Учебник - Введение в физику плазмы - Чен Ф. (1239320), страница 72
Текст из файла (страница 72)
(3) Найдем и, из соотношения (2): е, х Ве+ (ч, х Ве) х Вз = г))г х В„; Е! Х ()о тг Во =т)1! Х Во! Е,ХВа т))гХ Вв В' В' е о (Отсюда видно, что а систеие существует амбиполярнзя диффузия.) ВУ9 Приложение Г Подставим это выражение в соотношение (1), которое не зависит от компо- ненты скорости, параллельной магнитному полю: Е~ Х Во Ч)! Х Во 'о ! серо ( ' ') В Ьх В'„- Взо ) Поскольку, согласно соотношению (2), векторы Е, и 1, параллельны друг другу, будем считать, что онн ориентированы вдоль х.
Тогда у-компонента последнего уравнения принимает вид Уравнеаие (3) записывается в виде '1 — 1 / Вз й'Е! = )оо1 ю — 1 + — ) = Рою* ( — ! ооЧ Е,, Во ыро Во Ра ю ( В О = Ро — — ! ооЧ Ро б) й =- (рою') з ! "(Т)' о 2ВО При малых Ч частота м ж дол, где й = )(е (й). Следовательно, Ч)оо 1ш (й) = —. 2ол 6.4.
а) ) х В = ~р = к тт)л ( к т = кто + к тб; () Х В) Х В = КТЦп Х В = В () В) — )Вз. Параллельная полю компонента последнего равенства дает нуль: 0 = ) ! Во — 1)Вз; следовательно, ток 11 произволен. Перпендикулярная компонента имеет вид ), =- — ВХЧл= — — В. КТ КТ дп Вз В дг б) (7 Х В.г(В = )оо ) ).гб у В Д1 = р~ ) 1 о(В = РОЕ ) 1в Дг, о поскольку ооа вектора () и !(8) направлены вдоль В, а величина Е равна ЗВО Приложение Г длине петли в направлении г. Из симметрии ясно, что В, = О; следовательно, в интеграл дают вклад только те два участка петли, которые параллельны оси г.
Подставляя в последнее равенство значение /о, имеем дп/дг (В໠— Во)/ ==: 1»айКТ ~ Йг. В (г) о в) Функция дл/дг равна нулю всюду, за исключением точки г = а, где она равна минус бесконечности, а интеграл от этой функции равен — по. Поэтому можно считать, что дл/дг = — па6(г — а). Таким образом, а» 6 (г — а) Ва» Во - . 1»рКТ ~ ( аа) дг. В (г) о Поскольку весь диамагнитный ток сконцентрирован вблизи поверхности г = а, магнитное поле В испытывает скачок от постоянного значения Ва» внутри плазмы до другого постоянного значения Ва вне ее. (Напомним, что поле внутри бесконечного соленоида является однородным ) Проинтегрировав поле вблизи этого скачка, получим среднее значение на двух сторонах петли: В (а) =- (1/2) (Ва»+ Во). Таким образом, — 1 В໠— Ва =. р»КТпо (1/2) (В + В,) В Во —" 2ропоКТ' 2 2 Ва» 2ропоКТ 1 — — » — * в = (3 = 1; следовательно, Ва» = О.
Вз о 6.5. ц) Согласно закону Фарадея, У = — дФ/д/; поэтому Поскольку изменение потока ЛФ обусловлено диамагнитным эффектом (уменьшением В), то — г//гФ = — /У) ( — Во) дй. Знак выражения зависит от того, какую сторону объема У считать положительной. Практических следствий эта неопределенность не имеет, поскольку сигнал на экране осциллографа можно легко перевернуть, пользуясь переключателем полярности, б) Заметим, что в задаче б.4 (п. б) петлю можно нарисовать так, чтобы ее внутренняя сторона не лежала на оси цилиндра, а проходила бы на произвольном расстоянии г от нее.
