Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Б.5. Нормированные гауссовы функции различной шириныУпражнение Б.18. Для гауссова распределения Gь (х- а) покажитеследующее:а) Распределение нормировано, т. е.(Б.16)1Строгая формулировка этого утверждения называется центральной предельнойтеоремой.397ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАЗамечу, что (Б.17) выполняется также для комплексного Ь,при условии чтоRe(Ь) >О.Ь) Среднее значение равно ( х) = а .с) Дисперсия равна ( ЛХ 2 ) = Ь 2 /2.Подсказка: используйте-fе-х'/ь' dx = ь.J1r,;(Б.17)(Б.18)ПРИЛОЖЕНИЕ ВВВЕДЕНИЕ В ФИЗИКУОПТИЧЕСКОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ8.1.Поляризация светаРассмотрим классическую плоскую электромагнитную волну, распространяющуюся вдоль (горизонтальной) осиwиволновым числомk = w/c,где с-zс угловой частотойскорость света. Эта электромагнитная волна является поперечной, так что вектор ее электрическогополя лежит в плоскости х-у:Е (z' t) = Ан i cos (kz - wt + <р н) + Av Jcos (kz -wt + <i>v)'(В.1)или в комплексном виде(В.2)Здесьiиj -единичные векторы вдоль осей х и у соответственно;Ан и Av - действительные амплитуды х- и у-компонентов (которые мыбудем называть горизонтальным и вертикальным), а <rн и<rv -их фазы.Упражнение В.1§.
Покажите, что уравнения (В.1) и (В.2) эквивалентны.Интенсивность света в каждой поляризации пропорциональна(В.За)(В.ЗЬ)Полная интенсивность волны есть сумма двух ее компонентов:I полн схА~ +А~.399ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАИсследуем поведение вектора электрического поля в некоторойконкретной точке в пространстве, скажем,z = О. Если два компонентаполя различаются по фазе, Ё(z,t) будет менять направление в зависимости от времени, как показано на рис. В.1. Чтобы лучше разобраться в этом интересном явлении, попробуйте выполнить следующее упражнение.Упражнение В.2.
Постройте график зависимости горизонтальногои вертикального компонентов вектора Ё(О,t) от времени в интервалеО~ юt ~ 2л для следующих случаев:а) Ан= 1 В / М, Av = О, Ч'н = Ч'v = О;Ь)Ан = 5 В /м,Аv= -3 В /м, <рн = <pv= О;с)Анd)Ан= 5 В /м,Аv = -3 В /м, ч>н = л/2, ч>v= О;= 5 В /м, Av = -3 В /м, <рн = л/4, <pv = -л/4;е)Ан= 5 В /м,Аv= -3 В /м, ч>н =О, <pv=л/6.В каждом из приведенных случаев постройте траекторию точки (Ех,Еу) для постоянной z как функцию времени .ГоризонтальныйПоведениеполяризации/ лРис. В.1.
Поведение поляризации плоской волны. Если вертикальный и горизонтальный компоненты вектора электрического поля колеблются с разнымифазами, направление этого вектора (показанное жирными стрелками) не остается постоянным в пространстве и времени. Траектория конца этого вектораопределяет картину поляризации.400ПРИЛОЖЕНИЕ В. ВВЕДЕНИЕ В ФИЗИКУ ОПТИЧЕСКОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИТраектория вектора поля определяет так называемое состояние поляризации (поляризационную картину) света.
Поляризационное состояние-один из основных параметров электромагнитной волны; оно определяет, как это поле интерферирует с другими волнами или взаимодействует с веществом. Важно, что поляризационная картина сохраняетсяпри распространении волны в пространстве и времени, за исключениемнекоторых материалов, о которых мы поговорим чуть позже.Упражнение В.3. Покажите, что поляризационная картина плоскойволны одинакова для всех значенийz.Переформулируем это утверждение в более общем виде: добавлениепроизвольного сдвига в обе фазы <р 11 ине меняет поляризационную<l>vкартину. Можно сказать, что эта характеристика зависит не от отдельных фаз двух компонентов волны, но от их разницы <р 11 -стве примера упр. В.2, с,d). Данное свойство<l>v (см.в качеполяризационного состояния классической волны имеет прямой аналог в квантовом мире: применение общего фазового сдвига к квантовому состоянию не изменяет егофизические свойства (более подробное обсуждение этого см.
в разд.1.3).В общем случае поляризационная картина является эллиптической; однако, как мы видели выше, существуют особые случаи, когдаэллипс схлопывается в отрезок прямой или раздувается в окружность.Рассмотрим эти случаи повнимательнее.Упражнение В.4. Покажите следующее:а) Поляризационная картина линейна в том и только том случае,когда Ч'нУголнием= q:> 1:+ тл, где т-целое число, или Ан= О, илиAv = О.вектора поля по отношению к оси х задается соотноше8tg8= Av/Ан·Ь) Поляризационная картина имеет круговой вид в том и толькотом случае, когда q:> 11=Ч>v+%+тл, где т-целое число,аА 11 =±А 1 "Важные особые случаи линейной поляризацииполяризация-горизонтальная(Av =О), вертикальная (А 11 =О) и под углом ±45° (Av = ±А 11 ).В круговой поляризации можно различить два случая в соответствиисо спиральностью волны: правая и левая.•Для правой круговой поляризацииили А 1 , = -А 11 и Ч'v= <р 11 - %+Av = А 11 и <l>v2лт, где т-= <р 11 +%+2лтцелое число.401ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАДля левой круговой поляризации Av•илиAv = -Ан и <rv = <rн += Ан и <rv = <rн - % + 2лm%+ 2лm, где т - целое число 1 •Упражнение В.5*.
