Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 60
Текст из файла (страница 60)
71а) Определите оператор плотности состояния после измеренияв случаеj-го результата измерения, показанного на рис.5.2. Ответдолжен быть выражен через матрицы скремблера и проекционных операторов, определяющих квантовую часть детектора.1+)(+1, измеренЬ) Примените результат пункта а) к состоянию р=ному детектором, который описан в упр.5.63.Найдите состояние после измерения для каждого результата. Убедитесь, что этисостояния не равны Fjpftj .Еще одно различие между обобщенными и проективными измерениями состоит в том, что первые неповторимы. Если мы подвергнемсостояние fI jpfI j , полученное в результате проективного измерения,такому же измерению еще раз, то получим fI jfI jpfI jfI j = fI jpfI j, такчто состояние не изменится. Но в случае обобщенного измеренияситуация складывается иная.Упражнениер=5.
72.Предположим, фотон в начальном состоянии1+) (+1измерен неразрушающим способом при помощи детектора,описанного в упр.5.63;получен результат Н. Примените это же измерение еще раз к состоянию после первого измерения и найдите результирующее состояние, а также вероятность каждого результата.Завершая обсуждение обобщенных измерений, замечу, что не каждоефизическое измерение можно смоделировать как проективное измерение плюс скремблер-пример показан на рис.примечательно, любой детектор-5.3.Однако, что весьмат.е. любой аппарат, который обеспечивает нас информацией о физической системе,-может быть описанпри помощи РОVМ, т.
е. набора неотрицательных операторов, свойства341ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАкоторых согласуются с(5.38), (5.39)и(5.40).Как построить эту РОVМ,мы покажем в следующем разделе, а пока обратимся к примеру.Волновая пластинка АНеполяризующийсветоделительВыход1ЗеркалоРис.5.3.Пример детектора, не описываемого моделью с рис.5.2.Неполяризующий светоделитель случайным образом направляет фотон в два различныхидеальных устройства измерения поляризации. Фотон, обнаруженный в пропускающем канале любого из поляризующих светоделителей, активирует однои то же выходное состояние детектора; фотон в отражающем канале любогоPBS активирует другоеУпражнениевыходное состояние.5. 73.Рассмотрим детектор на рис.5.3,в котором рольволновой пластинки А играет полуволновая пластинка, расположенная под углом0°(верхний датчик поляризации измеряет в каноническом базисе), а роль волновой пластинки Впод углом22,5°-полуволновая пластинка(нижний датчик измеряет в диагональном базисе).Неполяризующий светоделитель симметричен, т.
е. пропускает и отражает фотоны с равной вероятностью.а) Предположим, что детектор используется для измерения произвольного состояния с матрицей плотностил (Рнн Рнv).р===РvнPvvНайдите вероятности двух выходных значений детектора, выразив их через Рнн' Рнv> РvН'Ь) На основании уравненияPw(5.39)и результата пункта а) найдитеРОVМ этого детектора. Покажите, что сумма элементов РОVМпредставляет собой оператор тождества.342ГЛАВА5.КВАНТОВАЯ ФИЗИКА СЛОЖНЫХ СИСТЕМЕще один красивый результат, известный как теорема Наймарка,устанавливает, что для любого множества {Fj} неотрицательныхэрмитовых операторов, таких чтоРОVМ которого будет равналL, Fj = i , можно построить детектор,j{Fj} .
Доказательствоэтого утверждениявыходит за рамки данного курса, но его можно найти в учебникахпо квантовой теории информации 1 •Упражнение 5.74. Некоторый детектор описывается РОVМ {F),такой что (5.39) выполняется для всех физических состояний р.а) * Покажите, что каждый Fj есть эрмитов оператор.Ь) Покажите, что каждый Fj есть неотрицательный оператор.с) Докажите, что множество {Fj} подчиняется (5.38).Упражнение5. 75.Рассмотрим «детектор», который не дает никакой информации о состоянии квантовой системы-т. е. вероятностиего выходных состояний не зависят от состояния исходной квантовойсистемы. Покажите, что все элементы РОVМ такого «детектора» пропорциональны оператору тождества.5.
7.Квантовая томографияТомография квантового состояния5.7.1.Здесь мы еще раз поговорим на тему, которую уже затрагивали в разд.1.4:о полной характеризации квантовых состояний при помощи измерений. Но теперь мы воспользуемся инструментами, которые освоилив этой главе,-а именно аппаратом матрицы плотности,-чтобы проработать томографию обобщенного квантового состояния, не считаяего заранее чистым.Как мы знаем, полная характеризация состояния требует не просто множественных измерений на множестве копий этого состояния,но и проведения этих измерений в различных базисах. Оценим числобазисов, необходимых для полной томографии состояния в заданномгильбертовом пространстве.1К примеру, см.: Холево А.С.
Вероятностные и статистические аспекты квантовойтеории.-М.: Наука,1980.343ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАУпражнение5. 76. Рассмотрим произвольное состояние р в гильбертовом пространстве размерностиN.а) Покажите, что данное состояние может быть полностью описанопри помощи №-1 независимых действительных параметров.Ь) Мы проводим проективное измерение множества копий рв каком-то конкретном базисе. Покажите, что информация,которуюмыполучаемприститься в множестве изэтомизмерении,можетразменезависимых действительныхN - 1параметров.Таким образом, наша цель-определить (№-1) чисел, но измерение в каждом базисе дает нам только(N - 1)чисел. Следовательно,полная томография состояния требует набора статистических данныхкак минимум в (№-1)/(N- 1) = N + 1базисах.
