Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Это означает, что его эволюция во вращающемся базисе под действием гамильтонианацессии вокруг фиктивного поля(4.85) состоит в пре(4.87), как показано на рис. 4.10 а.В случае точного резонанса, Л = О, фиктивное поле Ё имеет абсолютную величину О/у и направлено вдоль оси х, так что траекторияблоховского вектора представляет собой меридиан, пересекающий осьу. Прецессия происходит с угловой скоростью у В= О. Соответственно,населенности 1 состояний со спинами, ориентированными вверхи вниз, будут колебаться синусоидально с частотой Раби. Это явлениеизвестно как осцшzляции Раби (RaЬioscillations -см. отступлениеОтстройка радиочастотного поля от резонанса (так, чтобы Лимеет двоякий эффект (рис.4.10 а,4.6).* О)Ь).
Во-первых, частота осцилляцийРаби будет увеличиваться за счет слагаемого Л 2 в абсолютной величине фиктивного поля(4.86).Во-вторых, направление этого поляперестает быть горизонтальным. Если траектория начинается в состоянии «спин-вверх», то она уже не будет доходить до южного полюсасферы Блоха, так что мы никогда не сможем наблюдать состояние«спин-вниз» со 100%-ной вероятностью.Упражнение4.69.Найдите максимальную вероятность prlmaxнаблюдения состояния «спин-вниз» за цикл Раби в зависимостиот отстройки частоты Л. Цикл начинается в состоянии «спин-вверх».Подсказка: хотя эту задачу можно решить путем вычисления шрёдингеровой эволюции под действием гамильтониана1(4.85)(и мы сделаемНаселенность квантового состояния есть полное число частиц в этом состоянии.В нашем случае населенности состояний со спинами, ориентированными вверх ивниз, равны, соответственно, п298pr,и пpri,где п-полное число электронов в образце.ГЛАВА4.МОМЕНТ ИМПУЛЬСАэто в следующем упражнении), ответить на данный вопрос намногопроще, если внимательно рассмотреть геометрию сферы Блоха.Ответ:Q2(4.88)----prtmax -Q2 +Л2 ·Теперь понятно, почему это явление называется «резонанс».Лоренцева форма кривой(4.88)(рис.4.10с) очень похожа на откликмеханического гармонического осциллятора или электронного колебательного контура на действие периодического внешнего воздействия.
Но обратите внимание на важное различие: в случае гармонического осциллятора ширина резонанса определяется коэффициентомзатухания, но не зависит от возбуждающего поля. Ширина магнитногорезонанса, напротив, пропорциональна частоте Раби, т. е. амплитудерадиочастотного поля. Это явление называется полевым уширениеми характерно для двухуровневых систем.Двухуровневая система обладает ограниченной энергией: собственным состоянием с максимальной энергией для нее является состояние«спин-вниз». Какой бы высокой ни была прикладываемая мощностьрадиочастотного поля, оно не может еще сильнее повысить энергиюсистемы; система насыщается(saturates).Гармонический же осциллятор имеет бесконечно много энергетических уровней и потомуне насыщается:когда мы разгоняем его сильнее, он отвечает тем,что переходит во все более высокие энергетические состояния.
Соответственно, он не демонстрирует никакого полевого уширения 1 •Упражнение4.70.Найдите эволюцию спинового состояния IЧJпод действием гамильтонианаIЧJ (О))=(t))(4.85), начиная с начального состоянияli). Найдите вероятности состояний «спин-вверх»и «спинвниз» в зависимости от времени, частоты Раби и отстройки.
Согласуйте ваш результат с тем, что получен в упр.Подсказка: воспользуйтесь упр.Упражнение4.71*.4.62,4.69,и с рис.1-Ь.с).Найдите гамильтониан вращающейся волныдля ситуации, в которой радиочастотное поле задаетсягде ~4.10Brf cos (wt + ~),произвольная фаза, и направлено:Обсуждение близкой темы см. в подразд.3.8.2.299ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАа)Ь)z1.00.8.0 1_8 ~ 0.6:I: :I:g 0.4g. 0.2lcЁgЛ=ОgID uО.ОхnJyс)Отстройка Л в единицахРис.n4.10. Эволюция в гамильтониане вращающейся волны (4.85), при началь- траектория на блоховской сфере,ном состоянии частицы «спин-вверх»: апостроенная для Л =-Q / J3 и показанная в плоскости x-z;Ь - вероятность обнаружения состояния «спин-вниз» в зависимости от времени; с-кривая резонансарезонанса по уровню(4.88). Пунктирные линии0,5 максимума.показывают ширинуа) вдоль оси х;Ь) вдоль оси у.Найдите координаты вектора соответствующего фиктивного магнитного поля.
Покажите, что, если rf-частота резонансна с двухуровневым переходом, это поле всегда горизонтально.Ответ: фиктивное магнитное поле дается векторома) В= ( 0 cos~,- Q sin~,- л);уууЬ) В= ( 0 sin~, Q cos~,- л).уУпражнениеу4.72.уНапишите уравнение Шрёдингера в стационарном базисе для радиочастотного поля, направленного вдоль осиz.Покажите, что в этом случае переходов между состояниями спина«вверх» и «вниз» не будет.300ГЛАВА4.МОМЕНТ ИМПУЛЬСА4.7.3.