Покажите, что в случае, если ни одно из условийупр. В.4 не выполняется, конец вектора электрического поля движетсяпо эллипсу.8.2. Поляризующий светоделительПоляризующий светоделительВ.2)-(PBS, polarizing beam splitter)(рис.важный инструмент для анализа оптической поляризации. Онпредставляет собой прозрачный куб, состоящий из двух треугольныхпризм, склеенных между собой, и сконструированный так, чтобы пропускать горизонтально поляризованный свет, но отражать вертикально поляризованный под прямым углом. Если на такой расщепитель пучка подается классическая волна (В.2), то интенсивности пропущенной и отраженной волн будут пропорциональны А~ и А~соответственно.ПоляризующийсветоделительГоризонтальнаяполяризацияВертикальнаяполяризацияРис.
В.2. Поляризующий светоделитель1Определение того, какая из круговых поляризационных схем должна называться«левой», а какая «правой»,- вопрос соглашения. Здесь мы следуем соглашению,принятому в квантовой оптике. В право-циркулярной схеме конец вектора электрического поля вращается по часовой стрелке, если смотреть «сзади» относительно волны(от источника). Однако вращение происходит против часовой стрелки, если смотреть«спереди», или в плоскости х-у с традиционной ориентацией осей.
В пространстве этатраектория имеет вид левого винта.402ПРИЛОЖЕНИЕ В. ВВЕДЕНИЕ В ФИЗИКУ ОПТИЧЕСКОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ8.3. Волновые пластинкиИногда возникает необходимость изменить состояние поляризациисвета, не разделяя вертикальный и горизонтальный компоненты пространственно. Обычно это делается при помощи оптического инструмента, известного как волновая пластинка. Действие волновой пластинки основано на двойном лучепреломлении-оптическом свойстве,которое демонстрируют некоторые материалы, в первую очередь-кристаллы, к примеру, кварца или кальцита. Двупреломляющие кристаллы обладают анизотропной структурой, такой что световая волна,проходящая через них, меняет свою поляризационную картину, еслитолько она не поляризована линейно вдоль одного из двух направлений: либо вдоль, либо перпендикулярно оптической оси кристалла.Традиционно эти направления называют необыкновенным (е) и обыкновенным (о) соответственно.Двупреломляющийматериал имеет разные коэффициентыпреломления для этих двух видов поляризации.
Следовательно,после прохождения через кристалл обыкновенные и необыкновенные волны приобретают разные фазы: Л<р 0 и Л<р" соответственно.Поскольку общий фазовый сдвиг не оказывает влияния на состояние поляризации, интерес представляет лишь разность этих величин О<р= Л<ре -Л<ро.Упражнение В.6. Показатели преломления для волн, поляризованных параллельно и перпендикулярно оптической оси, равны соответственно п,.
и п 0 ; длина кристаллаL; длина волны в вакууме Л. Найти О<р.Волновая пластинка представляет собой двулучепреломляющий кристалл определенной длины, такой что О<р известно точно. Серийновыпускаются два вида волновых пластинок: Л/ 2 (полуволновая)пластинка с О<р =ли Л/4 (четвертьволновая) пластинка с О<р=л/2(half/ quarter wave plate).Если картина поляризации не является строго обыкновеннойили необыкновенной, при распространении через двулучепреломляющий кристалл она изменится.
Чтобы определить это изменение,волну раскладывают на необыкновенный и обыкновенный компоненты. Сдвиг фазы каждого компонента известен. Зная новые фазыобоих компонентов, мы можем объединить их, чтобы найти новуюкартину поляризации.403ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАУпражнение В.7. Для каждого состояния поляризации из упр. В.2постройте поляризационную характеристику, которую волна приобретет при прохождении сквозь: а) полуволновую пластинку; Ь) четвертьволновую пластинку с оптической осью, ориентированной вертикально.Конечнаяполяризацияполяризациях (обыкновенная ось)Рис. В.3.
Действие полуволновой пластинки с вертикально ориентированной оптической осью. Из-за разных коэффициентов преломления материаладля обыкновенной и необыкновенной поляризаций длина оптических путейобыкновенной и необыкновенной волн получается разной, в результате чегоось поляризации поворачивается.Выполняя эти упражнения, вы, должно быть, заметили, что полуволновая пластинка«переворачивает»поляризационную картинувокруг вертикальной (или горизонтальной) оси, подобно зеркалу.Это неудивительно: сдвиг фазы вертикального компонента на л эквивалентен умножениюAv на -1.Разумеется, такое отражающее свойство проявляется не только для вертикально ориентированной оптической оси, но для оси любой ориентации, что делает полуволновуюпластинку универсальным инструментом поворота поляризации электромагнитного поля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