В этом случае О~ Г дл/дг' Г дп/дг' В (г) — Во — — р»КТ1 дг' яэ р»КТ дг'. В (г') в, г Приложение Г ( Здесь КТ = 2, КТ; ) Поскольку 1 381 мы имеем р КТ из ' ' ''о °, реиоКТ " ' 1'е Г '2 22 2 г ВО ге ю в (.) — в, =- р,и,КТ вЂ” М е Во Таково изменение В (г) из-за диамагннтного эффекта. Для того чтобы найти сигнал, снимаемый с петли, нужно произвести интегрирование по поперечному сечению плазмы; 21 2 Г 2/ 210 ~ р )2 К рзиОК Т й 0 д ))) )геиОКТ 2 О о(е — .Р) 2 . КТ ~ о и) Величина в круглых скобках по определению равна(); следовательно ) Рдг =- — УЕВ . о.
Обе части этого равенства имеют размерность потока. 6.8. н) для каждого из потоков имеем / д«г иг~ — + («о «) «г) = еЕч=( — )ю+ (йиз) «и дг — ! еЕг «з = иг (ю — йое) — + ие (Ч «г) + («е. 2У) из = О, ди, да иог их = из го — йое ( — 1 ы + ) йое) иг +! Йизох = О, следовательно„ вЂ” ( лЕ,е иг) = ие ю (ы — йоо))' ~ Уд) = — У ~ ( — Вз) дЬ = — У Ц (В (г) — Вз) гдгИВ. Здесь как В, так и дбориентированы вдоль к. Подставлня сюда выражение для В (г) — Ве и предполагая, что обмотка находится вне плазмы, имеем 382 Приложение Г Из уравнения Пуассона следует, что ! АЕг .= (егеа) (л,а + п,а), где для потока а скорость оаа = оах, а плотность лаа = (1/2) па; для потока Ь: оаа = оах, паа = (1!2) па.
Таким образом, ( е )( — !йеЕ, ) [ ((Е2) ла (!/2) па пае' 1 1 1 ,+ еат 2 1 (в — йоа)а (в+ йоа)а 1 2 [ (в — доа)а (в -1- йоа)а б) г+йг г г (вг — йго,')' (вг а 2йгог) гаг 1 йгог(йгог вг) г ! ( г+2йг г) ! ( 4+ гйгоР!г Лоложим 2/а~о~ о 2вг у = г г в в тогда уа = ! + х ь (1 + 4х) М~.
Величина у будет комплексной, только если здесь выбрать знак минус. В этом случае у будет чисто мнимой величиной и мы можем положить у = !уг уг = (1 + 4х)нг — (! + х), — (уг) = 2(1 + 4х) !' — 1 = О, х =— е(х 4 Таким образом, у'= (1+ З)иг — У)4 = Ц4, 1 2ва 7= 2 1гп(в) = 2 е(гг2 6.8.
а) тде вр = лоа /ест г б) Это уравнение отличается от уравнения (6.30) только тем, что отношение т!М в нем заменено на величину 8, которая также мала, а лабораторная Приложение Г 333 система заменена на систему отсчета, движущуюся со скоростью и. Максимальный инкремент не зависит от системы отсчета. Это можно понять из рис. 6, ! 1, представив себе, что величина у отложена вдоль оси з как функция х и у.
Ясно, что сдвиг х не влияет на максимальное значение у. По аналогии с уравнением (6,35) имеем умакс 6 ыР' !з Точное значение коэффициента, который должен стоять здесь в правой части, равно 3 2 ' = 0,69. (Вывод выражения для у„,„с, который пред- !2 -жз ставлнет собов трудную задачу, поскольку дисперсионное уравнение — кубическое, а также доказательство того, что в случае вещественнык Ь величина у„,„, не зависит от системы отсчета, оставляем в качестве упражнений для подготовленного студента.) 6.9. а) Поскольку решение зависит только от у-компонент векторов т( и Е, приведенное в условии задачи соотношение легко получить, пользуясь уравнениями (4.93б) и (6.23), а также уравнением непрерывности и уравнением Пуассона.
