Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Прежде чем разбирать этот вопрос подробно, вспомним некоторые существенные свойства следа, известныенам из линейной алгебры, и выведем несколько новых его свойств,значимых именно в квантовой физике.Упражнение5.26.Покажите, что след оператора одинаков во всехортонормальных базисах.Этим объясняется, почему мы говорим «след оператора», а не «следматрицы». Один и тот же оператор будет иметь разные матрицы в разных ортонормальных базисах, но сумма диагональных элементовво всех этих матрицах будет одинакова.Упражнение5.27.Покажите, что след оператора плотности, представляющего какое-либо физическое состояние, равен единице.Упражнение 5.28§. Операторы А и В характеризуются матрицамиА у..
и В у.. соответственно в одном и том же ортонормальном базисе.Покажите, чтоTr(AB)= I,~вji.(5.10)ijУпражнение5.29.Покажите, что для любых операторов:а) Tr(AB) = Tr(BA) ;Ь) Tr(A 1 ".Ak) = Tr(AkA 1 ".Ak-i) (цепное правило - chain rule).Упражнение5.30.Найдите пример, показывающий, что в общемслучае Tr(ABC) io Tr(BAC).Упражнение 5.31. Для оператора А и векторов IЧJ) и l<i>) покажите, что(5.11)Упражнение5.32.Покажите, что след квадрата матрицы плотностиполезен в качестве меры степени чистоты состояния. В частности,для физического состояния р покажите, что1/ N :-: ; Tr(p 2 ):-::;1 , где перлвое неравенство становится равенством тогда и только тогда, когда рпредставляет полностьюсмешанноесостояние,а второе-тогдали только тогда, когда р описывает чистое состояние.323ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАТеперь давайте переформулируем постулат квантовой механикиоб измерениях на языке матриц плотности.УпражнениеПусть проективное измерение в базисе5.33.выполняется на ансамбле р и выдает некоторый результат{lvm>}lvm>· Покажите, что:а) (ненормированный) ансамбль после измерения задается выражением(5.12)гдеfrm = vm) (vm11-оператор проекции;Ь) вероятность получения результатаlvm> равна(5.13)prm =Tr(TTm p)=Tr(pTTm).Упражнение5.34.При помощи уравненияятность обнаружения поляризациидым из ансамблей упр.5.1.+45°(5.12)определите вероу фотона, описанного кажУбедитесь, что ваши результаты согласуются с вероятностями, которые получатся, если рассматривать каждоесостояние как статистический ансамбль чистых состояний.Упражнение5.35.
Состояние представлено в базисе { 1v т)} матрицей(5.14)Предположим, что это состояние измеряется в том же базисе { 1v т)}.Измерение неразрушающее, но его результат нам неизвестен. Покажите, что матрица плотности после измерения будет иметь вид(5.15)То есть недиагональные элементы матрицы плотности после измерения исчезнут, а диагональные останутся прежними.Подчеркну, что это простое правило действует только в том случае,если матрица плотности записана в том же самом базисе, в которомпроизводится измерение. Проиллюстрируем это на примере.324ГЛАВАУпражнение5.36.5.КВАНТОВАЯ ФИЗИКА СЛОЖНЫХ СИСТЕМФотон, поляризованный под+45°,измеряетсяв каноническом базисе.
Найдите матрицу плотности до и после измерения:а) в каноническом базисе;Ь) в диагональном базисе.5.37. Покажите, чтов состоянии р равноУпражнениедаемогоVсреднее значение любого наблю(v) = Tr(p V) = Tr(Vp).Упражнение5.38.(5.16)Пользуясь аппаратом матриц плотности в пред(5.7) и (5.16), воспро(3.129) для среднего знаставлении Шрёдингера, а именно уравнениямиизведите уравнение движения Гейзенбергачения произвольного наблюдаемого:-°-(v) =i([н, vJ).dt5.3.(5.17)liЧастичный следВернемся теперь к вопросу, который заинтересовал нас в главе2.Предположим, что у Алисы и Боба имеется общее состояние р Ав, представляющее собой матрицу плотности над гильбертовым пространством тензорных произведений.
