Учебник - Введение в физику плазмы - Чен Ф. (1239320), страница 69
Текст из файла (страница 69)
1 3!Ов 2 10в 3. Среднее значение о1 равно 1 1 3 — (и, + о„!) = — (о с+ 2о,.) = — о с — — 4,6.10в, а поскольку 5 = 10вв м, то г=.= Л'Л (15) (10' ) = 3,2 10в с = 10 лет. о 4,6 10в За это время расстояние между поршнями уменьшится на ЛЕ = 2оыс= (2) (1Ов) (3,2 10в) = 6,4.10'в м, Приложение Г 354 так что в действительности время 1 яз 2,5 10з с. Поскольку нас интересует ответ с точностью до коэффициента порядка двойки, суммирования по всем отражениям производить не нужно: точность приведенного выше ответа (3,2.!Оз с) оказывается достаточной. о!Е = сопз1, то о ! + о!Е ю О, 2.13. и) Поскольку ( о(дз из б) о 1 ! 2о — о с с 2 !Оса Ьоа Т яз ( /) 1 2о, 3 2 10' (2" +о с) 2 = 3,3 1Оз с.
2.!4. Как следует из уравнения Максвелла Ч Х Е = — В, с увеличением В возникает электрическое поле Е. Это индуцированное поле Е имеет компоненту вдоль скорости т и, следовательно может ускорять частицу. Если В медленно возрастает адиабатическим образом, то поле Е будет мало, однако интегральное действие этого поля за времена, превышающие ларморавские, будет заметным. Инвариантвость р позволяет найти увеличение энергии частицы, не рассматривая этот интегральный процесс. 3.1.
Будем исходить из уравнения дп/дс + Ч ) = О, где ) = )р = (р/Вз) Е. Отсюда следует, что о =- — Ч.((р/В') Е]. Производная по времени от урав- нения Пуассона имеет вид Ч.Е = л/ез, Следовательно, Предполагая, что относительная диэлектрическая проницаемость в не зависит от времени, имеем Ч 6 = Ч.(еЕ) = О. Сравнивая между собой два последних равенства, заключаем, что е = ! + р/езВз.
3.2. !)з лзз Мз лМ е ж !.за езвЭто справедливо, если е )~ ! 3 3. Возьмем днвергенцию от (С, еаМ е В еаВ уравнений (3.56) и (3.58): — (Ч В) = О. д д( Ч(ЧХЕ)=- — Ч В=О, Ч'(Ч Х В) = 0 = ссо (с/сЧ (лстс) + с/гЧ'(лате)1+ Ч Е сз Следовательно, если в начальный момент Ч В = О, то это равенство будет соблюдаться и в дальнейшем, Именно это и утверждает уравнение (3.57).
Лалее, Приложение Г Из уравнения (З.бО) следует, что Ч (игтг) = — иь Ч (и те) = — и;, поэтому Ч.Е Ро ( Рнпе Челе) (- = О, с' д Г 1 — 1Ч.Š— — (пиВ+ пете)1=-0. дг " ео 3.4 ЧКТе з х Чи тре = —— еВ и 3.6. а) Из условия изотермнчности следует, что ди Чи =-х дх ио2х х, ао 5) См, рисунок: гго В) ор, = (2)!(0,2) Лг Л- — ( и' ( (2по(а~) (аЕЗ) 4(0,04 ЗЗ 3 и ио (1 — аег4ае) 3(4 Следовательно, ор, = — (10] (1ЗЗ,З) = 1ЗЗЗ м!с. о — еееет ез К те 37.
и = пое = пое Если в начальный момент величина, стоящая в квадратных скобках, равна нулю, то Ч Е = (1/ео) (иейг+ иоде), что эквивалентно уравнению (3,55). В х Чп КТ пе )р = (КТг+ КТИ Во е В1. Поскольку КТ еог, Š— ф!Е, мы имеем КТееЕ Е; следовательно, )р иеЕееВ пеп, так как Е!В = он. 3.5* Пусть )р постоянен в ящике размером Е. Из разности токов, текущих по двум стенкам, получаем; Ьп = п'Е, (ур! = (Лиепа~ =.
,'и'Ееоз(. Поскольку этот ток распределен по ящику с длиной ребра Е, то эквивалентная плотность тока равна (Ер 1 = (е'р ( е'Е =- (и'еоаЕ Из уравнения (3.69) следует, что (1р ~ = (КТЧп1В( = ! КТиЧВ й следовательно, если скорость оа такова, что две формулы согласуются для одного значения Е, то они будут согласовываться и при любом Е; ведь Е в ответ не входит, Приложение Г КТ, л КТ, г Ф:=- «1п еГ е л е ~ гз о о а) дф К Те 2е Е=— г=- ' — г, дг е 'о ЕхВ В, - КТ, 2г тн Π— О Вз еВ гз о В х Чр КТ, длгдг тре елВ' еВ л К Те д К Те 2г — 1пл= — О ' — = — — чн, еВ дг еВ 'о — О 3.8. а) - ле(КТе,-КТе) )р —— ле ~,чр! уре) .О В 2г,з,з е ' 'о, 2 о б) (1О )(0,5) (1,6 1О ) О 147 де е (0,4) (го/2г) (2 7!5) или =- ле (1 ор,(+ )орП), ) оое ! = ) опе 1 — — ' — 1, 25 — мlс. (КТ)эв 2г (0,25) 2г В го 0,4го что и требовалось доказать.