Заметим, что при вычислении частоты йл берется не (!/2)пь,. а ле. б) пусть сз — — иг (! -1- ыг/ыг) !, () ьго~~; тогда дисперсионное уравне- 1 р и с ' 0' Ь ~ т(ьр)ОО)'т! + Ып(юс) Если это условие удовлетворяетси, то иикремеит дается выражением у = Иа + 4сс)))пг — (а+ р)! ~ .
7.3. и) ла «уа 1. (о) = оппг ль — (и — 1'1' Ь" )ь (о) =- а 1~'2 б) ль — 2(о — )г) — ! -юьь )ь'(о) =- е Ьп~ Ь вЂ” 2ль Г 2 (о — )г) — (~ у)' ь' Ьзпи2 1 Ьз ой Ь)31 2 оф =- )г — ЬЬТ/2 ° )ь (о) —— о — )г— (ь)оф) = ние сводится к следующему: — 2(.+))) ыг+)) — 2о)) =О. Закон дисперсии ы (А) имеет вид ы~ =- а Р )1 ~ (сс~ + 4сс))) 62.
Неустойчивость возникает в том случае, если (сг + 4а))) ) а+ р, илж 2 !1г ~<2сь, т, е. Приложение Г в) 2пр!' — !" ае е )«Ъ Ь. 3 1/2 2 ~1:9 ль — !79 2лр)« — 1'«,а-' ( )а' е и ) Ьз азп! 9 ль, 19 Ь' — !!а«Ьз Ть = (йе) )«с пр аз пз Тр ль ! Ть )« — 1'Ча' = (2е) - — — е пр а 7.8, Из уравнения (7.127) получаем 2.а!2'(Ь)) =-2Т1)Т„где а) — — пе,,'ле„, Ь .== ы/Аотеае,). ПРсдположим вначале, что паРаметР ан мал, так что алан!, ан =- а.
Малость а означает также, что оф будет почти равна скорости звука р, в аргоне. 1(ля удвоения декремента затухания Ландау необходимо, чтобы «9 !ш е'(ьн) = !т 2'(ьл), где )т е'(ь!) =- — 21 ч!еп ь!е !. таким образом, 2 «2 19 йз (1 ,- ) зле =..= аьне и; а =- — е ьн ! 9 — ь 111 — 110) а==- (40)' е 9 КТ, + ЗКТ! Мл Мл ~З 2КТ; 2 се ~1740 е — 6 5 10,975! 1 12 )б — з 1% Таким образом, величина а настолько мала, что наши начальные предположения справедливы. 2/гз =2'(ч«!)+ 2 («ье)+ — Е'(«ь») В, 7.8. «) »и! 2 2'(ь) яа — 2 — 21~7п ье Поскольку ««» (б ге 'б 1 то 2»е 2 (1 а) 2Т«Те» 11!п 2' (1») 1 (( 1)гп 2' (1е) 1.
В) Поскольку Е' (ь») ав Е' (се) аз — 2, то в уравнении, приведенном в п. а, прн выполнении условий !)» )) Ое и а (!'2 членом, содержащим ь„можно пренебречь. В этом приближении дисперсионное уравнение принимает следующий аид; Приложение Г 385 Последний член приближенно равен й Лр н, если в системе поддерживается 2 2 квазинейтральность, нм можно пренебречь. Таким образом, дисперсионное уравнение для воино-звуковой волны имеет обычную форму, за исключением того, что отношение Т,ГТэ в нем заменено на (! — а) Т;!Тэ Поскольку при малых Тг!Тэ затухание Ландау мало, горячие электроны уменьшают затухание Ландау на ионах.
8.3. Обратимся к рис. 8.4. Рассмотрим ионы, имеющие скорости вблизи о = — ив, и разделим кх на две группы — одну с е = ив + А, а другую с и=ив †. После ускорения в потенциале ф более быстрая часть ионов увеличит свою энергию на меньшую величину, поскольку она начинала движение с большей энергией. Следовательно, относительное уменьшение плотности в этой группе частиц будет меньше. Для более медленной группы частиц ситуация будет противоположной, и в первом порядке общее уменьшение плотности будет таким, как если бы все ионы имели в = ив.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
