Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Следовательно,по крайней мере некоторая часть информации, содержащейся в описании ансамбля как списка состояний и вероятностей, избыточна.Это дополнительный аргумент в пользу того, чтобы применять вместо такого описания матрицу плотности.В дальнейшем мы будем использовать термин «состояние»как для чистых состояний(pure states),которые можно связатьс каким-то конкретным элементом IЧJ) гильбертова пространства, таки статистических ансамблей, описываемых оператором плотности.Если состояние не является чистым и его оператор плотности нельзязаписать в виде р =1\jl) (\jl1 ,мы будем называть его смешанным (mixed).315ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАУпражнениеПокажите, что ансамбль5.6.(5.1)с двумя или болеененулевыми слагаемыми с неравными IЧ-') не может соответствоватьчистому состоянию.Управление5.7.Какие из состояний в упр.5.1являются чистыми?Особый стюус среди смешанных состояний принадлежит полностью смешанным, оператор плотности которых равен р =i / N (где N - размерность гильбертова пространства).
Как станет ясно из след.УЮщего упражнения, если система находится в полностью смешанном состоянии, это значит, что о данной квантовой системе нет вообще никакой информации.Упражнение5.8.Покажите, что если полностью смешанное состояние измеряется в любом ортонормальном базисе, то вероятность каждого результата составляетУпражнение5.9.1/ N.Покажите, что все состояния в упр.5.5полностьюсмешанные.Упражнение5.10.Для подпространства, соответствующего орби1, найдите матрицу плотности каждогоиз собственных состояний наблюдаемого ix с собственными значениями li, О и -li.
Затем найдите матрицу плотности смеси этих состоянийс вероятностью 1/3 для каждого. Покажите, что результат - полнотальному квантовому числу l =стью смешанное состояние.Подсказка: воспользуйтесь результатом упр.5.1.2.4.27.Диагональные и недиагональные элементыУпражнение5.11. Покажите, что диагональные элементы матрицыплотности некоторого физического состояния в любом базисе:а) действительны и неотрицательны;Ь) в сумме дают единицу.Упражнение5.12*.Для каждого недиагонального элемента ртпматрицы плотности покажите, что:а) верно неравенство(5.3)316ГЛАВАЬ) неравенство(5.3)5.КВАНТОВАЯ ФИЗИКА СЛОЖНЫХ СИСТЕМстановится равенством для всех элементовматрицы плотности тогда и только тогда, когда соответствующее состояние является чистым.Из последнего упражнения, а также из упр.5.2видно, какие разные роли играют диагональные и недиагональные элементы матрицыплотности.
Диагональные элементы показывают вероятности обнаружения системы в соответствующих базисных состояниях. Недиагональные же демонстрируют, до какой степени соответствующие элементы базиса находятся в состоянии суперпозиции или статистической смеси-иными словами, степень когерентности между этимиэлементами (см. подразд.Упражнение5.13§.2.4.2).Вот пример.Найдите матрицы плотности следующих состояний спина электрона в каноническом спиновом базисе:а) ~(li)+lt));ь) ~ (11' )-1 J,)) ;с) смесь равновероятных состояний из пунктов а) и Ь).Ответ:а) ~(li)+lt))((il+(tl)=~(~ ~);Ь) ~(li)-Jt))((il-(tl)=~(~l ~1 );с) ~(li)(il+lt)(tJ)=~(~ ~)·Все эти состояния содержат равные доли компонентов «спинвверх» и «спин-вниз», поэтому во всех трех случаях диагональныеэлементы матрицы плотности одинаковы и равнывые два из приведенных состояний чистые, а третье1/2. Однако пер- полностью смешанное.
Соответственно, первые два состояния имеют значительныенедиагональные элементы, тогда как третье таких элементов не имеет.317ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАУпражнение5.14§.Для частицы со спином3/2найдите матрицыплотности следующих состояний:а) 1~)= ~(1%)+1~));Ь) 1~)= ~(1-~)+I-%) );d)равновероятная смесь IЧJ) и 1~).Ответ:а)1 1-21Ь)-с)42111d) _!_4Это несколько более хитроумный пример. Здесь, сравнивая случаис) и318d),мы видим, что недиагональные элементы, ответственныеГЛАВА5.КВАНТОВАЯ ФИЗИКА СЛОЖНЫХ СИСТЕМза когерентность между состояниямиIЧJ)иl<p), присутствуютв матрице плотности суперпозиции, но в матрице плотности смесиих нет. При этом в матрице плотностиd)недиагональные элементыр 12 , р 21 , Р 34 , Р 43 , возникающие из-за когерентности внутри отдельныхсостояний IЧJ) иl<p), не исчезают, хотя это состояние и представляетсобой смесь. В случаеd)неравенство(5.3)превращается в равенстводля некоторых, но не для всех, недиагональных элементов рУпражнение5.15..Покажите, что оператор плотности являетсяэрмитовым.Упражнение5.16.Покажите, что для заданного оператора плотности существует спектральное разложение вида 1Nр= I,qilvi)(vil,(5.4)i=lгде {lv)} - ортонормальный базис, все qi ~О и I:.iqi =1.Приведенное выше спектральное разложение, приводящее матрицуплотности к диагональному виду, полезно в нескольких отношениях.Оно может сразу же сообщить нам, например, чистым или смешаннымявляется интересующее нас состояние (см.
