Учебник - Введение в физику плазмы - Чен Ф. (1239320), страница 64
Текст из файла (страница 64)
цель оправдывает средства! Производя аналогичные преобразования с уравнениями (8.107) и (8.108), находим, что в этом случае члены наинизшего порядка пропорциональны Ьада, а дод/6$ = дХд/6$ = дпд/6$. (8.115) Поскольку все величины при $ -д- оо обращаются в нуль, интегрирование равенств (8.115) дает и, = Х, = о,'= — (/. 323 8.8. Нелинейные уравнения физики плазмы К счастью, величина )(з сокращается, и, заменяя все величины первого порядка на У, мы приходим к уравнению +() + =О, дУ дУ 1 да(/ дг дй 2 д$а . 121) которое тождественно уравнению (8.92).
Таким образом, в следую- щем после линейного порядке по амплитуде ионно-звуковая волна описывается уравнением Кортевега — де Вриза. Задача 8 18. В водородной плазме с плотностью па.=- 10" м — з и температурой КТ,= = 1О эВ возбуждается солитон потенциача, амплитуда которого равна 12 В. Вычислите скорость этого солитона (в и(с) и его полную ширину по половине иаксимуна амплитуды (в мм), предполагая, что солнтон описывается уравненном Кортевега — де Вриза. (агкпзание; сначала покажите, что в нориированных переменных скорость солитона равна единице.) 8.8.2.
1т'етинейное уравнение Шредингера В безразмерных переменных это уравнение имеет вид 1 дф!д1 + р даф(дхз -)- д 1 тр 1' ф = О. (8.122) Здесь ф — амплитуда волны, 1=( — 1)' '. Физический смысл коэффициентов р и а мы выясним ниже. От обычного уравнения Шредингера 1а дф)д(+(йа(2т)дзф/дхз — )г(х, 1) ф=-О уравнение (8.122) отличается тем, что в последнем потенциал )г (х, 1) сам зависит от ф, н потому третий член в левой части становится нелинейным.
Следует заметить, что 1' зависит только от квадрата амплитуды (ф)з и не зависит от фазы функции ф. для случая электронных плазменных волн последнее обстоятельство является естественным, поскольку нелинейность ленгмюровских колебаний связана с действием силы ВЧ-давления, которая зависит от градиента интенсивности волны. Рассмотрим решения уравнения (8.122), имеющие вид плоских волн.
Оказывается, при выполнении условия рд >О эти решения становятся модуляционно-неустойчивыми; иными словами, модуляция огибающей волны имеет тенденцию к росту. Картина процесса во многом аналогична изображенной на рис. 8.24, несмотря на то что мы рассматриваем здесь движение жидкости, а не взаимодействие с волной отдельных частиц.
Поясним, как сила ВЧ-давления может вызвать модуляционную неустойчивость плазменных волн. Плазменное колебание с пульсирующей огибающей показано на рис. 8,26. Сила ВЧ-давления, обусловленная градиентом интенсивности плазменной волны„будет сдвигать электроны и ионы в те точки, где интенсивность волны минимальна. Это при- Гл. 8. Нелинейные явления 324 Рис.
8.26. Сила ВЧ-давления, возникающая из-за неоднородности амплитуды плазменной волны, заставляет ионы смещаться в точки минимумов интенсивности колебаний. В результате в плазме образуются каверны плотности, в которые захватываются ленгмюровские волны, и модуляция исходной плазменной волны возрастает. ведет к модуляции плотности плазмы.
Из дисперсионного уравнения для ленгмюровских волн ю~ =- ар + (3/2) й'оз„„ (4.30) следует, что волны с большими й могут существовать только там, где мала локальная величина со и, следовательно, мала плотность п. Вследствие этого плазменные волны окажутся запертыми в областях пониженной плотности плазмы. Захват части плазменных волн еще более увеличит интенсивность плазменных колебаний в тех областях, где они и без того были велики, и приведет таким образом к дальнейшему росту амплитуды огибающей. Какой смысл имеет в этом случае условие ру )О? Оказывается, для плазменных волн р и у пропорциональны соответственно дисперсии групповой скорости йи,р/йн и нелинейному сдвигу частоты 6ю дщ/д1ф1з. Ниже мы покажем, что р = (1/2) ио„р/й/с, у = — доз/д1ф 1з — бсо.
(8.123) Модуляционная неустойчивость может возникнуть только в том случае, когда ру )О, т. е. 6оз и йотр/йй имеют противоположные знаки. Для того чтобы понять, почему это так, обратимся к рис. 8.27. На рис. 8.27, а показана модуляция огибающей волны, которая возникла вследствие случайных флуктуаций амплитуды. Пусть бщ (О. Тогда в области большей амплитуды ленгмюровской волны частота со, а значит, и пропорциональная ей фазовая скорость ю/й станут несколько меньше исходной. Вследствие этой неоднородности фазовой скорости распределение поля в левой части образования станет гуще, а в правой — более разреженным (рис.
