Учебное пособие - Отличная квантовая механика - Львовский А. (1238821), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Матрица плотности и магнитный резонансВ главе4мы изучали основы магнитного резонанса. Однако формализм чистого состояния, который мы использовали, был недостаточен для рассмотрения взаимодействия между спинами и средой,или релаксации (однородного дефазирования), которая являетсясущественной частью этого явления.
Поскольку релаксация связанас потерей чистоты состояния, ее анализ требует использования операторов плотности.Существует два первичных механизма релаксации: декогеренцияи термализация.5.5.1.ДекогеренцияДекогеренция спиновых состояний вызывается их взаимодействием;по этой причине данный механизм называется спин-спиновой релаксацией. Как обычно и бывает с внутренними степенями свободы (подразд.2.4.2),предпочтительным для декогеренции является энергетический собственный базис.
Когда частицы взаимодействуютмежду собой, населенности энергетических уровней не меняются,но их энергетические собственные состояния набирают случайныефазы, что ведет к потере когерентности между частицами.Мы будем изучать релаксацию в отсутствие радиочастотного поля,считая, что оно прикладывается импульсно и, соответственно, декогеренция во время импульсов незначительна. Направим осьz вдольпостоянного поля В0 , так что гамильтониан (4.76) примет видfI = -d·B0 = -ySzBo.Тогда собственный базис оператора Sz становится также собственным базисом нашего гамильтониана и, следовательно, предпочтительным с точки зрения декогеренции базисом 1 ,что облегчает анализ.В разделе5.3мы выяснили, что декогеренция устраняет недиагональные элементы матрицы плотности.
Однако этот результат былполучен для единственного декогерирующего объекта. В нашем случаематрица плотности представляет большой ансамбль частиц, и не всеони декогерируют одновременно. Следовательно, декогеренция действует на матрицу плотности более сложным образом.1Это верно в случае и стационарного, и вращающегося базиса, поскольку оба онисостоят из собственных состояний330S,.ГЛАВА5.КВАНТОВАЯ ФИЗИКА СЛОЖНЫХ СИСТЕМПримем следующую модель. Будем считать, что каждая частица,взаимодействуя со средой, декогерирует очень быстро-по существу, мгновенно.
Это влечет за собой потерю недиагональных элементов матрицы плотности, связанной с данной конкретной частицей.Однако вероятность того, что подобное событие произойдет для каждой частицы в пределах определенного малого интервала времени,конечна и пропорциональна длительности этого интервала. Тогдапри усреднении по множеству частиц, составляющих ансамбль, недиагональные элементы матрицы плотности будут уходить постепенно.Упражнение5.53.Пусть вероятность того, что отдельная частицадекогерирует в пределах малого интервала времени Лt, составляетЛt/ Т2 , где Т2постоянная, известная как характерное время декоге-ренции.а) Покажите, что в отсутствие эволюции гамильтониана элементыматрицы плотности убывают согласно дифференциальномууравнениюd ][-рй(t)dt=dccohгде индекс{О,(-pii t«decoh»)/Т2'i =j.(5.24).,l ;/.)указывает на то, что убывание происходитв результате действия механизма декогеренции.Ь) §Покажите, что решение приведенного выше уравнения представляет собой(t)( Р;;Рн(t)Рн(t)) [Рц(t) -Такое поведение-Р;; (О)Рн(О)е-1/т,Рн (О)е-1/т,).(5.25)Рн(О)постоянность диагональных элементов матрицыплотности и экспоненциальное убывание недиагональных-характерно для декогеренции не только спиновых ансамблей, но и широкого спектра физических ситуаций.5.5.2.ТермализацияВторой механизм-это спин-решеточная релаксация, связаннаяс тепловым движением ядер.
