получим следующее соотношение: — (и') =-. — ! и !'= т — 1п(1+ бп) = у — бп.
(8.!40) 2 4 Теперь с помощью уравнений (8.103) и (8.104), описывающих поведение холодных ионов, исключим величину т. Поскольку !2р —— = евр, о, = е (КТ,'т)н, где е = — (т~М)!~о, то в безразмерных переменных (8.134) уравнения движения ионов запишутся в виде ! !ди! ди; дХ вЂ” — +и! — !+ — =О, е д! дх дх (8.
141) — ' + — !(1+бп!)и;) =О. ! дбл! д е д! дх (8 142) и будем считать, что Л «(: 1; тогда в' — 1 ж 2А. Теперь можно убрать штрихи (путаницы это не создаст), вернуться с помощью соотношения (8.131) к функции и (к, т) и заменить в первом члене (8.133а) величину во на единицу. В результате мы придем к урав- нению 8.8. Нелинейные уравнения физики плазмы 329 Здесь мы положили и; = (и, + бп;),'и, = 1+ бп; и опустили штрихи. Если в системе координат, движущейся со скоростью $', решение является стационарным, то в лабораторной системе все возмущения зависят от х и / только через комбинацию = х — х,— )'/.
Таким образом, д/дх =- д/д$, д/д/ = — )'д/д$, и по- сле линеаризации безразмерные уравнения движения ионов за- пишутся в виде — — — + — =. О, и! = — )1, Р да; дХ и (8.!43) е д$ дй р' — — -1- — = О, Ьп, =- — ио дбл! ди; е (8.144) е д$ д$ У Используя эти уравнения и условие квазинейтральности в медленных движениях, получаем бп, =- бп! = е'у,/1/з. (8.145) Выражая отсюда у и подставляя его в равенство (8.140), в котором величина бп в действительности равна бп„ находим бп,=. (1/4)1и 1з()lв/ез — 1) '. (8.146) Подставляя это выражение в уравнение (8.135), окончательно по- лучаем ди 3 д'и ) 1 (''к'з ) ~ 1 (81 д! 2 дхз ! 8 1 ев (8.151) Сравнивая последнее равенство с уравнением (8.122), мы видим, что если пренебречь Л, то (8.147) представляет собой нелинейное уравнение Шредингера с параметрами р =. —, !/.=- — — ~ ) .
(8.148) 3 ! х т/М 8 ~ Рз — л!/и Осталось показать, что р и !/ связаны с дисперсией групповой скорости и нелинейным сдвигом частоты формулами (8.123). Это действительно имеет место при 1/з 4, т/М. В самом деле, в безразмерных переменных дисперсионное уравнение Вома — Гросса (4.30) записывается в виде а" = 1+ бп'+ Зй" (8. 149) где й' = йло, а»> выражена в единицах величины а „равной плазменной частоте вне каверны плотности. Групповая скорость ленгмюровских волн дается выражением р й» /дй = Зй /а (8.150) поэтому до„р/дй' = 3/а = 3 и 1 3 Р = — дерр/дй 2 2 ззо Гл. й, Нелинейные явления При )св (( е' из формулы (8.146) следует Ьп' = — ! и'(е14, так что уравнение (8.144) можно записать в виде (8.152) св" = 1 — — )и'!'+3!е в.
4 Следовательно, 2св'с(с»' = — — с( ! и' !', 4 (8.153) Ьсв' с(се'Ы ! и' )в ж — 1/8. При рв с(; в' из второго выражения (8.148) имеем с) 1с8 =- = — с(св'/с(! сс' !в. Если условие р'в << в' не выполняется, то при анализе нелинейных процессов нужно более детально рассматривать динамику движения ионов; в этом случае в плазме возникают нестационарные взаимосвязанные солитоны ленгмюровских волн и плотности ионов.
Именно такая ситуация обычно реализуется в эксперименте и изучается теоретиками. Таким образом, функция (8.125) прн р = 3!2 и с! = 118 описывает леигмюровский солитон. При этом ф (х, !) равна низкочастотной составляющей скорости и (х, ~) (величины и, х и 1 безразмерны!). Восстанавливая зависимость ехр ( — с ае!) и полагая х, = 9, — О, можно записать (8.125) в следующем виде: и(х, !)=4А' зсй~( ) ' (х 'р'!)]х х ехр ( — с ~~сне + — А) ! — х 1~.