Площадь импульсаВ предыдущем разделе мы видели, что резонансное радиочастотноеполе с частотой Раби, равной .О., действующее на протяжении времениt,поворачивает вектор Блоха на угол.O.t.Во многих практических приложениях (см., например, отступление4.7)резонансноерадиочастотное поле применяется импульсно, так что его амплитудаи, следовательно, частота Раби зависят от времени: .О.=!1 (t).Такойимпульс повернет блоховский вектор на угол Jn.(t)dt. Эта величинаизвестна как площадь импульса 1 • Понятие площади импульсаудобно, потому что представляет собой единственный параметр,который полностью описывает действие этого импульса на спин;необязательно знать точную форму импульса, если известен егоинтеграл.Так, применение импульса площадью л/2 к состоянию «спин-вверх»переведет его в состояние со спином, указывающим вдоль оси у,1(~).Если мы подействуем на это же состояние еще одним импульсом площадью л/2, мы получим состояние «спин-вниз».
Вместе эти два импульсасоставят импульс площадью л, действие которого переворачивает блоховский вектор относительно оси Х2.Если радиочастотное поле включается импульсно, получениемакроскопической площади импульса требует относительно высокойчастоты Раби. Тогда нам не нужно беспокоиться о точной настройкерадиочастотного поля, коль скоро Q»Л верно для большей частидлительности импульса (но мы по-прежнему должны следитьза соблюдением Q« .0. 0 ).Тогда фиктивное магнитное поле(4.87)почти горизонтально, и эффект отстройки пренебрежимо мал.Упражнение4. 73.Первоначально частица находится в состоянии«спин-вверх». Она подвергается действию импульса площадью л/2,за которым следует еще один импульс л/2, в котором фаза радиочастотного поля сдвинута на угол р.
Найдите итоговую населенностьсостояния «спин-вниз» в зависимости от р. Интерпретируйте свойрезультат для р= О и р = л.1Отсылка к тому, что интеграл представляет собой «площадь под кривой».2Импульс площадью л соответствует логической операции НЕ над спиновым кубитом: он преобразует IO)= li) в 11) = lt), и наоборот.301ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА4.7.4.Приложения магнитного резонансаПусть мы имеем большой набор (ансамбль) частиц со спином _!_,приготовленных первоначально в состоянии1i)2вдоль постоянного маг-нитного поля. Если мы применим к этому ансамблю импульс площадью л/2, спины перейдут в горизонтальное положение. По окончанииимпульса, если постоянное поле по-прежнему присутствует, они начнут прецессировать вокруг осиУпражнение4.74.z с частотой .О.
0 •Короткий импульс площадью л/2 применяетсяк частице, находившейся сначала в состоянии «спин-вверх», и заканчивается в момент t= О. Вычислите средние значения трех декартовыхкомпонентов наблюдаемого магнитного момента при t> О:а) во вращающемся базисе;Ь) в стационарном базисе.Прецессирующий магнитный момент будет излучать электромагнитное поле с частотой прецессии. Это поле, амплитуда которого пропорциональна горизонтальному компоненту блоховского вектора,может быть обнаружено при помощи обыкновенного радиоприемника, давая нам доступ к важной информации о веществе, в которойнаходятся спины. Поговорим о свойствах этого излучения.Сигнал, полученный в качестве отклика на единичный импульс,называется спадом свободной индукции(free induction decay).Название связано с тем, что этот сигнал со временем быстро теряет силув результате действия различных механизмов демпфирования и декогеренции.
Главный механизм, вызывающий затухание,-это некоторая неоднородность постоянного магнитного поля в разных точкахпространства. Она вызывает неоднородное уширениеbroadening)(inhomogeneousрезонанса: каждый спин имеет свою отстройку Л в определенном диапазоне Л 0 , известном как неоднородная ширина. Блоховские векторы с разными отстройками будут прецессировать вокруг осиzс разными угловыми скоростями и разойдутся по всему экваторусферы Блоха за время порядка Л~' (рис. 4.11, а2). Тогда поля, генерируемые разными спинами, приобретут различные фазы и скомпенсируют друг друга.Упражнение4.
75.Ансамбль спинов неоднородно уширен, такчто его отстройки распределены следующим образом:302ГЛАВА4.МОМЕНТ ИМПУЛЬСАр(Л) =-1-е-(Л/Ло)'JТТ.л 0В условиях упр.4.74вычислите средний вектор магнитногомомента спина в этом ансамбле в зависимости от времени t> О во вращающемся базисе.Подсказка: воспользуйтесь упр. Г.9, с).Ответ:__(µ)=[fJy _(Лоt)2о, 2 е4],О .(4.89)Горизонтальная черта над(µ)означает, что после квантового усреднения выполняется еще статистическое усреднение по ансамблю. Обратите также внимание, что среднее направление спина во вращающемсябазисе постоянно указывает вдоль оси у; в стационарном базисе этосоответствует прецессии с частотойw,согласно упр.4.65.Неоднородное уширение часто является главным ограничивающим фактором для времени спада свободной индукции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