Алиса либо теряет свою часть состояния, либо измеряет ее в некотором базисе, но не сообщает Бобу результат. Какой станет часть состояния, принадлежащая Бобу? Или,формулируя вопрос на языке, который мы только что изучили, чемубудет равен оператор плотности состояния Боба [иногда такой оператор называют приведенным оператором тvютностиoperator)(reduced densityБоба]?Частичным следом(partial trace) двусоставного состояния р АВVА является оператор в гильбертонад гильбертовым пространствомвом пространствеV8,определяемый формулойNТrА(РАв)= L А (vmlPAвlvm)A,(5.18)m~Jгде{ 1и т)} -орто нормальный базис вVА•325ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА5.39.
У Алисы и Боба имеется общее состояние Рлв.производит локальное измерение в базисе { 1v т)} над своейУпражнениеАлисачастью ансамбля. Покажите, что:а) если известен конкретный результат измерения Алисыlvm),то результирующее (ненормированное) двусоставное состояниеописывается выражением fI л,т р лвfr л,т = 1vm) (vm 1® ( vm IP лв 1 vm),а относящаяся к Бобу часть этого состояния равна(5.19)Ь) если результат измерения Алисы неизвестен, то приведенный оператор плотности состояния Боба представляет собой частичный следЧтобы сделать эту теорию чуть менее абстрактной, рассмотримпару примеров.Упражнениеупр.5.40.Проведите следующие вычисления в условиях2.45.а) В упомянутом упражнении мы нашли ансамбли, описывающиесостояния фотона Боба, когда Алиса проводит свое измерениев каноническом и диагональном базисах. Для каждого из этихансамблей найдите соответствующую матрицу плотности в каноническом базисе.
Убедитесь, что матрица плотности не зависитот базиса Алисы.Ь) Найдите приведенные матрицы плотности фотона Боба в каноническом базисе с использованием частичного следа. Убедитесь,что результат согласуется с результатом пункта а).Упражнение5.41.Для каждого из четырех белловских состоянийнайдите приведенный оператор плотности, связанный с кубитамиАлисы и Боба.Приведенный оператор плотности Боба должен быть одинаковымвне зависимости от того, какой базис выберет Алиса для своего измерения.
Если бы это было не так, Алиса могла бы мгновенно передаватьинформацию Бобу, просто выбирая определенный базис или решая,326ГЛАВА5.КВАНТОВАЯ ФИЗИКА СЛОЖНЫХ СИСТЕМвыбросить ли свою часть состояния (см. упр.2.43).Давайте покажемэто строго на языке операторов плотности.УпражнениеПокажите, что частичный след не зависит5.42.от выбора базиса Алисы, в котором он вычисляется.Упражнение5.43. Покажите, что Тrл (р лв) имеет след 1, если р лв -физическое состояние.Упражнение5.44.Пусть Алиса и Боб располагают двусоставнымсостоянием. Покажите, что:а) если двусоставный ансамбль находится в чистом разделимом(незапутанном) состоянии, то приведенные операторы плотности и Алисы, и Боба также представляют собой чистые состояния;Ь) приведенный оператор плотности запутанного состояния всегдапредставляет собой смешанное состояние.Подсказка: воспользуйтесь уравнением(2.15).Математический аппарат частичного следа позволяет нам воспроизвести предыдущий результат, описывающий действие измеренияна матрицу плотности (упр.5.35), но с более глубоким анализом измерения, при помощи модели фон Неймана.Упражнение5.45.Пусть начальное состояние квантовой системыописывается в некотором базисе{lv)}оператором плотности(5.14).{lv) }.