На практике выборбазисов диктуется в значительной мере условиями эксперимента,а это означает, что иногда требуется большее их количество. Рассмотрим два примера.Упражнение5.77.Выполните упр.1.15заново для матриц плотности. Множественные измерения поляризации фотонов, приготовленных в одном и том же состоянии р, проводятся в каноническом, диагональном и круговом базисах, и определяются все шесть соответствующих вероятностей. Выразите все четыре элемента матрицы р черезэти вероятности.Упражнение5. 78*.Покажите, что полная томография состоянияполяризации фотонной пары может быть выполнена посредствомизмерения множества копий этого состояния в каждой из девяти двусоставных комбинаций канонического, диагонального и круговогобазисов 1 •Подсказка: это трудоемкий расчет, но его можно упростить, еслипроизводить вычисления в правильном порядке.•Начните с двусоставного канонического базиса: какие элементыматрицы плотности помогает нам определить статистика измерений в этом базисе?1См.
описание эксперимента в: А. G. White, D.F.V. James, W.J. Munro, and P.G. Kwiat,Exploring Hilbert space: Accurate characterization of quantum information, Physical ReviewА 65, 012301 (2001).344ГЛАВА5.КВАНТОВАЯ ФИЗИКА СЛОЖНЫХ СИСТЕМПусть у Алисы будет канонический базис, у Боба же•диагональ-ный, а затем круговой. Используя элементы матрицы ruютности,известные нам после первого шага, определите еще четыре элемента.•Теперь пусть базис Боба будет каноническим, а базис Алисы-диагональным и круговым.
Можно найти еще четыре элементаматрицы.•Оставшиеся элементы матрицы плотности можно оценитьна основе измерений в четырех оставшихся двусоставных базисах.В упражненииN = 2,5.77размерность гильбертова пространства равнаа число используемых базисов составляетN + 1 = 3,дает с найденным нами минимальным значением. В упр.очередь,N = 4,что совпа5.78,в своютогда как число базисов равно девяти. Это означает,что мы можем подумать об оптимизации нашего решения использованием в нем меньшего числа базисов. Однако следует позаботитьсяи о том, чтобы эти «оптимизированные» базисы не слишком сложнобыло реализовать в практической экспериментальной установке.Из упражнения5.78мы можем извлечь еще один важный урок.Дело в том, что, хотя двусоставное гильбертово пространство содержит запутанные состояния, полная его томография не требует измерений в запутанных базисах.
Иными словами, измерительные приборы Алисы и Боба не обязаны быть связаны между собой квантовойкорреляцией. Это, конечно, большое облегчение для экспериментаторов.5. 7.2.Томография квантового процессаПод квантовым процессом мы понимаем некий черный ящик,выполняющий какую-то обработку квантовых состояний (рис.5.4).Для исходного состояния р выходное состояние процесса обозначается Е(р).
Цель томографии квантового процессаprocesstoтography)-(QPT,qиапtuтполучить достаточно информации о черномящике, чтобы иметь возможность предсказывать его действие на произвольное исходное состояние. Для получения этой информациина вход черного ящика посылают множество копий определенныхпробных состояний р j и производят томографию квантовых состояний на его выходе, чтобы найти Е(р) для каждого пробногосостояния.345ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА_Р~•!процесс! Е (р~Рис.5.4.Квантовый процессВ начале этого курса (разд.1.10)мы узнали, что квантовая ;эJЗолюл.ция представлена унитарными линейными операторами И=е--Hth(гдеЙ - гамильтониан).
Однако, как мы вскоре увидим, это не всегдаверно для произвольного квантового процесса. Тем не менее начнемобсуждениеQPT с черного ящика,о котором аpriori известно,что онописывается некоторым линейным оператором.Упражнение5. ~9.Предположим, что процесс описывается линейным оператором И и для каждого элемента некоторого ортонормального базиса {1 v;)} гильбертова пространства известно состояниеU1V;).Найдите матрицу плотности выходного состояния процесса Е(р) , еслизадан оператор плотности исходного состояния р1•Согласно данному результату, чтобы полностью характеризоватьпроцесс, описываемый линейным оператором, достаточно зондировать его состояниями из любого базиса гильбертова пространства.Однако квантовые процессы являются унитарными операторамитолько в том случае, когда интересующая нас система не взаимодействует с внешним миром («средой»).
Если такое взаимодействие имеетместо, система и среда становятся запутанными. Тогда нам, чтобыопределить конечное состояние системы, необходимо брать частичный след по среде. Эта необратимая операция делает весь процессне-унитарным.Рассмотрим, например, декогеренцию частицы со спином1/2,для которой предпочтительным является канонический базис. Состоli) и 1.t; эта декогеренция не затрагивает: E(li)(il)=li)(il иE(it)(tl)=lt)(tl.
Однако любая линейная комбинация IЧJ) = ali) ++Plt) сrановиrся статистической смесью: Eфv)('lf I) =lal ii)(il +IPl lt )( tl.яния22Если единственной доступной нам информацией является действиепроцесса на базисные состояния1i)иlt), мы не можем отличить этотпроцесс от единичного процесса Е(р) = р.1Конечно, если квантовый процесс описывается оператором, тот должен быть непросто линейным, но также унитарным (см. разд.ния этот факт не существенен.3461.10). Однако для данного упражнеГЛАВА5.КВАНТОВАЯ ФИЗИКА СЛОЖНЫХ СИСТЕМПосле всего этого может показаться, что томография квантовогопроцесса-задача практически нерешаемая.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