б) Из результатов, полученных в п. а, следует, что частота врагцення является константой, поскольку независимо от того, взять ли в качестве ч одну из величин тд, чр„ чрг или же их линейную комбинацию, оа г, а ое = ое!г = сопз(. н) В лабораторной системе отсчета и = чф+ тн = О,бтре+( тре) = — (52) чре Приложение Г Пользуясь тем, что е =- 1,6.!О хо Кл, е =- 2,718, получаем: 1р = (1Ооо) (! 6, 10-го) (2) (1 25) = О,!47 А/мо. г2 о Н) Поскольку в лабораторной системе ио ун+ тра= — чн — чн= О, то тои целиком переносится ионами.
З.В. ЧХ В=ро)р 1 (12 Х В).о8 = ро))р'о8 $ В.д!. =- 1хо.()р'58. Рассмотрим контур, одна сторона которого совпадает с осью цилиндра (В = В,), а другая находится настолько далеко от него, что там В = Во . Поскольку ток )р направлен по — О, мы можем выбрать направление интеграрования так, чтобы величина )р о(8 была положительна, как показано на рисунке. Компонента В, раана нулю; следовательно, ~В Л.=(„— Во) 5, п(Кто+ КТ) 2 )р= — 0 В г2 о (КТ ' КТ) (' (' — гз )р о8= 1 ) е 2го(го(а=в Епо(КТг+ КТ,) ~ ' го1 25поКТ В В где Т, = Ть При нычислении етого интеграла мы считали, что В (г) =- В о, поскольку такой малый ток) не может заметно изменить значение В. Таким образом, 2поКТ 2(4п 10 — ')(1О'о)(0,25)(1,6 10 ") — о= ро В (О 4) = 2,5 1Π— о Тл.
ПРиложение Г 4.1.а) Найдем Ф;. КТ, и, ы+(а Ф>— — Х е и» ы'+1а КТ, ~о>»+аз+ > а(ы» е ы»з ! а> Если велнчнна п, вещественна, то 1т (ф>) а (ы» — ы) Ке(ф,) ы>в»+ аз о»* — а — ы) и, л» следовательно, ~ а(ы» — ы) 1 1 1 дЕ> = — е(л» вЂ” ле>) е» вЂ” 1 ыто»> =- — еЕ, (для электронов)„ — ! ы>Ио» =- еЕ> (длн ионов), — 1 ып„= — — 1»л»о»> (для электронов), — ! ю>м» = пп»о>> (для ЯОнОВ), ле> = — пе( ) Е>, л;> = — ие ( — ) Е>, 1 й 1е / 1 1 '> !)>Е> ( 2 2~ !АЕ...
~~ .+ ~~ Е,=- — "(а + ), ее е> ,2 „2 > ()2 з л' А.о. Выразим Ф,, Е, и о, через л,; нз уравнений (4.22) и (4.23) следует, что ы л, 4л1е о> =- — —, Е,=- л,. )> Но, поскольку Е, = — > йф,, то 4ле Ф, =- — лг )>> Следовательно, разность фаз между Е, и и, составляет 90', ф, и л> сдвинуты по фазе на 180', а о, либо свнфазна с плотностью л„лабо сдвинута относи- 5) ПУсть и> = п>е' ", а Ф> =, Ал,е'1 х м>+а), где А — почо>кнтельная постоянная.
Прн ы (ы» величина 6 )О. Пусть в точке хз в момент времени 1» фаза и> равна нулю: йх» — о>1» —— О. Если величины ы и й положительны, а точка хе фиксирована, то фаза потенциала ф> обращается в нуль прн дхе — ы(+ 6 = О, т. е. прн ! )Ем Счедовательно, Ф, запаздывает по времени относительно л,. Прн фиксированном 1 величина дх — ы(»+ 6 0 прн к (к»1 поэтомУ в пРостРанстве ф, тоже запаздывает относительно л,.
(Поскольку ы>'л )О, а волна двнжется вправо, то ее начало находится прй ббльшнх х.) Если (> (О, а ы )О, то фаза потенциала Ф, обратится в нуль прн х )хе! однако, посколькУ тепеРь волна движетсЯ влево, Ф> по-пРежнемУ будет запаздывать относительно и,. 359 Приложение Г тельно нее на 160' в зависимости от знака фазовой скорости а/й. Лалее, по. скольку Е, = — доох/дх, то величина Е, определяется по наклону кривой гох (случай а). В случае б мы имеем Ех/п 1 з!яп (й); следовательно, 6 = = ~ и/2. Если в//о )О, то Ег ехр(1(йх ~ !в!! ч- гг/2)), где ~ соответствуют знакам величины й. Таким образом, Е, на 90* опережает лх или отстает от нее, если а/й ( 0 (см, рисунок).