упражнение5.18).Крометого, отсутствие недиагональных элементов означает, что между разными элементами диагонализирующего базиса нет квантовой когерентности, а это, в свою очередь, означает, что состояние являетсявероятностной смесью этих элементов.5.17.в упр. 5.1.Найдите спектральное разложение операторов5.18.Сколько ненулевых элементов может содержатьУпражнениеплотностиУпражнениедиагонализированная матрица плотности чистого состояния?Упражнение5.19.Покажите, что оператор плотности неотрицателен.1Обратите внимание, что существование спектрального разложениятривиальным образом из определения матрицы плотностижения очень похожи, но элементы суммы втогда как в(5.1)(5.4)(5.1).(5.4)не следуетДва данных вырасоставляют ортонормальный базис,это просто произвольные состояния.319ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАА теперь определим аналог матрицы плотности для непрерывныхбазисов, к примеру, координатных и импульсных.
Как говорилосьв главе3[см.(3.13)],операторы в таких базисах представлены функциями двух переменных, а не матрицами. В частности, оператор плотности(5.1)представляется как(5.5)где Ч-'; (х)-волновые функции компонентов статистическогоансамбля.1Упражнение 5.20. Выразите оператор плотности состояния а О)+ Ь 11)гармонического осциллятора:а) в базисе Фока;Ь) в координатном базисе.Упражнение5.21.Для нормированного оператора плотности рпокажите, что:а) р не может быть унитарным ни для какого гильбертова пространства размерности больше единицы;Ь) равенство р = р 2 верно в том и только том случае, если р представляет чистое состояние.Упражнение5.22.Рассмотрим смесь состояний, которые и самисуть статистические ансамбли: состояние р 1 возникает с вероятностьюр 1 , р 2 - с вероятностью р 2 и т.д., причем I.ipi = 1.а) Покажите, что такой ансамбль описывается оператором плотности(5.6)Ь) Покажите, что этот ансамбль не может быть чистым, еслипо крайней мере один из его членов является смешанным.5.1.3.ЭволюцияУпражнение5.23.Покажите, воспользовавшись уравнением Шрёдингера, что:а) дифференциальное уравнение для эволюции матрицы плотности во времени есть320ГЛАВА5.КВАНТОВАЯ ФИЗИКА СЛОЖНЫХ СИСТЕМ(5.7)Ь) эволюцию оператора плотности можно записать какp(t) = Up(O)U 1 ,(5.8)1.лгде И =е--Нt1'Дифференциальные уравнения для эволюции операторов плотности, такие как(5.7), часто называют основными кинетическими уравнениями (master equations).Обратите внимание на противоположные знаки в (5.7) и (5.8)по сравнению с похожими на них (3.129) и (3.127) соответственно.Такая разница может показаться странной: почему эволюция матрицыплотности противоположна эволюции других операторов? Вот ответ:уравнения в разд.3.9 записаныв представлении Гейзенберга, где мысчитаем, что квантовые состояния стационарны, а операторы, соответствующие физическим наблюдаемым, эволюционируют.
Здесь, напротив, мы работаем в представлении Шрёдингера, где эволюционируютсостояния и, следовательно, матрица плотности, которая выражаетсостояние. Поэтому операторы наблюдаемых в разд.3. 9и операторплотности в этом разделе имеют разную природу, и нет никаких причин ожидать, что их эволюция будет описываться одними и теми жеуравнениями.Упражнение5.24.Для состояния, которое в момент времени t = Опредставляет собой:а) суперпозицию (IE1 )+iE2 ))/.J2,Ь) статистическую смесь (1 Е1 ) ( Е1 1+1 Е2 ) ( E2 i)/2энергетических собственных состояний, напишите матрицу плотности в зависимости от времени в энергетическом собственном базисе.Ответ:л1[a)p(t)=-Ь)2er''-(Е2 -Е 1 )t1_i(E 2 -E 1 )tе плл1p(t)=p(0)=21,1(1о321ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАОбобщая упр.5.24, а),мы видим, что если ансамбль является статистической смесью энергетических собственных состояний, то его оператор плотности не меняется в ходе шрёдингеровой эволюции.
Этотрезультат тоже может показаться удивительным. Мы уже усвоили,что состояния с энергией Е в ходе эволюции приобретают квантовуюфазу e-iErfп. Состояния, связанные с разными энергиями, должны приобретать разные фазы-так почему же мы не видим этого в ходе эволюции матрицы плотности?Ответ состоит в том, что, когда мы имеем дело со статистическойсмесью состояний, их фазы нефизичны: их невозможно наблюдатьпри измерении. Смесь состоянийIE1 )иIEz> ведет себя в экспериментеточно так же, как смесь состояний IE1 )e-щr/h иговорилось (подразд.5.1.1),IE2)e-iE,r/h. Ранее ужечто задача матрицы плотности-как можно более сжато описать физические свойства состояния. Двасостояния с одинаковыми свойствами будут описываться одинаковойматрицей плотности.Напротив, если мы имеем когерентную суперпозицию двух состояний с разными энергиями (упр.5.24,Ь), то матрица плотности(а именно ее недиагональные элементы) действительно эволюционирует, отражая изменение физических свойств состояния со временем.5.25.
Для состояния, первоначально представляющегос вероятностью 3 / 4 и 1 J,) с вероятностью 1/4, потренируйтесь находить эволюцию матрицы плотности p(t) в магнитномУпражнениесобой смесь1i)поле В, направленном вдоль оси х, с использованием трех разныхметодов:а) вычислив эволюцию каждого компонента (чистого состояния)отдельно, а затем получив матрицу плотности ансамбля;Ь) вычислив матрицу плотности начального ансамбля, а затем проследив ее эволюцию согласнос) решив уравнение5.2.(5.7)(5.8);в матричном виде.СледСлед оператора А равен сумме диагональных элементов его матрицы:лпTrA= L~п.m~l322(5.9)ГЛАВА5.КВАНТОВАЯ ФИЗИКА СЛОЖНЫХ СИСТЕМСледы играют важную роль, поскольку выражают действие измерений на квантовые состояния в случаях, когда эти состояния записаныв виде матриц плотности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