Данный механизм ответствен за приве-331ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАдение спинового состояния в тепловое равновесие со средой-т. е.в состояние с матрицей плотностил =[Рн,оо(5.26)Рогде населенности верхнего и нижнего энергетических уровней связаны между собой согласно распределению БольцманаРц,о = exp(-Ei/kT)(4~з)exp(-ynBo),Рн ,оехр( - Е1 / kT)kTпри отсугствии когерентности между этими уровнями.Упражнение5.54.Поле в медицинском МРТ-сканере, где используются спины протонов, составляет1,5Тесла. Вычислите среднююразницу между долями протонов в состояниях «спин-вверх» и «спинвниз» при комнатной температуре в условиях теплового равновесия.Упражнение5.55.Найдите величину и направление блоховскоговектора ~,соответствующего (5.26).Ответ (в декартовых координатах):_ -(yhB0)Ra- 0,0, th ynB0)yhBo/~kT«I(0,0,.2kT(5.27)2kTПо той же логике, что и выше, мы считаем, что диагональные элементыэкспоненциально убывают и сходятся к своим тепловым значениям, т.
е.Рн(t)-Рн,о =[pн(O)-Ptt,o]e-t!Тi;(5.28а)РцСt)-Рн,о =[рц(О)-Рц,о]е-t;т,'(5.28Ь)где Т1-характерное время термализации.Упражнение5.56§. Покажите, что спад (5.28) соответствует следующим дифференциальным уравнениям:[ :tPн(t)]=-[Р11Сt)-Рн.о]/Т,;(5.29а)therm(5.29Ь)332ГЛАВА5.КВАНТОВАЯ ФИЗИКА СЛОЖНЫХ СИСТЕМВведем соглашение. Конечно, термализация действует не толькона диагональные элементы матрицы плотности, но и на недиагональные ее элементы, вызывая их экспоненциальный спад. Однакомы будем рассматривать этот спад как часть процесса декогеренции,так что уравнение(5.24) вJUZючаетв себя вклад термализации в спаднедиагональных элементов.
Поэтому мы будем писать дифференциальное уравнение для термализации матрицы плотности в виде(5.30)не забывая о том, что термализация недиагональных элементов учитывается в уравнении для декогеренции.Очевидным следствием этого соглашения является то, что Т2не может быть больше Т1 : недиагональные элементы убывают под действием как декогеренции, так и термализации, а диагональные-только термализации.
Фактически спины, как правило, декогерируют«намного быстрее, чем термализуются, так что Т2ческого мозга, например, имеют Т1 -1 с и Т2-0,1Т1 • Ткани человес.В других физических условиях, однако, Т2 может достигать значения 2Т1 • Это возможно, если механизм термализации отличаетсяот механизма декогеренции, т. е. если он не может быть смоделированкак постепенное примешиваниесостояния теплового равновесияк спиновому ансамблю. Такие ситуации часто встречаются, к примеру,в двухуровневых системах, соответствующих оптическим переходамв атомах и молекулах. В упр.5.60мы покажем, что условие Т2 ~ 2т;должно выполняться всегда, в противном случае эволюция приведетк нефизичному оператору плотности.5.5.3.Релаксация и вектор БлохаОбщая эволюция матрицы плотности есть результат совокупного действия и гамильтониана, и релаксации.
Она задается выражениемdpdt = _2-[нл] + [dp]п,рdtrelax(5.31)'где первый член соответствует уравнению Шрёдингерарой и третий-декогеренции и термализации(5.24)и(5.7), авто(5.30) соответственно. А теперь применим этот результат к эволюции вектораБлоха.333ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКАУпражнение5.57.Покажите, что поведение компонентов вектораБлоха, соответствующих уравнению[ct.R]<lR - - -=yRxB+dtdt(5.31),есть,(5.32)relaxгде(5.33)аRa -вектор Блоха (5.27) состояния теплового равновесия.Управление5.58. Покажите, что следующее решение удовлетворяет(5.32) для гамильтониана в приближении вращающейся(4.85) в отсутствие радиочастотного поля со спином, отстроенуравнениюволныным на Л от частоты вращающейся волны.Rx (t) = [Rx(O)cos Лt- RY (O)sin Лt]e-tfт2;RY(t) = [RY(O)cosЛt + Rx(O)sin Лt]е-t;т, ;R 2 (t)= J\i + [RУпражнениев условиях упр.а) л2(5.34)(O)- J\i ]e-t/Тi .5.59§.
