Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 64

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 64)

Чтобы потренироваться в егоиспользовании, выполним следующее простое упражнение.Упражнение А.30. Найдите матричную форму вектора, сопряжен­ного сlv 1 ) + i lv2 ),в базисе{(v 1 1, (v2 1}.«Прямые» и сопряженные векторы иногда называют кет- и бра­векторами соответственно.

Эти названия, введенные П. Диракомвместе с символьными обозначениями(1и1) ,обосновываютсятем фактом, что комбинация бра- и кет-векторов вида (а«скобка»(bracket) -1Ь)-дает скалярное произведение этих двух век­торов.Обратите внимание:V и V' -разные линейные пространства. Бра­вектор и кет-вектор складывать друг с другом нельзя.368ПРИЛОЖЕНИЕ А. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫА.6. Линейные операторыА.6.1. Операции с линейными операторамиОпределение А.15. Линейный оператор А на линейном простран­ствеV-это отображение 1 линейного пространстваV насебя, такое,что для любых векторов 1 а), 1 Ь) и любого скаляра ЛA.(ia)+ IЪ)) =Ala)+ АIЪ);(А.14а)А(Лlа)) =Mla).(А.14Ь)Упражнение А.31.

Определите, являются ли следующие отображе­ния линейными операторами 2 :а)Ala)=O.Ь)Ala)=la).с) с 2 ~с 2 : л.(:)=(:J.cz~ С 2 : л.(:)=(d)x:yJ.е) с 2 ~с 2 : л.(:)=(::~).Поворот на угол <р в линейном пространстве двумерных геоме­f)трических векторов (над ~).ллОпределение А.16. Для любых двух операторов А и В их суммаА+ В есть оператор, который отображает векторы в соответствии с(А.+ fз)la) =Ala)+ Bla).1Отображение-это функция, которая устанавливает для каждого элементав V уникальный «образ»2IC 2(А.15)la)Ala).есть линейное пространство столбцов ( х), содержащих по два комплексныхчисла.уОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАДля любого оператора А и любого скаляра Лих произведение /..,Аесть оператор, который отображает векторы в соответствии с(м)lа) =л.(А.iа)).(А.16)Упражнение А.32.

Покажите, что множество всех линейных опера­торов над гильбертовым пространством размерности N само являетсялинейным пространством, в котором сложение и умножение на ска­ляр задается уравнениями (А.15) и (А.16) соответственно.а) Покажите, что операторы А+ В и /..,А являются линейнымив смысле определения А.15.Ь) Определит~, чему равенл нулевой элемент и противоположныйэлемент -А заданного А в пространстве линейных операторов.с)§Покажите, что в пространстве линейных операторов выполня­ются все аксиомы, введенные в определении А.1.Определение А.1 7. Оператор i , отображающий каждый векторпространства V на самого себя, называется единичным (тождествен­ным) оператором.Записывая произве~ение скаляра на единичный оператор, мы ино­1 - если, конечно, контекст не допускает двус­мысленности. К примеру, вместо того, чтобы записать А - л.i , мыгда опускаем символможем обойтись просто записью А - /.

, .Определение А.18. Для операторов А и В их произведение АВ естьоператор, отображающий каждый вектоl? Jа) на А.В 1а)= А (В 1а)) .То есть, чтобы найт~ действие оператора АВ 11а вектор, мы должныприменить сначала В к этому вектору, а затем А к результату.Упражнение А.33. Покажите, что произведение двух линейных опе­раторов тоже является линейным оператором.Порядок, в котором перемножаются два оператора, существенен,П_?~Коl!~ку в общем случае А.В -:t- БА . Если же для каких-то операторовАВ = ВА, тоговорят, что эти операторы коммутируют. Коммутацион­ные, или перестановочные, соотношения между операторами играют важ­ную роль в квантовой механике и будут подробно обсуждаться в разд.

А.9.Упражнение А.34. Покажите, что операторы поворота против часо­вой стрелки на угол л/2 и отражения относительно горизонтальной370ПРИЛОЖЕНИЕ А. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫоси в линейном пространстве двумерных геометрических векторовне коммутируют.Упражнение А.35. Покажите, что перемножение операторов обла­дает свойством ассоциативности, т. е. для любых трех операторовверно:Л(вс)=(Лв)с.(А.17)А.6.2. МатрицыМожет создаться впечатление, что для полного описания линейногооператора мы должны указать все его действия с каждым вектором.Однако на самом деле это не так.

В действительности довольно лишьсообщить, как этот оператор отображает элементы некоторого базиса{lv 1 ), •.. , lvN)} в V, т.е. достаточно знать множество {Лlv 1 ), ••• ,AlvN)}.Тогда для любого другого вектора 1а), который раскладывается в видемы имеем, вследствие линейности,Ala) = a1 Alv1 )+ ...

+aNAlvN).(А.18)Как много численных параметров нужно для того, чтобы полно­стью охарактеризовать линейный оператор? Каждый образ А1V;)любого из элементов базиса можно разложить по тому же базису:Лlи;)= L,A;; lv;).(А.19)Для каждого j множество изл1сывает А V;)N параметров А 1 ,""AN" целиком опи-~}. Соответственно, множество из № параметров Аи, где i иjизменяются от1доN,содержит полную информацию о линейномоператоре.ОпределениеА.19. Матрицей оператора в базисеквадратная таблицаNхN,{lv;)} называетсяэлементы которой задаются уравнением(А.19).