г — )Π— (О й 4.4. ~~Р )й 1 — )Е,=О, или волово Следовательно, 4.6. и) глпо( — оа) ох — — — елоЕх — тлотог .,(1+ — "-~= "Е' 1 й 1 йЕ, = — — ел„пг = — лоо, (из уравнения непрерывности), зо в 1 й (еЕ, х !тх г !йЕ,= — е — ло ' 1)+ — ) ао в лов а !+ — =в, в + гма=в гг !т х г г . г ) л' Р 6) Пгусть в = х+ ! у.
Тогда дисперсиоаное уравнение принимает внд к — у + 2гху+ гях — ту = а . Приравняем мнимую часть этого уравнег, . г 1 1 й 1йЕ, = — — ел, = — — еп, — о, зо ао а !й~ — 1ег = — — ело — ~ — ) Ег зо в лов )/ 1 — — л Е,=О; Приложение Г ния нулю: 2ху+ чх = О, т. е. у = — ч/2; следовательно, !гп (в) = — ч/2. Поскольку х = Не (в), а ч )О, то -)н! -!он 52 -)ж -О)г!т Е)-е =е е =.е е и колебание со временем аатукает. 4.7. РассмотРим УРавнение тп, ( — ! в) ч) = епоЕ) — ело (ч! Х Во). ПУсть вектор В, направлен вдоль г, а Е! и (2 — вдоль к.
Тогда у-компонента етого уравнения имсет внд ох . со — = — !в оч ес — ! втох — — ео»Во 4.8. а) ! ")/ Е! = — ел„1! = /)»к+ й»х, Еа — — /са — — О, еа 1 1 (й»Е» -!- /)»Е,) = — — еп,. ао Запишем выражения для л,: — +по)ь) ч)= О, — (вп)+ по! (/)»ох+ ду)2) =. О дл) д! и выражения для ох и ох: Мп, ( — 1 в) ч, = — елоЕ) — ело (1, Х Во) ! !е ) вс проекция на ось х: ох= — — Е» — ' ос! )по) !о 1 ссс проекция на ось у: оа — — О+ — ох в 2 г )е сос — 1е 1 вс ох = — Ех+ — ох = Е»~1 — — ) те " вг " те) В2 !е проекция на ось 2! о ==.
— Е;, тв Из уравнения непрерывности следует, что = '(-")('"(-') ' ""1 -1 св те во Дх= /)51пО /)2 /ссо50, с 2 ( — 1 ДЕ)жп'О+ ДЕ, соа'0 = — ~/)Е) 51п20 ~ ! — — + йЕ! со52 О в) (,)2 Поскольку в = ва )е„то (ох/ос!)! и орбита частицы вытянута в к-направлении, которое одновременно является направлением вектора 11. Приложение Г 361 ао вз 2 2 г в 1 — — = — Р— с 0+~1 — — ) О, с р с в' аз з ) 2 2 в — в — а =- — соз О, г г г арво с р а (а — вг»)+в в,соз 0 = О, что и требовалось доказать. б) а — в»а + в а, созе 0 = О, р с 2а' вг -«(ог 4агагсо«20)02 » —, » Прн 0-«О величина созз 0-ь1; поэтому 2 2 х~( 2 ( ° 2)2 4 гаг]02 2 ( 2«( 2 2) ас' 2 2 2 р' Корень в = ар отвечает обычному ленгмюровскому колебанию.
Корень в = вс является посторонним, поскольку при 0 -~ О величина Во в ответ входить не должна. При 0 (я(2) величина соз 0- О, а 2в = вг ~-а~~, 2 2 2 т. е. в .= О, со». Корень в = в» отвечает обычному верхнегибридному колебанию. Корень в = О не имеет физического смысла, поскольку вначале предполагалось, что в системе существует осцнллирующее возмущение. и) а — в а + — в = — в~ — а а соз О, 4 2 2, 1 4 1 4 2 2 2 4 4 р с (а~ — — а»)-(-(а а,соз 0)2 =( — ва), х (у — 1)*+ — = ', ос что и требовалось доказать. в (ас и =. ((г2) (в,'в + вр(ас) 1 1 2 5(4 2 х= сов 0 д) аг = — ~а -(- в~) -~- [(в~ + в") — 4в со соз201ьг. 2 Приложение Г 362 Для получения меньшего корня возьмем знак минус.
Частота в достигает своего максимального значения в том случае, когда величина соз'0 макси- мальна (и равна единице). Следовательно, в =в„если в )в„ г г в =в, если в)в. г г с р' Большему корню соответствует знак плюс. Частота в достигает максимума ври соз 0 =- О, в этом случае в = вз. Следовательно, в+ (аа. Этот ког г г рень приниогает минимальное значение при соз'0 = 1; таким образом, оз+ —— в, если в )в„ г г в+= вю если в в г г 4.10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
