Учебник - Введение в физику плазмы - Чен Ф. (1239320), страница 66
Текст из файла (страница 66)
) Приложение А СИСТЕМА ЕДИНИЦ„ КОНСТАНТЫ И ФОРМУЛЫ, ВЕКТОРНЫЕ СООТНОШЕНИЯ А.1. Системы единиц Все формулы в этой книге записаны в системе СИ. Однако в большей части научных публикаций до сих пор используется гауссова система СГС. Ниже представлены уравнения Максвелла в вакууме, гидрадинамнческие уравне- ния движения н закон Ома в идеальной плазме в этих двух системах: СГС (гауссова) 1/.Е = 4пе(л! — л,), СИ 1/ ГЗ = е (л; — лг) Е х Е =- — В, Е В==О, сз/хЕ = — В, 7 В=-О, !/ х И = 1 + )У, !) = — е»Е В= рчн д» тл =- дл(Е+ ч Х В) — чр, 3! с)/Х В=4л)+Е, в=-р=- 1, с(ч д 1 тл — = йл~Е+ — ч Х В) — рр йг 1 Е+ — чХВ= — О.
Е+ч Х В =О, Уравнение непрерывности в обеих системах выглядит одинаково. В гауссовой системе единиц все величины, относящиеся к электрическим явлевиям, измеряются в электростатической системе единиц СГСЭ. Исключение составляет магнитная индукцня В, которая измеряется в гауссах, т. е.
в единицах СГСМ. Чтобы учесть это исключение, приходится записывать в явном виде множители, в которые входит скорость света с. В системе СИ (МКСА) В измеряется в теслах (Тл), равных веберу на квадратный метр. (Вб!мз), причем 1 Тл = !Оч Гс.
Напряженность электрического поля Е в системе СГС имеет размерность 1 ед. заряда СГС/см, а в системе СИ вЂ” В/м. Поскольку ! ед. потенциала СГС равна 300 В, то 1 ед. СГС/см = 3 1Оь В/и. Отношение Е/В в гауссовой системе единиц является безразмерным, так что ая = сЕ/В. В системе СИ величина Е/В имеет размерность скорости, и потому ак = Е/В. Это полезна помнить при проверке размерностей различных членов уравнения в поисках алгебраических ошибок. Плотность тока ) = леч в обеих рассматриваемых системах записывается одинаково. В СГС величины л и ч имеют размерности соответственно см-з и см/с, а е = 4,8 10 'з ед.
заряда СГСЭ. Таким образом, ) выражается в ед. заряда СГСЭ/см', причем 1 ед. тока СГСЭ .= с з СГСМ или 10/с = 1/(3.10») А. В системе СИ л н ч измеряются соответственно в м з и м/с,! а е = 1,6 10 хэ Кл следовательно, ! выражается в А/м"". Приложение Л 334 Большинство формул, записанных в системе СГС, можно перевести в систему СИ, если заменить В/с на В, а 4п — на ео, где 1/4пво — — 9 !О . На— 1 э пример, плотность энергии электрического поля в СГС равна Ез/8п, а в СИ это будет в,Е'/2, плотность энергии магнитного поля в СГС равна Вз/8п, л в СИ вЂ” Вз/2ро.
Здесь мы использовали соотношение (еоро) о/э=с=3 !Оо м/с. Энергия КТ обычно выражается в электрон-вольтах. Для пересчета ее в единицы энергии СГС, т. е. в эрги, мы должны умножить Т,в на 1,6 1О " зрг/эВ. Для пересчета в джоули (СИ) энергию в электрон-вольтах нужно умножить на 1,6 1Π— 'о Дж/эВ. Это последнее число, как следует ,из определения электрон-вольта, равно заряду электрона е в системе единиц СИ. А.2. Полезные константы и формулы Константы СГС СИ скорость света заряд электрона масса электрона о!асса протона по е 0,88 1О 'о см' З,З 1О'з см-з 0,88.10-ое и' 3,3 10'о и Формулы Формулы для расчетов (и в см-з) СИ СГС (гзуссова) ( 4плез )! е ыр плазменная частота /р =- 9000 ц/и с-! еВ гл электронная ыо циклотронная частота /о =- 2,8 ГГц/кГс ( еоКТе )гт 740( ) см (" )ое дебаевскнй "и радиус экранирования 14Т! в мм (Н) Вкгс лю „ еВ шо с ларморовскнй радиус еВ с е М М/ш (М/гл) /" К эВ постоянная Болытмана электрон-вольт теошература, соответствующая 1 эВ поперечное сечение атома водорода плотность нейтральных атомов при комнатной температуре и давлении 10 †мм рт.
ст. 3 1Оз м/с 1,6 1О "' Кл 0 91. 1О-зо кг 1,67 1О з' кг 1837 43 1 38.10-зз Дж/К 1 6.10 — го Дж 11 600 К 3 10!о см/с 4 8.10 — зо СГСЭ 0,91 10-з' г 1,67 10 зо г 1837 43 1 38.10-зо эрг/К 1,6 10 'з зрг 11 600 К Приложение А 71 (А Ч)А=Ч~ — А) — АХ(Ч ХА), ~ 2 Ч (А Х В) =- В (Ч Х А) — А (Ч Х В).
