Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Например, световая волна, линейно поляризованная под углом е к горизонтали, после прохождения сквозь полуволновую пластинку с оптической осью, ориентированной под углома к горизонтали, превратится в волну, линейно поляризованнуюпод углом 2а404- 8 (рис.В.4).ПРИЛОЖЕНИЕ В. ВВЕДЕНИЕ В ФИЗИКУ ОПТИЧЕСКОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ· Оптическая осьУ:волновойполяризацияхПоворотполяризации:'Рис. В.4. Поворот поляризации при помощи полуволновой пластинкиУпражнение В.8§. Покажите, что полуволновая пластинка с оптической осью, ориентированной под углом22,5°к горизонтали, преобра45° и обратно,под -45° и обратно.зует горизонтальную поляризацию в поляризацию пода вертикальную поляризацию-в поляризациюПолный набор возможных трансформаций поляризационнойкартины не ограничивается поворотами. К примеру, полуволновая пластинка не может перевести линейную поляризацию в круговую/ эллиптическую, и наоборот.
Для решения этой задачи нам потребуется четвертьволновая пластинка.Упражнение В. 9. Покажите, что четвертьволновая пластинка с оптической осью, ориентированной вертикально или горизонтально, переводит круговую поляризацию в линейную под углом±45°, инаоборот.Упражнение В.10. Свет, линейно поляризованный под углом8к горизонтали, проходит через четвертьволновую пластинку с вертикально ориентированной оптической осью. Найдите угол наклонабольшой полуоси к горизонтали и отношение малой и большой полуосей в выходной эллиптической поляризационной картине.Упражнение В.11 *.Предположим, у нас есть источник горизонтально поляризованного света.
Покажите, что при помощи однойполуволновой и одной четвертьволновой пластинок можно получитьсвет с любой поляризационной характеристикой.Подсказка: с этой задачей проще справиться, воспользовавшись геометрическими соображениями, в первую очередь результатом упр.В.5, а не формальной алгеброй.405ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАУпражнение В.12.* Линейно поляризованный свет проходит сначала через полуволновую пластинку, потом через четвертьволновуюпод углом45°к горизонтали, а затем через поляризующий светоделитель.
Покажите, что интенсивность прошедшего света не зависитот угла ориентации полуволновой пластинки.ПРИЛОЖЕНИЕ ГДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ ДИРАКАИ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕГ.1. Дельта-функция ДиракаДельта-функцию можно представить себе как функцию Гаусса (Б.15)бесконечно малой ширины Ь (рис.
Б.5):Gь(х)=12 ' 2се-х;ь ~8(х) приЬ~О.(Г.1)b'\/1tДельта-функция используется в математике и физике для описанияраспределений плотности бесконечно малых (сингулярных) объектов.Скажем, зависящая от координаты плотность одномерной частицы массойm, расположенной в точке х = а, может быть записана как то (х -а).Подобным образом плотность вероятности непрерывной «случайнойпеременной», которая принимает конкретное значениех =а, равна о (х- а).В квантовой механике мы используем о (х), к примеру, для записи волновой функции частицы, координата которой точно определена.Понятие функции в математике относится к отображению, которое ставит число х в соответствие другому числу j(x).
Следовательно,дельта-функцию нельзя считать функцией в традиционном смысле:она отображает все х* О на О, но х = О -на бесконечность, котораяне является числом. Она принадлежит к классу так называемых обобщенных функций. Строгую математическую теорию обобщенныхфункций можно найти в большинстве учебников математическойфизики. Здесь мы поговорим только о тех свойствах дельта-функции,которые полезны для физиков.Упражнение Г.1. Покажите, что для любой гладкой 1 ограниченнойфункции! (х)1Гладкой называется функция, имеющая производные всех конечных порядков.407ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА+=limЬ->0J Gь (x)f (x)dx = J (О).(Г.2)Из уравнений (Г.1) и (Г.2) для любой гладкой функцииf(х) получаем+=J 8(x)f (x)dx = f(O).(Г.3)Это свойство чрезвычайно важно, поскольку позволяет производитьс дельта-функцией осмысленные вычисления, несмотря на ее сингулярную природу.
Хотя дельта-функция не имеет численного значенияво всей своей области определения, у интеграла произведения дельтафункции и любой другой функции, конечной в окрестности точких=О, оно есть. Мы можем записать дельта-функцию вне интеграла,но должны всегда помнить, что в процессе преобразований она в итогестанет частью интеграла и тогда даст численное значение-к примеру,предсказание экспериментального результата.Фактически уравнение (Г.3) можно рассматривать как строгое математическое определение дельта-функции. Пользуясь этим определением, мы можем получить другие ее базовые свойства.Упражнение Г.2.
Покажите, что:а)+=J 8(x)dx=1;(Г.4)Ь) для любой функцииf(х)+=J 8(x-a)f(x)dx=f(a);(Г.5)с) для любого действительного числа а8(ах) =8(x)/lal.(Г.б)Упражнение Г .3. Для ступенчатой функции Хевисайдае(х)= {о, если х <01,если х~О(Г.7)покажите, чтоd-е(х)= 8(х).dxПодсказка: используйте уравнение (Г.3).408(Г.8)ПРИЛОЖЕНИЕ Г. ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ ДИРАКА И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕУпражнение Г.4. Покажите, что для любого с< О иd>Оdj&(x)dx=1.(Г.9)Г.2. Преобразование ФурьеОпределение](k)=F[f](k)Г .1.Результатомпреобразованияфункцииf(х) называется функция параметраФурьеk,определенная следующим образом':](k) = ~v2лfe-ikxf (х) dx.(Г.10)-=Это важное интегральное преобразование, используемое во всех областях физики.