(8.!54) Огибающая солнтона перемещается со скоростью )с, которая до снх пор считалась произвольной. Для точного определения )с одновременно с уравнением для ленгмюровских волн нужно решать уравнение Кортевега — де Вриза, описывающее поведение каверны плотности. Впрочем, физические соображения, лежащие в основе этого решения, довольно просты.
Если высокочастотные волны заперты в каверне плотности и перемещаются вместе с ней, то групповая скорость этих колебаний должна быть равна скорости движения каверны Р, т. е. (в безразмерных переменных) )с ~п р — Зй !с» ~ Зй (8.155) (см.
(8.150) !. Следовательно, множитель !(ГЗ)х в экспоненте выражения (8.154) равен именно величине ! йх, показывающей, как происходит движение ленгмюровской волны вместе с каверной плотности. Член — !(ресб)1 в точности равен — ! (3(2) и !' и соответствует сдвигу частоты в дисперсионном уравнении Бома— 821 8.8. Нелинейные уравнения физики плазмы то, м!гс 3 б и, см Рис. 8.29. Каверна плотности, или кавитон, образованный вблкзи критического слоя под действием силы высокочастотного давления СВЧ-колебаний. Высокочастотные волны (не показаны) генерировались с помощью пучка электронов. (Из работы: К!лг //.
С., 8!елее! /1. й., йголл А. )'., Рйуз меч. 1.ем., ЗЗ, 886 (1974). 1 Гросса (8.149) при бп' = 0 (множитель 1/2 возник из разложения квадратного корня). Поскольку гоо ога, то ого + (1/з/6) представляет собой частоту волны, удовлетворяющеи уравнению Бома— Гросса в однородной плазме. Следовательно, величина А равна сдвигу частоты, вызванному присутствием каверны плотности Ьп'. Как видно из формулы (8.154), А определяет также ширину соли- тона и его амплитуду. Интенсивность высокочастотного электрического поля можно найти из соотношения (8.138).
Кавитоны действительно наблюдались на установках, подобных той, которая изображена на рис. 8.16. На рис. 8.29 и 8.30 представлены результаты экспериментов по созданию структур, напоминающих солитоны огибающих, путем подведения к спокоиной плазме высокой мощности СВЧ-колебаний. Благодаря этим экспериментам была получена интерпретация данных по лазерному син- 332 Гл. 8. Нелинейные явления Вразгл, лглс соо =пзр пяо = ызр гп з Ъ сь 10 0 5 10 15 О 5 1О 15 Расстоллие ст центра„сяг б тезу как «моднфнкацня профиля», т.
е, изменение профиля плот- ности плазмы под действием силы ВЧ-давления лазерного излу- чения. Изменение профиля происходит вблизи критического слоя, в котором юр ж со, (со, — рабочая частота лазера). Задачи 8.2!. Покажите, что нелинейный сдвиг частоты А связан с амплитудой солитона в соответствии с 'выражением [8. !54), вычислив для этого среднее уменьшение плотности плазмы в каверне и соответствующее ему изменение величины ыр.
(Указание: воспользуйтесь уравнением (8.!46): считайте, шо среднее значение зсйз по ширине солитона равно примерно 1!2.) 8.22. В плазме с параметрами и,=-. !О'з м — '", КТ, =. 2 зВ возбуждается ленгмюровский солитон огибающей, амплитуда которого равна 3,2 В. Пусть у ленгмюровских волн йЛо = 0,3. Найдите: а) полную ширину солитона по половине максимума амплитуды (в мм); б) числа длин волн, укладывающихся на этой ширине; в) сдвиг частоты (в МГц) относительно значения, предсказываемого линейной теорией Бома — Гросса.
8.23. В одномерной плазме, температура которой КТ, = — 3 эВ, создана прямоугольная каверна плотности. Плотность плазмы вне каверны и,— =- !О'" м-', а внутри нее пг =- 0,4 10гз м — ' Пусть каверна достаточно протяженная и резонансами, связанными с сс границами, можно пренебречь.
Какова длина самой короткой плазменной волны, которую можно запереть в каверне) Рис. 8.30. Взаимосвязанные ленгмюровский и ионно-звуковой солитоны. а — низкочастотные ямы плотности, смещающиеся влево; б — интенсивность высокочастотного электрического поля, измеренная проволочными зондами; видно, что в минимумах локальной плотности интенсивность возрастает. )Из работы: 1йеы Н., НЬЗ(даша К., Но)о Н., М(та К. — Р!ампа Роуз!сз апб Поп!го!!еб Хпс!саг Риж!оп )(езеагс(г, !974, 11, 609, 1п!егпа!!опа! А!от!с Енотову Лйепсу, т'!еппа, !975.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