Постройте5.58 для:траекторию конца вектора Блоха* о, т1 = о, Г2 = О;Ь) Л =О, Г2= TJ10;с) Л =О, Г2 = 2Г1 ;d) л =5т1 - 1 , т2= 2т1 •Считаем, что температура Т= О.Начальное состояние соответствуетспину, указывающему вдоль оси х.Ответ: см. рис.5.1.Мы видим, что декогеренция заставляет горизонтальные (х и у)компоненты блоховского вектора экспоненциально убывать, тогдакак вертикальный(z)его компонент стремится к значению, котороесоответствует тепловому равновесию. По этой причине историческисложилось,что термализацию диагональных элементовплотности иногда называют продолы-юй(longitudinal)матрицырелаксацией,тогда как потеря недиагональных элементов из-за декогеренции называется поперечной релаксацией. Мы видим, что эта терминология334ГЛАВА5.КВАНТОВАЯ ФИЗИКА СЛОЖНЫХ СИСТЕМне совсем уместна; здесь больше подошли бы термины «вертикальная» и «горизонтальная» соответственно.Рис.5.1.Траектории конца вектора Блоха из упр.Упражнение5.60*.Покажите, что Т2 не может быть больше 2Т1 •Подсказка: примите, что температураните эволюцию5.59(5.32)-абсолютный нуль.
Примена бесконечно малом временном промежуткево вращающемся базисе к вектору Блоха с полярными координатами(8,О), такими что0«1 .Теперь, когда мы понимаем, как обращаться с релаксацией, мыготовы вернуться к вопросу, который рассматривался в конце главы4:измерению времени релаксации. Как там говорилось, это измерениеважно для приложений, связанных с магнитно-резонансным сканированием, потому что позволяет различать между собой ткани человеческого тела.
Однако однородная релаксация часто теряется на фоненеоднородного уширения, которое происходит намного быстрее.Поэтому для измерения времени поперечной релаксации используют спиновое эхо. В подразд.4.7.4 мы провели предварительные расчеты, чтобы понять, какие физические принципы стоят за обращением неоднородного дефазирования, которое, собственно, и порождает эхо. Наша следующая задача-учесть эффекты однороднойрелаксации.Упражнение5.61.Длянеоднородно уширенного спиновогоансамбля с неоднородной шириной Л 0 , много большей, чем обратныевремена релаксации т..- 1,т2- 1,момент элемента ансамбля (упр.покажите, что средний магнитный4.76)при нулевой температуре задается выражением335ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА--=( ) /iy( оµ=2,-е0 )] 2[Л 0 (t-2tе-t/т,,41_2 e-(t-t0 J/Т,+ e-t/7i ]•(5.35)В стационарном базисе этот магнитный момент будет прецессировать вокруг осиz.Поэтому величина эхо-сигнала полностью определяется его горизонтальным компонентом, который снижается с характеристическим временем т2.Выполняя это упражнение, вы, возможно, заметили одну тонкость.Чтобы рассчитать спиновый эхо-сигнал, нам приrшюсь усреднить вектор Блоха по ансамблю, включающему в себя все отстройки.
Но состояние, связанное с каждой конкретной отстройкой, само по себе не является чистым (из-за однородной релаксации), а это означает, что оно тожепредставляет некоторый ансамбль, как уже говорилось ранее в этой главе.Мы обращались с этими ансамблями совершенно по-разному.При декогеренции и термализациимы непрерывно усреднялипо ансамблю в ходе всей эволюции (см. упр.5.53), учитывая таким образом в реальном времени влияние этих явлений на спиновое состояние.Но при работе с неоднородно уширенным ансамблем усреднение проводилось только один раз, в конце вычислений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