8.27, б). Таким образом, локальное значение волнового числа й в левой части пакета станет больше, чем в правой. Если с1о„р/йй )О, то групповая скорость в левой части пакета при этом окажется выше, чем в правой, и энергия волны локализуется в бо- г~~фф ту у м 325 8.8. Нелинейные уравнения физики плазмы о ге Рнс. 8.27. Модуляционная неустойчивость может возникнуть только в том случае, когда нелинейный сдвиг частоты и дисперсия групповой скорости имеют противоположные знаки. Рнс. 8.28. Солитон огибающей. мс(х, () = (2А!с))" зсй 1(А!р)и~х~ е' ~'. (8.124) лее узкой об.части пространства. Иными словами, огибающая станет выше, а охватываемая ею область — уже (рис.
8.27, в). Если же бсо и сспгр!йсс имеют одинаковые знаки, то модуляционная неустойчивость возникнуть не может. Несмотря на то что решения уравнения (8.122) в виде плоских волн при рс) )О являются неустойчивыми, у этого уравнения могут существовать и устойчивые решения в виде так называемых солсслсонов огибающей. Их можно получить из фундаментального решения Гл. 8. Нелинейные явления 328 Здесь А — произвольная константа, которая связывает между собой амплитуду, ширину и частоту колебаний в волновом пакете.
В любой заданный момент времени решение (8.124) представляет собой обычный солитон наподобие того, который описывается формулой (8.100) (правда, теперь гиперболический секанс входит в решение в первой степени, а не в квадрате). Из-за наличия экспоненциального множителя решение ш (х, !) осциллирует между максимальным и минимальным значениями. Существуют и другие солитонные решения уравнения (8.122); среди них — солитон огибающей, движущийся со скоростью )г (рис.
8.28): тр(х, !) =( — )' зс)г ~~ — )' (х — х,— )у()1ехр [1(А!+ х— — (+ Оа )1 (8.125) 4р Здесь х„и О, — начальные положение и фаза колебаний в солитоне. Из решения видно, что значение скорости )' определяет число длин волн, которые в каждый момент времени укладываются внутри огибающей. Задачи 8.18, Прямой подстановкой покажите, что выражение (8.124) является ре- шением уравнения (8.122). 8.20, Докажите, что (8.!28) является решением уравнения (8.122).
Для этого покажите, что если ш (х, 0 сеть решение уравнения (8.122), то функггия чр = ш (х — х, — )г(, !) е яр (! ( ггх(2р — Ут!!4р Ч- О,)] также является его решением, Теперь мы хотим показать, что нелинейное уравнение Шредингера описывает электронные плазменные волны большой амплитуды. Для этого нужно решить самосогласованную задачу, которая определяла бы образование каверны п.чотности под действием силы высокочастотного давления и поведение вола в такой каверне. Высокочастотные движения электронов описываются уравнениями (4.18), (4.19) н (4.28), которые мы перепишем в виде диод(= — (ест) Š— (ОКТ,(тпа) (дпгдх), (8.126) дпгд! + па (дигдх) =- О, (8.127) дЕ!дх= — ес !еп, (8.128) где и, — плотность однородной невозмущенвой плазмы; Е, гг и и — соответственно возмущения электрического поля, плотности электронов и скорости электронной жидкости. Эти уравнения линеаризованы, поэтому нелинейности (н 7) н и р (пп) в них отсутствуют.
Взяв производную по времени от уравнения (8.127) и произ- 827 8 8. Нелинейные уравнения физики плазмы и(х, 1)=из(х, 1)е '~' . (8. 13 1) Дважды дифференцируя это равенство по времени, получаем дои!д(' =(и~ — 21вои~ — вои,) е ' ', где точки означают дифференцирование по «медленному» времени. Поскольку вторая производная из с(; оооиь ею можно пренебречь, 2 и мы имеем д и1дт~ = — (вон~+ 21вои~) е (8.132) Подставляя это выражение в уравнение (8.130), получаем 21вои~ + зкт, д'нз с з з з Бп х 1 — ьъи +~во — в — в — ) щ ~е ' =-О. (8.133) т дх' но Переходя к безразмерным переменным В=в 1, в'=а/в, х'=хйо, (8.134) и' = и(КТ,7т), бп'= Ьп)п„ перепишем (8.133) в виде [ З д н~ 1 " Ь»ОЗ 2 1,' — ~.
— + — (; — 1 — О '~,',] ди 2 дх" 2 Введем обозначение Ь для относительного сдвига частоты: (8.133а) б = (во — вр)1вр — — во — 1 (8.135) водную по х от уравнения (8.126), можно исключить из системы величины и и Е и записать уравнение (8.128) в виде допд(з — (ЗКТ,(т)дзп7дхз+(поеЧтао) п=-О. (8.129) Теперь заменим п, на п, + бп, где Ьп — возмущение плотности в каверне; это единственный нелинейный эффект, который мы будем рассматривать. Естественно, линейному уравнению (8.29) удовлетворяет любое линейное возмущение, однако для последующего удобнее записать это уравнение для скорости и и воспользоваться определением величины вр.
Таким образом, мы будем рассматривать уравнение д и7д( — (ЗКТ,(т) дзи|дх + ао (1 + Ьп)п ) и =-О. (8.130) Скорость и состоит из высокочастотной составляющей, которая осцнллнрует с частотой а„близкой к плазменной частоте в, и низкочастотной части из, описывающей квазинейтральное движение электронов вслед за ионами, когда последние образуют каверну плотности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