Ч х (А х В) =- А (Ч В) — В (Ч А) + (В Ч) А — (А !7) В, 17 Х ((А Ч) А] =- (А Ч)(Ч Х А) + (Ч А) (Ч Х А) — ((Ч Х А) Ч] А, Ч Х Ч Х А.=-. Ч (Ч А) — (Ч Ч) А, Ч Х Чф=-О, Ч (Ч х А) = О. Цилиндрические координаты (г, О, г) ! д Г дф ~ 1 деф д'ф Чеф =- — — г — + — + — г дг ~ дг г' ге дее дг" 1 д ! д д Ч. А = — — (гА,) + — — Ае + — Ае, г дг ' г дО дг Г1 д 1 дА, 1 + ~ — — (гАе) — — ' ~ к, 1. г дг дО 2' Ч'А = (Ч'Р) А = ~ Р'А,— ~Аг+ 2 — ) ~ г+ 1 / дАе дО Я +~ЧеАв — —,(Ав — 2 )] О+ЧеА к, дВг 1 дВ, дВ, 1 (А Ч) В = г ~Аг — + Ае — + Ае — — АеВе)+ а.
дО дг дВе 1 дВе дВе 1 + О ~Аг + Ае + Ае + АеВг)+ дг г дО дг г г дВ 1 дВе дВе +й~Аг ' +Ае — — +Ае д. г дО дг ) Приложение Б ТЕОРИЯ ВОЛН В ХОЛОДНОЙ ОДНОРОДНОЙ ПЛАЗМЕ При Т, = Тг =. 0 анализ волн, который был выполнен в гл. 4, легко обобщить на случай проиавольного числа сортов заряженных частиц и произвольного угла распространения 0 по отношению к направлению магнитного поля. В это рассмотрение мы не включаем волны, свойства которых зависят от температуры Т, например конно-звуковые волны. Прежде всего найдем тензор диэлектрической проницаемости плазмы.
Запишем четвертое уравнение Максвелла 17 Х В =- Рз () + воЕ ) (Б.1) где 1 — - ток в плазме, обусловленный движением з сортов частиц с плотностью п„зарядом д, и скоростью ч,: (Б.2) = ~ пзщчп 5 Считая плазму диэлектриком, плотность тока внутри которого равна Б уравнение (Б.1) можно нсрепнсать в виде Чх В=р,Р, (Б.З) где Р = еав+(Пы) ) (Б.4) Здесь мы предположили, что все величины, описывающие движение плазмы, зависят от времени как ехр ( — 1ы1). Пусть ток 1 пропорционален Е, но из-за влияния магнитного поля Взх не обязательно направлен вдоль Е, тогда с по- мощью соотношения (Б.б) )=о Е мы можем определить тензор проводимости о.
Уравнение (Б.4) принимает вид 1 Р = ез (1 + — о ). Е = е Е. еоы (Б.б) Таким образом, диэлектрическая проницаемость плазмы представляет собой тензор е =- ез(1+ )о)еаю), (Б.7) где 1 — единичный тензор. Приложение Б Для вычисления о воспользуемся линеаризованным уравнением движения частиц сорта з, пренебрегая членами, связанными со столкновениями и давлением: тс(дчс/д!) = !/5 (Е + чс Х Во). (Б. 8) !ОХ [Ео -!- 1(всс/в) Ех! ОО5 шсв 1 (0555/в) (Б.10б) (Б.10в) !О о = — Е, 25 2 Шсо! где знаки ч= относятся к заряду О,. Ток в плазме =.
2 ' носу ч51 5 поэтому (Б.!1) !ОЗ Е„ш ! (в,/в) Е„ 5 1 — (оз„/в)5 =-Е( Е сп 1(в„/в) Е„ ) (Б. 12). (5055/в) Воспользовавшись тождествами 1 1 1 — (в,/в)' 2 в ж всс в ч' всс (Б.!3) озв/в 1 ~ о! О! 1 — (вс,/в)' 2 !" 55  — ВС5 уравнение (Б.!2) можно переписать в следующем виде: сгч-Ч 2 5 (Б.14) Аналогично у- и 2-компоненты плотности тока определяются равенствами Определяя цнклотронную и плазменную частоты для каждого сорта частиц: всс ~ !)5ВО/шс ( ' врс поус/вовс* (Б.9) уравнение (Б.8) можно разбить на компоненты по осям х, у и г и найти составляющие вектора скорости о;. 505 [Ех — ! (0)55/в) Ео! (Б.10а) Ш5в 1 (вс5/со) Приложение Б 339 х,ат-ы„еэч=ю„) "л сез, ерю ~ з ю' Определяя величину („из (Б.14) и подставляя ее в (Б 4), получаем —.' '="--.' Х ~::: (.:...:..)' (Б.!б) (Б.!6) а5 ( ы +,( ю .~. юы (Б.17) Введем следующие обозначения: 2 5 2 = -Х-::(.