Первый индекс в Аи есть номер строки, второй-номер столбца.371ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАПредположим~ к ~римеру, что вам требуется доказать равенстводвух операторов А= В. Выможете сделать это, показав идентичностьматриц указанных операторовAif и Bif в любом базисе. Посколькуматрица содержит полную информацию об операторе, этого доста­точно. Конечно, базис следует выбирать продуманно, так чтобыматрицы А .. и В .. было как можно проще вычислить.иилУпражнение А.36.

Найдите матрицу оператора1.Покажите,что она не зависит от выбора базиса.Упражнение А.37. Найдите матричное представление вектора.Alvj) в ба~исе {lv)}, где lv) - элемент этого базиса,j задано,а матрица А известна.Упражнение А.38. Покажите, что еслив некотором базисе, то вектор А 1а) задается матричным произведе­нием(А.20)ллУпражнение А.39. МатрицыАiJ и Bif операторов А и В заданы. Найдите матрицы операторов:а) .А+в;Ь) М;с) .Ав.Последние два упражнения показывают, что операции с операто­рами и векторами легко представляются на языке матриц и столб­цов.

Однако есть одна важная оговорка: матрицы векторов и операто­ров зависят от выбранного базиса-в отличие от «физических» опе­раторов и векторов, которые определяются независимо от какого быто ни было конкретного базиса.372ПРИЛОЖЕНИЕ А. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫЭту разницу обязательно нужно учитывать, когда принимаетсярешение о том, в какой нотации проводить вычисления-в матрич­ной или дираковой. Если для краткости вы выбираете матричнуюнотацию, то вам следует всегда помнить, с каким базисом вы работа­ете, и записывать все матрицы именно в этом базисе.Упражнение А.40.

Покажите, что элементы матрицы оператора А{lvi)} задаются выражением:Ay=(vil(Alvj)=(vilAlvj)·в ортонормалъном базисе(А.21)Упражнение А.41. Найдите матрицы операторов R..Ф и ~, соответ­ствующих повороту двумерного геометрического пространства на углыфи8 соответственно [упр. А.31 (f)]. Воспользовавшись результатомупр. А.39, найдите матрицу оператора RФ~ и убедитесь в том, что онасоответствует повороту на угол (ф + 8).Упражнение А.42. Приведите пример базиса и определите размер­ность линейного пространства линейных операторов над гильберто­вым пространством размерностиN(см.

упр. А.32).А.6.3. Внешние произведенияОпределение А.20. Под внешним произведением1а)(outer product)( Ь 1 понимается оператор, действующий следующим образом:Cla)(bl) lc)=la) ((Ь 1с))= ((Ь 1с)) la).(Во втором равенстве учитывается тот факт, что(А.22)(Ь1с) представляетсобой число и коммутирует с чем угодно.)Упражнение А.43. Покажите, чтоla)(bl в смысле приведенноговыше определения есть линейный оператор.УпражнениеА.44.

Покажите, что ((а1Ь)) ((с 1d)) = (al Clb)(cl) ld).Упражнение А.45. Покажите, что матрица оператораla)(bl зада-(А.23)373ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАЭтот результат дает интуитивное понимание внешнего произведе­ния. Как говорилось в предыдущем разделе, кет-вектор соответствуетстолбцу, а бра-вектор-строке. Согласно правилам перемноженияматриц, произведение столбца на строку представляет собой квадрат­ную матрицу, а соответствующее внешнее произведение-это простооператор, задаваемый этой матрицей.Упражнение А.46. ПустьАii- матрица оператора А в ортонормаль­ном базисе{lv)}.Покажите, что(А.24)i,jУпражнениеА.47. Пусть Абазисвгильбертовом-оператор, а {lv)}- ортонормальныйпространстве.Известно,чтоAlv1 )=lw1 ), ...

,AlvN)=lwN), где \w 1 ), ••• ,\wN) - некоторые векторы(необязательно ортонормальные). Покажите, что(А.25)Эти упражнения раскрывают значимость внешнего произведения.Во-первых, (А.24) дает способ перевода матрицы оператора в дираковунотацию. Данный результат дополнителен к уравнению (А.21), кото­рое используется для достижения обратной цели-переведения опера­тора из дираковой нотации в матричную. Во-вторых, уравнение (А.25)позволяет построить выражение для оператора на основе наших знанийо том, как этот оператор отображает элементы произвольного ортонор­мального базиса.

Мы обнаружим, что оно очень полезно на практике,когда попытаемся связать оператор с физическим процессом.Ниже приводятся два упражнения для практики в использованииданных результатов; за ними последует еще одно весьма важное при­ложение внешнего произведения.УпражнениеА.48.Матрицаоператора А вбазисе{\v 1 ), lv 2 )}равнаВыразите этот оператор в дираковой нотации.{lv 1 ), \v 2 ) } - ортонормальный базис в дву­мерном гильбертовом пространстве.

Характеристики

Список файлов книги