Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 66
Текст из файла (страница 66)
75. Выразите коммутаторы:а) [ АВс,ЬJ;ь) [ Л 2 + iз 2 , Л + ifз Jллчерез попарные коммутаторы операторовллA,B,C,D.ллУпражнение А. 76. Для двух операторов А и В предположим, что[А, В J= cl , где с - комплексное число. Покажите, что[ А,fзп J= псfз"- 1 •(А.46)ллУпражнение А.77. Покажите, что если А и В эрмитовы, то эрмитовы такжеа)i[ Л,в];Ь) {Л,iз}.Упражнение А. 78. Найдите коммутационные соотношения операторов Паули(1.7).Ответ:(А.47)где Е есть символ Леви-Чивиты, задаваемый выражениемEmjk=j+l пpиmjk = xyz yzx или zxy-1 при mjk = xzy yxz или zyx(А.48)О в остальных случаях.А.1 О. Унитарные операторыОпределение А.24.
Линейные операторы, отображающие все векторыс нормой1 на векторы с нормой 1, называют унитарными(unitaгy).Упражнение А. 79. Покажите, что унитарные операторы сохраняютнорму любого вектора, т.е. если la')=Ula), то (aia)=(a'la').383ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАУпражнение А.80.
Покажите, что оператор И является унитарнымв том и только том случае, когда он сохраняет скалярное произведениелюбых двух векторов, т.е. если ia')= Oia) и IЬ')= UIЬ), то (аiЬ) = (а'IЬ').Упражнение А.81. Покажите, что:а) унитарный оператор отображает любой ортонормальный базис{lw)}на ортонормальный базис;Ь) верно обратное утверждение: для любых двух ортонормальныхбазисов {lv)}, {lw)} оператор О= L;lv;)(w; унитарен (иными1словами, любой оператор, который отображает один ортонормальный базис на другой ортонормальный базис, является унитарным).Упражнение А.82.
Покажите, что оператор И унитарен в томи только том случае, еслиiJtO = OOt = iст. е. для него сопряженныйоператор равен обратному).Упражнение А.83. Покажите следующее.а) Любой унитарный оператор может быть приведен к диагональному виду, а все его собственные значения имеют абсолютнуювеличину1, т. е.их можно записать в видементарий к сноске на стр.ei0,где8 Е IR.См. ком355Подсказка: воспользуйтесь упр. А.63.Ь) Любой диагонализируемый оператор (т. е. такой оператор,матрица которого становится диагональной в некотором базисе)с собственными значениями, равными по абсолютной величине1,является унитарным.Упражнение А.84.
Покажите, что следующие операторы унитарны:а) операторы Паули(1.7);Ь) поворот на угол q> в линейном пространстве двумерных геометрических векторов надIR.Рис. А.1. Соотношения между типами операторов384ПРИЛОЖЕНИЕ А. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫСемейства эрмитовых и унитарных операторов частично перекрываются, но не идентичны (рис. А.1). Оператор, который является одновременно эрмитовым и унитарным, должен быть обратен самому себе,как показано в упр. А.82. Такие операторы встречаются относительноредко.А.11.
Функции операторовКонцепция функции оператора имеет множество приложенийв линейной алгебре и дифференциальных уравнениях. Она удобнатакже в квантовой механике, поскольку позволяет легко рассчитывать операторы эволюции.Определение А.25. Рассмотрим комплексную функциюделенную на С Функциейj(A)f(х), опредиагонализируемого оператора Аназывается следующий оператор:(А.49)где { 1а;)} есть орто нормальный базис, в котором А принимает диагональный вид:(А.50)Упражнение А.85. Покажите, лчто если вектор 1 а) есть собственныйвектор эрмитова оператораАс собственным значением а, тоJ(A.)ia)=f(a)ia).Упражнение А.86.