Рассмотрим, к примеру, оптическую волну, излучаемуюмножеством оптических источников разных частот. Волна, излучаемаяконкретным источником частотыw,имеет видf (w)e-iwt,гдеf (w)-комплексная амплитуда этого источника. А суммарный сигнал от всехисточников равен+=Jf (m) е-iм dm , т. е.Фурье-образу функции f (w) -частотного спектра набора источников. Плотность энергии спектра функция lf(w) 12 - может быть измерена экспериментально при помощиоптического элемента с дисперсией, такого как призма.Упражнение Г.5. Покажите, что, еслиf1 -а) ](О)= J2Л f(x)dx;](k) = F[f(x)]_Ь) при действительном! (х) имеем f_существует, то:(Г.11)(-k) = f* (k) ;с) при а* Оd)F[f (ах)]= l~I ](k/a);(Г.12)F[f(x-a)J=e-ika](k);(Г.13)е) F[e;c,x f(x)]=](k-~);f)при условии, чтоf(х)(Г.14)-гладкая функция, стремящаяся к нулюпри ±со,1Не существует общепринятой договоренности ни о том, где ставить минус в показателе комплексной экспоненты- в уравнении (Г.10) или (Г.21), ни о том, как распределить между ними множитель 1/2л.
Для этой книги я выбрал договоренность посвоему собственному вкусу.409ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАF[ df (x)/dx J= ikf (k).(Г.15)Упражнение Г.6. Покажите, что Фурье-образ гауссовой функциитоже является гауссовой функцией:F[ е-х 2 /ь2 J= ~ е-k'ь'/4.(Г.16)Уравнение (Г.12) нам показывает, что масштабирование аргументах некоторой функции приводит к обратному масштабированию аргументаkее Фурье-образа. В частности (упр. Г.6), сигнал с гауссовымспектром ширины Ь есть гауссов импульс ширины2/ Ь,поэтому произведение двух ширин представляет собой константу. Это проявлениечастотно-временной неопределенности, которая действует в широком спектре волновых явлений в классической физике. Мало тогокак мы видим в подразд.3.3.2,-это одна из возможных интерпретаций принципа неопределенности Гейзенберга в приложении к координате и импульсу.А теперь рассмотрим два экстремальных случая преобразованияФурье гауссовых функций.Упражнение Г.7.
Покажите, что:а) в пределе при Ь ~О выражение (Г.16) принимает вид1F[o(x)]=-;J2it(Г.17)Ь) в противоположном пределе, при Ь ~ со, получаетсяF[l]=J2it o(k).(Г.18)Если спектр содержит только нулевую частоту, то сигнал не зависитот времени, что неудивительно. Если же сигнал представляет собоймгновенную «вспышку», происходящую в момент временибудет содержать все частоты; его спектр-t =О, онконстанта. Из этого наблюдения есть одно интересное следствие.Упражнение Г .8. Покажите, что при а*О(Г.19)410ПРИЛОЖЕНИЕ Г. ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ ДИРАКА И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕЭтот результат очень важен для многих вычислений с использованием преобразования Фурье. В его полезности мы скоро убедимся.Упражнение Г.9. Считая а и Ь действительными и положительными, найдите Фурье-образы следующих функций:а) о (х +а)Ь)cos+ о (х - а);(ах+ Ь);с) е-'"' 2 сорЬх;,d) e -a(x+/J) +е - a (x-/J)е)8 (х) е-"·1 ,где8(х)-функция Хевисайда;{о при х < -а или х > аf) прямоугольной функции А·при -а~х~аПреобразование Фурье обратимо: для любого зависящего от времениимпульса можно вычислить его частотный спектр, для которого данныйимпульс является Фурье-образом.
Примечательно, что преобразованиеФурье очень похоже на обратное ему преобразование. Намек на этотфакт можно увидеть, к примеру, в (Г.13) и (Г.14). Сдвиг аргументаf(х)J(ведет к умножениюk) на комплексную фазу. Если же мы домножаемf(x) на комплексную фазу, аргумент }(k) сдвигается.Определение Г.2. Обратным преобразованием Фурье :г 1 [g](x)функции g (k) называется функция аргументах, такая что1+~..F- 1 [g](x)=-f e'k·' g(k)dk.(Г.21)J21c -~Отступление Г.1.
Интерпретируем (Г.8)Результат (Г.R), на первый взгляд, говорит нам, что интегралприfеikxdxравен нулюk *О. Это противоречит традиционному интегральному исчислению, согласно которому интеграл конечной осциллирующей функции е''х должен расходиться при любомk.Чтобы разобраться с этим кажущимся противоречием, мы должны вспомнить,что (Г.19) верно только как обобщенная функция-т. е. как часть интеграла (Г.З).И в самом деле, если подегавить (Г.19) в (Г.З) , получится сходящийся интеграл.I[I e'"dx]f(k)dk I[I е'" f(k)dk}lx J2TTI F[f](-k)dk (r~iJ 2ттf(О).==(Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