5 (Б.18) 1 5 = — — ()с + Ь), 2 ! Р— — (Я вЂ” Ь)'1, 2 2 а5 юз 3 С помощью этих определений уравнение (Б.17) и аналогичные соотношения, получающиеся, если спроектировать уравнение (Б.11) на оси у и г н воспользоваться формулами (Б.10б) и (Б.10в), можно записать в виде е„!Р„= 5ń— !РЕю е„гР„=. !РЕ„+ 5Бю (Б.19) ео Ра=РБе Сравнивая последние равенства с соотношением (Б.б), мы видим, что 5 — !Р 0 в= ее !Р 5 0 =заел. 0 0 Р (Б.20 ) Теперь выведем волновое уравнение, взяв ротор от уравнения Максвелла Тт Х Е = — В и заменив и Х В на рае Е. В результате получим уравне- ние 1 р Х р Х Е = — р,ез (ен. Е) =- — —.
ен Е. (Б.21) ') Заметим, что здесь Р— это не вектор электрической индукции Р, .а величина, связанная с разностью величин И и Ь. Приложение Б Предположим, что Е зависит от пространственных переменных как ехр (рй г), и введем определение векторного показателя преломления: р = сй/в. (Б.22) Тогда уравнение (Б.21) запишется в виде р Х (р х Е) + ел ° Е = О. (Б.23) В плоскости »у однородная замагниченная плазма потери общности можно выбрать ось у так, чтобы йэ = О.
Пусть угол между векторами й и Вя равен !5 = — !55!пО, 1» = !»со50, Теперь выпишем уравнсние (Б.23) в компонентах, ношением (Б.20) для составляющих тензора ехб изотропна; поэтому без выполнялось равенство О, тогда р„= О. (Б.24) воспользовавшись соот- 5 — р' соя'  — !Р рая!п 0 соя 0 Е» К Е= — пВ 5 — ря 0 Еэ — — О. (Б.25) рзя!пОсо58 0 Р— ряя!п'0 Š— Р (р» — 25ря+ й1:) 5!и 0— р'(5 — Р)+ ря !Р5 — йЕ) (Б.27) Здесь мы воспользовались тождеством 55 — Ря = йЬ. Аналогично 5р — (Р5+ йй) р + РйЕ соя» О— р (5 — Р) + р'(Р5 — йЕ) (Б.28) Разделив последние два соотношения друг на друга, получим Р (р» — 25рз+ й1,) 185 Вв 5р — (Р5+ И,)р -', РйЕ Поскольку 25 = й + Л, то числитель и знаменатель этого соотношения можно разложить на множители, и в результате дисперсионное уравнение для волн в холодной плазме принимает следующий вид: Р (р' — й) (ря — 1) (Б.
29) (5р' — И.) (р' — Р) Если положить 0 = 0 или 90', то из (Б.29) можно получить основные моды колебаний, рассматривавшиеся в гл. 4. Пусть О = О, тогда уравнение имеет три корня: Р = 0 (ленгмюровская волна), р' =- й (правополяризованная волна), р' = !. (левополяризованная волна). В случае В = 90' мы имеем два корня: ря = йЕ/5 (необыкновенная волна) и ря = Р (обыкновенная волна). Воспользовавшись определениями (Б.18), можно показать, что Отсюда видно, что компоненты Е» и Ея саязаны с Е» только в том случае, когда угол 8 не равен 0 или 90'. Матричное уравнение (Б.28) эквивалентно системе трех однородных уравнений, решение которой существует, только если детерминант матрицы 1( обращается в нуль: бе1 !! й!! = О. Раскладывал этот определитель по минорам элементов второго столбца, получаем (И)5(Р— ряя!п» 0) + (5 — ря) ((5 — ря соя»0) (Р— рая!п'0)— — р» 5!па 0 соя» О) =. О.
(Б.26) Заменив соя»0 на 1 — 5)п»0, можно разрешить это уравнение относительно 51п' В: Приложение Б 341 получающиеся дисперсионные уравнения тождественны выведенным в гл. 4 с точностью до поправок, возникающих из-за учета движения ионов. Полагая Р -~ оо, можно найти резонансы: (д 0„,=.. — Р)5. (Б.ЗО) Из этого соотношения следует, что резонансные частоты зависят от угла О. При 0 = О возможными решениями являются Р = О или 5 = оо.
Первое отвечает плазменному резонансу ы = ыр. а второе реализуется либо при Е = оо (электронный цнклотронный резонанс), либо при Е =- со (ионный цнклотронный резонанс). В случае 0 = — 90' возможны решения Р = со или 5 = О. Первому из этих равенств при конечных ыл и ы удовлетворить нельзя; второе позволяет получить выражения для верхне- и инжнегибридных резонансных частот, а также для двухиониых гибридных частот (в том случае, когда в плазме имеются ионы двух или более сортов). Частоты отсечек можно найти, если в уравнении (Б.26) положить р =- О, Воспользовавшись тождеством 5з — ()з = — ЕЬ, получаем РРЕ == О. (Б.З!) Частоты отсечек не зависят от угла О. Условия Р = О и Е = О приводят к выражениям для частот отсечек вл н ыш полученным в гл, 4 (с точностью до поправок, учитывающих движение ионов).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