Предположим, оператор А эрмитов и функцияf(х), примененная к любому действительном7ларгументу х, принимаетдействительное значение. Покажите, что f~A) - тоже эрмитов оператор.Упражнение А.87. Предположим, оператор А эрмитов, и функцияf(х), примененная к любому действительному аргументу х, принимаетдействительное неотрицательное значение. Покажите, чтоJ(A.) -неотрицательный оператор (см. определение А.22).385ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАУпражнение А.88. Найдите матрицыJA и ln А в ортонормальномбазисе, в которомл~(~ ~)·1(1лУпражнение А.89. Найдите матрицу е' 0л, где А~ .
•2 1~)·Подсказка: одно из собственных значений А равно О, а это означает, что соответствующий собственный вектор не появляется в спектральном разложении (А.50) оператора А . Однако экспонента соответствующего собственного значения не равна нулю, и соответствующие собственные векторы все же фигурируют в операторнойфункции (А.49).Упражнение А.90. Покажите, что для любого оператора А и функцииf выполняется [ A,J(ii)J=o.Упражнение А.
91. П редположим,f (х) имеет разложение в ряд Тейлораf (х) = fr.> +J;x +J;x2 + .... Покажите, что J (А)= f 0 i + f 1А+ f 2 A2 + ...лУпражнение А. 92. Покажите, что если оператор А эрмитов, то опе-ратор ei.4 унитарен и eiA = ( е-iЛ ( .Упражнение А. 93*. Пусть s = ( sx ,sY ,s,) есть единичный вектор (т. е.вектор длины 1). Покажите, чтоeie;J= cos ei + i sin 85. &'(А.51)П~дсказка: находить решения для собственных векторов оператораs·cr в явном виде нет необходимости.Упражнение А.94§.
Найдите матрицы операторовв каноническом базисе.Ответ:ei0a,~( cos8i sin 8386i sin е);cos8eiecrlПРИЛОЖЕНИЕ А. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫеiBcr, "" ( COS8 SiП 8);-sin е cose(t) ) зависит от неко(t) ) относительно t определяетсяОпределение А.26. Предположим, вектор IЧJторого параметраt.Производная IЧJкак векторld l'V) = lim 'V (t + Лt))Лtлr -.оdt-1 'V (t)) .(А.52)Аналогичным образом производная оператора У (t) относительноtесть операторd У = lim У (t + Лt )- У (t)Лtdt Л/->0.(А.53)Упражнение А.95. Предположим, матричный вид вектора IЧJ(t) )в некотором базисе таков:Покажите, чтоЗапишите выражение для матричного вида производной оператора.Упражнение А.
96. Предположим, оператор А диагонализируемв ортонормальном базисе и не зависит отпараметр. Покажите, что freiArt,гдеt-действительный= iAeiAr = ieiAr А .387ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАУпражнение А.97*. Для двух операторов А и В предположим, что[Л,в]=сi,где с-дорфакомплексное число. Докажите формулу Бейкера--ХаусКэмпбелла 1(А.54)с использованием следующих шагов:а) Покажите, что(А.55)Подсказка: используйте разложение в ряд Тейлора для экспоненты и (А.46).Ь) Для произвольного числа Л и оператора д (А)= ел.1 ел.В покажите,чтоdG(Л)ллл~=G(Л) А+В+/..с .()(А.56)с) Решите дифференциальное уравнение (А.56) и покажите, чтоG(Л) = ем+л.в+л.
2 с12.d)Докажите формулу Бейкера(А.57)-Хаусдорфа-Кэмпбелла, исполь--Кэмпбелла. Полный видзуя (А.57).1Это упрощенный вид формулы БейкераХаусдорфаэтой формулы более сложен и выполняется в том числе для случая, когда [А, В J некоммутирует с А или В388ПРИЛОЖЕНИЕ БВЕРОЯТНОСТИ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯБ.1. Математическое ожидание и дисперсияОпределение Б.1. Предположим, что эксперимент (необязательноквантовый) по измерению величиныных результатовТогдаQ называютдля всех значенийQ может дать любой из N возможс соответствующими вероятностями{Q,} (1 :s: i :s: N)случайной величиной, а множество величинipr1•{pr,}называют распределением вероятности.