Данное(2.33). Покажите,Производится измерение этой системы в том же базисеизмерение запутывает систему с прибором согласночто если удалить прибор из этого запутанного состояния, то приведенная матрица плотности системы будет иметь только диагональные элементы, как в(5.15).Этот результат имеет важные следствия для декогеренции, которая,согласно нашему обсуждению в подразд.2.4.2, может быть интерпретирована как «ненамеренное» фон-неймановское измерение системы средойв предпочтительном для декогеренции базисе и их взаимному запутыванию.
После потери информации о среде состояние системы будет описываться частичным следом матрицы плотности этого запутанного состояния. В результате матрица плотности системы (записанная в предпочтительном с точки зрения декогеренции базисе) потеряет недиагональныеэлементь1. В разд.5.5 мы рассмотрим несколько примеров этого процесса.327ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАНахождение частичного следа-необратимая операция: получитьр лв обратно из Т rл (р лв) невозможно. Это математическая причинатого, что декогеренция, в отличие от унитарной квантовой эволюции,представляет собой необратимый процесс.5.4.Матрица плотности и вектор БлохаВ разделе4.5 мы связали любое состояние кубита с вектором на сфереБлоха. Если физическая система, связанная с кубитом, представляет собой частицу со спином1/2,то координаты блоховского вектора равны средним значениям соответствующих проекций моментаимпульса (упр.4.48, с).
Теперь я хотелбы расширить понятие блоховского вектора на матрицы плотности.Это расширение вполне прямолинейно. Для любого ансамбляр=L Р; 'V;) ('Jf;l1вектор Блоха определяется как(5.20)где каждыйR, -это блоховский вектор соответствующего состоянияIЧJ). То есть блоховский вектор ансамбля есть взвешенное среднее егокомпонентов.Упражнение5.46.ского вектораRf!,наблюдаемых&х , &УПокажите, что декартовы координаты блоховопределяемого (5.20), равны средним значениямиПодсказка: согласно&,в соответствующем состоянии р(5.16),.вам нужно показать, что(5.21)Упражнение5.47§.Выразите вектор Блоха явно через элементыматрицы плотностил == (Рн Рн).рРиРцОтвет:Rx =(сrх)=Рн +Рн;RY =(crx)=ipн -iрн;R, =(сrх)=Рн -Рн ·328(5.22а)(5.22Ь)(5.22с)ГЛАВАУпражнение5.48.5.КВАНТОВАЯ ФИЗИКА СЛОЖНЫХ СИСТЕМПокажите, что:а) длина блоховского вектора смешанного состояния меньше единицы;Ь) блоховский вектор полностью смешанного состояния равеннулю.Упражнение5.49.Мы показали ранее [см.вектор частицы со спином(4.77)],что блоховский1/2 в чистом состоянии прецессирует в магнитном поле таким же образом, как классический магнитный момент.Покажите, что этот результат применим также к состояниям, описываемым операторами плотности.Упражнение5.50.Вычислите траекторию блоховского вектораиз зависящей от времени матрицы плотности, полученной в упр.5.25,и покажите, что он прецессирует вокруг магнитного поля в соответствии с предсказаниемУпражнение5.51.(4.77)классической физики.Покажите, что длина блоховского вектора связана с показателем чистоты соответствующего состояния (упр.5.32)согласно(5.23)Подсказка: пусть состояние р соответствует спектральному разложению p=plv 1 )(v1 l+Cl-p)lv2 )(v2 l.CooтнecитeУпражнение5.52.IRPIи Trp 2 ер.Покажите, что любой блоховский вектор длины1.RP 1~ 1 единственным образом задает соответствующую матрицу плотности.Резюмируем полученные результаты.
Как и в случае с чистымисостояниями, вектор Блоха смешанного состояния соответствует квантовому среднему значению спинового векторного оператора в этомсостоянии. Существует взаимно-однозначное соответствие междусостояниями (чистыми или смешанными) и блоховскими векторами.Однако блоховские векторы смешанных состояний заканчиваютсявнутри блоховской сферы, а не на ее поверхности. Чем более смешанным является состояние, тем короче вектор Блоха; полностью смешанное состояние ответствует нулевому вектору в центре сферы Блоха.329ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА5.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