Математическое ожидание (матожuдание, или среднее значение)Q равноN(Q)= 2,щQ,.(Б.1)j: JУпражнение Б.1. Найдите матожидание числа очков, которые выпадут на верхней грани игральной кости ... .а~~:.·:•• "-~ :-":.••• • •@ / • • • • • •••• •а:ro • "". • 1,.• ;.:•• • •• ••••~ ··, • ••':· ••• ••• • • ••• • • ••.• 1 ·1 · .• • •• • • , "' • ,.. •1•••8)•• ........•••• • ••• • • • • • ••• • • ••• • ,,;••• •••:·•• "••• :_ \••• • • ••,••• · ' •••"••• ""'1. ''\ ••:..:: • -." ••••• • • •ctl.-: ••' ••" .,_.•• • '•••-~-~~~~7~~~~~~~~~-~cSо100••Стандартноеотклонение#Q2)(лQ ' )•• "• "s..С е нее значение ( Q)••••••t , " : .". "• :" • ·.: ••• .""200300400500Номер измеренияРис.
Б.1. Среднее значение и среднеквадратичное стандартное отклонениеслучайной величиныОпределение Б.2. Среднеквадратическая дисперсия случайнойвеличиныQ равна389ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА(лQ 2 /=((Q-(Q))2)= L,щ(Q-(Q))2.(Б.2)lСреднеквадратичное стJндартное отклонение, или неопределенность, величиныQравно( ЛQ 2 )•NЕсли математическое ожидание (Q) =L pr;Q;показывает среднийi=lрезультат измерения, то статистическая неопределенность демонстрирует, на сколько в среднем результат конкретного измерения будетотличаться от матожидания (рис.
Б.1).Упражнение Б.2. Покажите, что для любой случайной величины(ЛQ2 l =(Q2 )- (Q) 2.Q(Б.З)Упражнение Б.3. Вычислите среднеквадратичное отклонение числаочков, которые выпадут на верхней грани игральной кости. Покажитев явном виде, что уравнения (Б.2) и (Б.З) дают один и тот же результат.Упражнение Б.4. Две случайные переменныеQиRнезависимы, т. е.реализация одной из них не влияет на распределение вероятностидругой (к примеру, кость и монета, бросаемые вместе). Покажите, что(QR)=(Q)(R).Верно ли это утверждение, еслиQиR не являютсянезависимыми?Подсказка: независимость означает, что вероятность одновременного наступления событий Q; и Rj равна pr;QprjR для каждой пары (i,j),где pr;Q есть вероятность i-го значения переменной Q, а prf - вероятность j-го значенияR.Упражнение Б.5.
Предположим, что случайная переменнаяQ измеряется (к примеру, кидается кость)меннуюжите,Q, котораячтоN раз. Рассмотрим случайную перепредставляет собой сумму N результатов. Пока-матожидание(ЛQ 2 ) = N ( ЛQ 2 )идисперсиясоответственно.Qравны (д)=N(Q) иБ.2.
Условные вероятностиУсловная вероятность рrл~в есть вероятность некоторого события Апри условии, что другое событие В точно произошло. Примеры:390ПРИЛОЖЕНИЕ Б. ВЕРОЯТНОСТИ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ•вероятность того, что число, выпавшее на кости, нечетное, еслиизвестно, что оно больше трех;вероятность того, что тест на ВИЧ у Алисы окажется положи•тельным, при условии, что на самом деле она не инфицирована;вероятность того, что Боб играет в баскетбол, если известно,•что он мужчина ростом185 см;вероятность того, что завтра будет дождь, если известно,•что сегодня дождь шел.Вычислим условную вероятность в третьем примере. Событие А:«Боб играет в баскетбол». Событие В: «Боб- мужчина ростом 185см».Условная вероятность в этом случае равна числуростомN(А&играющих в баскетбол, деленному на число185 см,В) мужчинN(В) мужчин такого роста (рис. Б.2 а).рrлв =N(A&B)N(B) .(Б.4)- полноеколичество людей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
